अशन 1: दिए हुए पदों में सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(i) 12x, 36 (ii) 2y,22xy

(iii) 14pq,28p'q° (iv) 2x,3x7,4

(v) 6abc,24ab* ,12a°b (vi) 16x°,—4x’,32x

(vii) 10 pq, 20gr,30rp (viii) 3३७४ ,10४ ४, 6. ४2

उत्तर 1:
(i) 12x और 36 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
12x = 2 × 2 × 3 × x
36 = 2 × 2 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × 3 = 12

(ii) 2y और 22xy के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
2y = 2 × y
22xy = 2 × 11 × x × y
सार्व गुणनखंड = 2 × y = 2y

(iii) 14pq और 28p'q° के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
14pq = 2 × 7 × p × q
28p'q° = 2 × 2 × 7 × p × q
सार्व गुणनखंड = 2 × 7 × p × q = 14pq

(iv) 2x, 3x7, और 4 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
2x = 2 × x
3x7 = 3 × x × 7
4 = 2 × 2
इन तीनों पदों में कोई संख्या या चर सार्व नहीं है, इसलिए सार्व गुणनखंड 1 है।

(v) 6abc, 24ab*, और 12a°b के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
6abc = 2 × 3 × a × b × c
24ab* = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b
12a°b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
सार्व गुणनखंड = 2 × 3 × a × b = 6ab

(vi) 16x°, –4x’, और 32x के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
16x° = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x
–4x’ = (–1) × 2 × 2 × x × x
32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × x = 4x

(vii) 10pq, 20qr, और 30rp के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
10pq = 2 × 5 × p × q
20qr = 2 × 2 × 5 × q × r
30rp = 2 × 3 × 5 × r × p
सार्व गुणनखंड = 2 × 5 = 10

(viii) 3x²y², 10x³y², और 6x²y²z के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
3x²y² = 3 × x × x × y × y
10x³y² = 2 × 5 × x × x × x × y × y
6x²y²z = 2 × 3 × x × x × y × y × z
सार्व गुणनखंड = x × x × y × y = x²y²

अरन 2: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:

(i) 7x–42 (ii) 6p–12q (iii) Ta +14a (iv) -16z+20z° (v) 20/°m+30alm (vi) 5x’ y–15xy” (vii) 10a” –15b? + 20c* (viii) –4a*+4ab–4ca (ix) x yz+xy?z4+ xyz" (x) ax’ y +bxy? + cxyz

उत्तर 2:
(i) 7x – 42
दोनों पदों में 7 सार्व है।
= 7(x – 6)

(ii) 6p – 12q
दोनों पदों में 6 सार्व है।
= 6(p – 2q)

(iii) 7a² + 14a
दोनों पदों में 7a सार्व है।
= 7a(a + 2)

(iv) –16z + 20z³
दोनों पदों में 4z सार्व है।
= 4z(–4 + 5z²)

(v) 20l²m + 30alm
दोनों पदों में 10lm सार्व है।
= 10lm(2l + 3a)

(vi) 5x²y – 15xy²
दोनों पदों में 5xy सार्व है।
= 5xy(x – 3y)

(vii) 10a² – 15b² + 20c²
तीनों पदों में 5 सार्व है।
= 5(2a² – 3b² + 4c²)

(viii) –4a² + 4ab – 4ca
तीनों पदों में 4a सार्व है।
= 4a(–a + b – c)

(ix) x²yz + xy²z + xyz²
तीनों पदों में xyz सार्व है।
= xyz(x + y + z)

(x) ax²y + bxy² + cxyz
तीनों पदों में xy सार्व है।
= xy(ax + by + cz)

अरन 3: गुणनखंड कीजिए:

(i) x +xy+8x+8y (ii) 15xy–6x+S5y-2 (iii) ax + bx –ay –by (iv) 15pq+15+9q+25p (v) Z–7+7xy– xyz

उत्तर 3:
(i) x² + xy + 8x + 8y
पहले दो पदों में x और अंतिम दो पदों में 8 सार्व निकालते हैं।
= x(x + y) + 8(x + y)
= (x + y)(x + 8)

(ii) 15xy – 6x + 5y – 2
पहले दो पदों में 3x और अंतिम दो पदों में 1 सार्व निकालते हैं।
= 3x(5y – 2) + 1(5y – 2)
= (5y – 2)(3x + 1)

(iii) ax + bx – ay – by
पहले दो पदों में x और अंतिम दो पदों में –y सार्व निकालते हैं।
= x(a + b) – y(a + b)
= (a + b)(x – y)

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 15pq + 25p + 9q + 15
पहले दो पदों में 5p और अंतिम दो पदों में 3 सार्व निकालते हैं।
= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)
= (3q + 5)(5p + 3)

(v) 7 – 7 + 7xy – xyz
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 7xy – 7 – xyz + z
पहले दो पदों में 7 और अंतिम दो पदों में –z सार्व निकालते हैं।
= 7(xy – 1) – z(xy – 1)
= (xy – 1)(7 – z)

अश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:

(i) a’ +8a+16 (ii) p -10p+25 (iii) 25m? +30m+9 (iv) 49y?+84yz+36z° (v) 4x° -8x+4 (vi) 121b° -88bce+16c°

(vit) (J+m) –4lm [संकेत: पहले (/+##) को प्रसारित कीजिए।] (viii) a*+2a°b’+b*

उत्तर 1:
(i) a² + 8a + 16
यह a² + 2×a×4 + 4² के रूप में है, जो (a + b)² = a² + 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (a + 4)²

(ii) p² – 10p + 25
यह p² – 2×p×5 + 5² के रूप में है, जो (a – b)² = a² – 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (p – 5)²

(iii) 25m² + 30m + 9
यह (5m)² + 2×5m×3 + 3² के रूप में है।
= (5m + 3)²

(iv) 49y² + 84yz + 36z²
यह (7y)² + 2×7y×6z + (6z)² के रूप में है।
= (7y + 6z)²

(v) 4x² – 8x + 4
यह (2x)² – 2×2x×2 + 2² के रूप में है।
= (2x – 2)² = 4(x – 1)²

(vi) 121b² – 88bc + 16c²
यह (11b)² – 2×11b×4c + (4c)² के रूप में है।
= (11b – 4c)²

(vii) (l + m)² – 4lm
पहले (l + m)² को प्रसारित करते हैं: l² + 2lm + m²
अब व्यंजक बनता है: l² + 2lm + m² – 4lm = l² – 2lm + m²
यह (l – m)² के रूप में है।
= (l – m)²

(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
यह (a²)² + 2×a²×b² + (b²)² के रूप में है।
= (a² + b²)²

अश्न 2: गुणनखंड कीजिए:

(i) 4p? -9q¢° (ii) 63a?-112b° 49.0 -36 (iv) 16.6 -1447+0 (1+m) –(I-m) (vi) 9४४ -16 (x? -2xy+ y?)-2° (viii) 25a? –4b? +28bc–49c?

उत्तर 2:
(i) 4p² – 9q²
यह (2p)² – (3q)² के रूप में है, a² – b² = (a – b)(a + b) सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं।
= (2p – 3q)(2p + 3q)

(ii) 63a² – 112b²
पहले 7 सार्व निकालते हैं: = 7(9a² – 16b²)
अब 9a² – 16b² = (3a)² – (4b)²
= 7(3a – 4b)(3a + 4b)

(iii) 49x² – 36
यह (7x)² – (6)² के रूप में है।
= (7x – 6)(7x + 6)

(iv) 16x⁵ – 144x³
पहले 16x³ सार्व निकालते हैं: = 16x³(x² – 9)
अब x² – 9 = (x)² – (3)²
= 16x³(x – 3)(x + 3)

(v) (l + m)² – (l – m)²
a² – b² = (a – b)(a + b) सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं, जहाँ a = (l + m) और b = (l – m)
= [(l + m) – (l – m)] × [(l + m) + (l – m)]
= [l + m – l + m] × [l + m + l – m]
= [2m] × [2l] = 4lm

(vi) 9x²y² – 16
यह (3xy)² – (4)² के रूप में है।
= (3xy – 4)(3xy + 4)

(vii) (x² – 2xy + y²) – z²
कोष्ठक के भीतर x² – 2xy + y² = (x – y)² है।
अतः व्यंजक (x – y)² – z² बन जाता है, जो फिर a² – b² के रूप में है।
= [(x – y) – z] × [(x – y) + z]
= (x – y – z)(x – y + z)

(viii) 25a² – 4b² + 28bc – 49c²
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 25a² – (4b² – 28bc + 49c²)
कोष्ठक के भीतर 4b² – 28bc + 49c² = (2b)² – 2×2b×7c + (7c)² = (2b – 7c)²
अतः व्यंजक बनता है: 25a² – (2b – 7c)²
यह फिर a² – b² के रूप में है।
= [5a – (2b – 7c)] × [5a + (2b – 7c)]
= (5a – 2b + 7c)(5a + 2b – 7c)

अश्न 3: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:

(i) ax’ +bx (1). 77+214* (iii) 2x? + 2xy? +2xz” (iv) 9 am? + bm? +. bn? + an? (v) (im+1)+m+1 (vi) y(y+z)+9(y+z) (vii) Sy’ –20y–8z+2yz (viii) 10ab+4a+5b+2 (ix) 6xy–4y+6-9x

उत्तर 3:
(i) ax² + bx
दोनों पदों में x सार्व है।
= x(ax + b)

(ii) 7p² + 21q²
दोनों पदों में 7 सार्व है।
= 7(p² + 3q²)

(iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
तीनों पदों में 2x सार्व है।
= 2x(x² + y² + z²)

(iv) am² + bm² + bn² + an²
पहले दो पदों में m² और अंतिम दो पदों में n² सार्व निकालते हैं।
= m²(a + b) + n²(a + b)
= (a + b)(m² + n²)

(v) (lm + 1) + m + 1
पहले पद को (lm + 1) और बाकी को (m + 1) लिख सकते हैं। ध्यान दें कि 1 को (1×m + 1×1) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
= 1(lm + 1) + 1(m + 1) या समूहीकरण द्वारा:
= lm + m + 1 + 1 = m(l + 1) + 2
परंतु सीधे समूहीकरण: (lm + m) + (1 + 1) = m(l + 1) + 2
यह और सरल गुणनखंड में नहीं आता। प्रश्न के अनुसार, यदि हम (lm+1) को एक पद मानें, तो उत्तर (lm+1)(1) + 1(m+1) होगा, जो स्पष्ट गुणनखंड नहीं देता। संभवतः प्रश्न में कुछ त्रुटि है।

(vi) y(y + z) + 9(y + z)
दोनों पदों में (y + z) सार्व है।
= (y + z)(y + 9)

(vii) 5y² – 20y – 8z + 2yz
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 5y² – 20y + 2yz – 8z
पहले दो पदों में 5y और अंतिम दो पदों में 2z सार्व निकालते हैं।
= 5y(y – 4) + 2z(y – 4)
= (y – 4)(5y + 2z)

(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
पहले दो पदों में 2a और अंतिम दो पदों में 1 सार्व निकालते हैं।
= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)
= (5b + 2)(2a + 1)

(ix) 6xy – 4y + 6 – 9x
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 6xy – 9x – 4y + 6
पहले दो पदों में 3x और अंतिम दो पदों में –2 सार्व निकालते हैं।
= 3x(2y – 3) – 2(2y – 3)
= (2y – 3)(3x – 2)

अरन 4: गुणनखंड कीजिए:

(i) a*–p* (iii) = x*-(y+z)' (v) a’ –2a°b’ +b"

(1). 72-81

(iv) x*-(x- 2

उत्तर 4:
(i) a⁴ – b⁴
इसे (a²)² – (b²)² के रूप में लिख सकते हैं, a² – b² सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं।
= (a² – b²)(a² + b²)
फिर से पहले गुणनखंड में a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं।
= (a – b)(a + b)(a² + b²)

(ii) p⁴ – 81
इसे (p²)² – (9)² के रूप में लिख सकते हैं।
= (p² – 9)(p² + 9)
फिर से पहले गुणनखंड में p² – 9 = (p)² – (3)²
= (p – 3)(p + 3)(p² + 9)

(iii) x⁴ – (y + z)⁴
इसे (x²)² – [(y + z)²]² के रूप में लिख सकते हैं।
= [x² – (y + z)²] [x² + (y + z)²]
पहले गुणनखंड में फिर a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं, जहाँ a = x और b = (y+z)
= [x – (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]
= (x – y – z)(x + y + z)[x² + (y + z)²]

(iv) x⁴ – (x – z)⁴
इसे (x²)² – [(x – z)²]² के रूप में लिख सकते हैं।
= [x² – (x – z)²] [x² + (x – z)²]
पहले गुणनखंड में फिर a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं, जहाँ a = x और b = (x-z)
= [x – (x – z)] [x + (x – z)] [x² + (x – z)²]
= [z] [2x – z] [x² + x² – 2xz + z²] (क्योंकि (x-z)² = x² -2xz + z²)
= z(2x – z)(2x² – 2xz + z²)

(v) a⁴ – 2a²b² + b⁴
यह (a²)² – 2×a²×b² + (b²)² के रूप में है, जो (a – b)² = a² – 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (a² – b²)²
फिर a² – b² = (a – b)(a + b)
= [(a – b)(a + b)]² = (a – b)²(a + b)²

अश्न 5: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:

(i) p +6p+8 (ii) gq -10q+21

(iii) p'+6p—16

उत्तर 5:
(i) p² + 6p + 8
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 और गुणनफल 8 हो। वे संख्याएँ 4 और 2 हैं।
= p² + 4p + 2p + 8
= p(p + 4) + 2(p + 4)
= (p + 4)(p + 2)

(ii) q² – 10q + 21
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग –10 और गुणनफल 21 हो। वे संख्याएँ –7 और –3 हैं।
= q² – 7q – 3q + 21
= q(q – 7) – 3(q – 7)
= (q – 7)(q – 3)

(iii) p² + 6p – 16
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 और गुणनफल –16 हो। वे संख्याएँ 8 और –2 हैं।
= p² + 8p – 2p – 16
= p(p + 8) – 2(p + 8)
= (p + 8)(p – 2)

अरन 1: निम्नलिखित विभाजन कीजिए:

(i) 28x* +56x (ii) —36y>+9y° (iii) 66 pg?r’ +1 1gr? (iv) 34x° y°z° +Slxy?z" (v) 12a‘b* +(–6a°b*)

उत्तर 1:
(i) 28x⁴ ÷ 56x
= (28/56) × (x⁴/x) = (1/2) × x³ = x³/2

(ii) –36y³ ÷ 9y²
= (–36/9) × (y³/y²) = –4 × y = –4y

(iii) 66pq²r³ ÷ 11qr²
= (66/11) × (p) × (q²/q) × (r³/r²) = 6 × p × q × r = 6pqr

(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³
= (34/51) × (x³/x) × (y³/y²) × (z³/z³) = (2/3) × x² × y × 1 = (2x²y)/3

(v) 12a⁸b⁸ ÷ (–6a⁶b⁶)
= [12/(–6)] × (a⁸/a⁶) × (b⁸/b⁶) = –2 × a² × b² = –2a²b²

अश्न 2: दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए:

(i) (5x* -6x) +3x (ii) = (3y*-4y° +5y")+y" (iii) 8(x°y*2? +x’ yz? +< 97४ )+4> 327 (५) (कं +2+ +3x)+2x (v) ( pg - p°q')+ Pg

उत्तर 2:
(i) (5x² – 6x) ÷ 3x
= (5x²/3x) – (6x/3x) = (5x/3) – 2 = (5x/3) – 2

(ii) (3y⁸ – 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
= (3y⁸/y⁴) – (4y⁶/y⁴) + (5y⁴/y⁴) = 3y⁴ – 4y² + 5

(iii) 8(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
प्रत्येक पद को 4x²y²z² से भाग देते हैं:
= [8x³y²z²/4x²y²z²] + [8x²y³z²/4x²y²z²] + [8x²y²z³/4x²y²z²]
= 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)

(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x
= (x³/2x) + (2x²/2x) + (3x/2x) = (x²/2) + x + (3/2)

(v) (p⁴q⁵ – p⁵q⁴) ÷ p⁴q⁴
= (p⁴q⁵/p⁴q⁴) – (p⁵q⁴/p⁴q⁴) = q – p

अश्न 3: निम्नलिखित विभाजन कीजिए:

(i) (10x-25)+5 (ii) (10x-25)+(2x-5) (iii) 10y(6y+21)+5(2y+7) (iv) 9x y* (3z—24)+27xy(z-8) (v) 96abc(3a—12)(5b-30)+144(a—4)(b-6)

उत्तर 3:
(i) (10x – 25) ÷ 5
= (10x/5) – (25/5) = 2x – 5

(ii) (10x – 25) ÷ (2x – 5)
अंश में से 5 सार्व निकालते हैं: 5(2x – 5)
= [5(2x – 5)] / (2x – 5) = 5

(iii) 10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7)
अंश में: 10y × 3(2y + 7) = 30y(2y + 7) (क्योंकि 6y+21 = 3(2y+7))
= [30y(2y + 7)] / [5(2y + 7)] = 6y

(iv) 9x³y³(3z – 24) ÷ 27xy(z – 8)
अंश में: 9x³y³ × 3(z – 8) = 27x³y³(z – 8) (क्योंकि 3z–24 = 3(z–8))
= [27x³y³(z – 8)] / [27xy(z – 8)] = x²y²

(v) 96abc(3a – 12)(5b – 30) ÷ 144(a – 4)(b – 6)
अंश में: 96abc × 3(a – 4) × 5(b – 6) = 1440 abc (a – 4)(b – 6)
= [1440 abc (a – 4)(b – 6)] / [144 (a – 4)(b – 6)] = 10abc

अश्न 4: निर्देशानु