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UP Board class 10 Maths (10. वृत्त) solution PDF
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UP Board class 10 Maths 10. वृत्त Hindi Medium Solutions - PDF
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गणित कक्षा 10 - वृत्त
UP Board प्रश्नावली 10.1
प्रश्न 1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर: एक वृत्त की अनंत (अनेक) स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की अधिकतम दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त और उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।
प्रश्न 3. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है:
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी
उत्तर: (D) √119 सेमी
हल:
OP = 5 सेमी (त्रिज्या), OQ = 12 सेमी
चूँकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है, ∠OPQ = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से:
PQ² = OQ² - OP² = 12² - 5² = 144 - 25 = 119
∴ PQ = √119 सेमी
प्रश्न 4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
उत्तर:
एक वृत्त खींचिए। एक रेखा L खींचिए। अब L के समांतर दो रेखाएँ m और n खींचिए। रेखा m को इस प्रकार रखिए कि वह वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करे (स्पर्श रेखा)। रेखा n को इस प्रकार रखिए कि वह वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटे (छेदक रेखा)।
UP Board प्रश्नावली 10.2
प्रश्न संख्या 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।
प्रश्न 1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी तथा Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 7 सेमी
(B) 12 सेमी
(C) 15 सेमी
(D) 24.5 सेमी
उत्तर: (A) 7 सेमी
कारण: माना केंद्र O है। OQ = 25 सेमी, स्पर्श रेखा PQ = 24 सेमी।
स्पर्श बिंदु P पर, OP ⊥ PQ. पाइथागोरस प्रमेय से:
OP² = OQ² - PQ² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49
∴ त्रिज्या OP = √49 = 7 सेमी
प्रश्न 2. आकृति में, यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
उत्तर: (B) 70°
कारण: चतुर्भुज OPTQ में, ∠O + ∠P + ∠T + ∠Q = 360°
∠P = ∠Q = 90° (स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या)
∴ 110° + 90° + ∠T + 90° = 360°
∠T = 360° - 290° = 70°
अतः ∠PTQ = 70°
प्रश्न 3. यदि एक बिन्दु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
उत्तर: (A) 50°
कारण: दिया है: ∠APB = 80°
चूँकि केंद्र स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,
∴ ∠APO = 80°/2 = 40°
स्पर्श बिंदु A पर, ∠OAP = 90°
△OAP में, ∠OAP + ∠APO + ∠POA = 180°
90° + 40° + ∠POA = 180°
∠POA = 180° - 130° = 50°
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
सिद्ध कीजिए: माना वृत्त का केंद्र O तथा व्यास AB है। A पर स्पर्श रेखा l और B पर स्पर्श रेखा m खींची गई हैं।
स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
∴ l ⟂ OA और m ⟂ OB.
चूँकि OA और OB एक ही रेखा AB पर हैं, इसलिए l ⟂ AB और m ⟂ AB.
यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा पर लंब हों, तो वे आपस में समांतर होती हैं।
अतः l || m. सिद्ध हुआ।
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
सिद्ध कीजिए: यह स्पर्श रेखा की परिभाषा का ही भाग है। वृत्त के किसी बिंदु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है और वह उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब त्रिज्या की दिशा में होगा, जो केंद्र से होकर गुजरती है। अतः वह लंब केंद्र से अवश्य गुजरेगा।
प्रश्न 6. एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: माना केंद्र O है। OA = 5 सेमी, स्पर्श रेखा AB = 4 सेमी।
OB त्रिज्या है और OB ⟂ AB.
समकोण △OAB में, पाइथागोरस प्रमेय से:
OA² = OB² + AB²
5² = OB² + 4²
25 = OB² + 16
OB² = 25 - 16 = 9
∴ त्रिज्या OB = √9 = 3 सेमी
प्रश्न 7. दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल: माना केंद्र O है। बड़े वृत्त की त्रिज्या OA = 5 सेमी, छोटे वृत्त की त्रिज्या OM = 3 सेमी।
जीवा AB छोटे वृत्त को M पर स्पर्श करती है, ∴ OM ⟂ AB.
समकोण △OMA में,
OA² = OM² + AM² (पाइथागोरस प्रमेय)
5² = 3² + AM²
25 = 9 + AM²
AM² = 16 => AM = 4 सेमी
चूँकि OM, जीवा AB पर लंब है, यह जीवा को समद्विभाजित करती है।
∴ AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी
प्रश्न 8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए: AB + CD = AD + BC.
सिद्ध कीजिए: माना वृत्त चतुर्भुज ABCD की भुजाओं को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।
एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
∴ AP = AS ...(i) (बिंदु A से)
BP = BQ ...(ii) (बिंदु B से)
CR = CQ ...(iii) (बिंदु C से)
DR = DS ...(iv) (बिंदु D से)
समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 9. आकृति में, XY और X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।
सिद्ध कीजिए:
OA और OC जोड़िए। △OAP और △OAC में:
OP = OC (त्रिज्या)
AP = AC (बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)
OA उभयनिष्ठ है।
∴ △OAP ≅ △OAC (SSS नियम)
इसलिए, ∠PAO = ∠CAO ...(i) (CPCT)
इसी प्रकार, △OBQ ≅ △OBC से प्राप्त होता है: ∠QBO = ∠CBO ...(ii)
अब, XY || X'Y' और AB एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠PAC + ∠QBC = 180° (तिर्यक के एक ही ओर के अंतः कोण)
(∠PAO + ∠CAO) + (∠QBO + ∠CBO) = 180°
समीकरण (i) और (ii) से मान रखने पर:
(∠CAO + ∠CAO) + (∠CBO + ∠CBO) = 180°
2∠CAO + 2∠CBO = 180°
∠CAO + ∠CBO = 90° ...(iii)
△AOB में,
∠CAO + ∠CBO + ∠AOB = 180° (कोण योग गुण)
90° + ∠AOB = 180° (समीकरण (iii) से)
∴ ∠AOB = 90°
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
सिद्ध कीजिए: माना बाह्य बिंदु P से वृत्त पर PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। A और B स्पर्श बिंदु हैं। OA और OB जोड़िए।
स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या, ∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°.
चतुर्भुज OAPB में,
∠OAP + ∠APB + ∠PBO + ∠BOA = 360°
90° + ∠APB + 90° + ∠BOA = 360°
∠APB + ∠BOA = 360° - 180° = 180°
अतः ∠APB + ∠AOB = 180°
सिद्ध हुआ कि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण (∠APB), केंद्र पर अंतरित कोण (∠AOB) का संपूरक है।
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
सिद्ध कीजिए: माना समांतर चतुर्भुज ABCD वृत्त के परिगत है जो भुजाओं को P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।
चूँकि ABCD समांतर चतुर्भुज है, AB = CD ...(i) और BC = AD ...(ii)
प्रश्न 8 के परिणाम से, एक परिगत चतुर्भुज के लिए:
AB + CD = AD + BC
समीकरण (i) से, AB = CD रखने पर:
AB + AB = AD + BC
2AB = AD + BC ...(iii)
समीकरण (ii) से, BC = AD रखने पर:
2AB = AD + AD = 2AD
∴ AB = AD ...(iv)
समीकरण (i), (ii) और (iv) से:
AB = BC = CD = AD
चूँकि चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं और यह एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए यह एक समचतुर्भुज है। सिद्ध हुआ।
प्रश्न 12. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल: माना वृत्त त्रिभुज की भुजाओं को P, Q, R (D के स्थान पर) पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए स्पर्श रेखाएँ: AF = AE = x सेमी (बिंदु A से)
दिया है: BD = BF = 8 सेमी (बिंदु B से)
CD = CE = 6 सेमी (बिंदु C से)
अतः, AB = AF + FB = (x + 8) सेमी
AC = AE + EC = (x + 6) सेमी
BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 सेमी
अर्धपरिमाप, s = (AB+BC+AC)/2 = (x+8 + 14 + x+6)/2 = (2x+28)/2 = (x+14) सेमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल, Δ = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
Δ = √[(x+14){(x+14)-(x+8)}{(x+14)-14}{(x+14)-(x+6)}]
Δ = √[(x+14){6}{x}{8}] = √[48x(x+14)] ...(i)
अब, क्षेत्रफल को तीन त्रिभुजों (ΔAOB, ΔBOC, ΔCOA) के योग के रूप में भी लिख सकते हैं, जहाँ O केंद्र है और त्रिज्या r = 4 सेमी ऊँचाई के रूप में कार्य करती है।
Δ = (1/2)×r×(AB+BC+CA) = (1/2)×4×(2x+28) = 2×(2x+28) = (4x+56) सेमी² ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
√[48x(x+14)] = 4x + 56
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 48x(x+14) = (4(x+14))²
48x(x+14) = 16(x+14)²
(x+14) से भाग देने पर (x+14 > 0): 48x = 16(x+14)
3x = x + 14
2x = 14 ⇒ x = 7
∴ AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 सेमी
AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 सेमी
प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
सिद्ध कीजिए: माना चतुर्भुज ABCD वृत्त के परिगत है, जो भुजाओं को P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। OA, OB, OC, OD जोड़िए।
प्रमेय 10.2 से, केंद्र स्पर्श बिंदुओं पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8.
केंद्र O पर सभी कोणों का योग 360° है।
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 = 360°
उपरोक्त समान कोणों के युग्म रखने पर:
2∠2 + 2∠3 + 2∠6 + 2∠7 = 360°
2(∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360°
∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7 = 180°
परंतु ∠2+∠3 = ∠AOB और ∠6+∠7 = ∠COD.
∴ ∠AOB + ∠COD = 180°
इसी प्रकार, ∠BOC + ∠AOD = 180° सिद्ध किया जा सकता है।
अतः आमने-सामने की भुजाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण संपूरक होते हैं। सिद्ध हुआ।
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