UP Board class 11 Maths Chapter 15. सांख्यिकी Hindi Medium Notes - PDF

अध्याय 15: सांख्यिकी (Statistics)

सांख्यिकी आँकड़ों के संग्रहण, विश्लेषण, व्याख्या और प्रस्तुतीकरण से संबंधित गणित की एक शाखा है।

मुख्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

• आँकड़े (Data): तथ्यों और आंकड़ों का संग्रह, जैसे किसी कक्षा के छात्रों के अंक।
• अवर्गीकृत आँकड़े (Ungrouped Data): वे आँकड़े जो किसी विशेष क्रम या वर्ग में व्यवस्थित नहीं होते हैं।
• वर्गीकृत आँकड़े (Grouped Data): वे आँकड़े जिन्हें वर्ग अंतरालों में व्यवस्थित किया गया हो।
• वर्ग अंतराल (Class Interval): आँकड़ों के समूहन की एक सीमा, जैसे 10-20, 20-30, आदि।
• वर्ग चिह्न (Class Mark): वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु को वर्ग चिह्न कहते हैं।
  सूत्र: वर्ग चिह्न = (वर्ग की निचली सीमा + वर्ग की ऊपरी सीमा) / 2
• बारंबारता (Frequency): किसी विशेष प्रेक्षण के घटित होने की संख्या।
• संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency): किसी दिए गए बिंदु तक की सभी बारंबारताओं का योग।

केंद्रीय प्रवृत्ति की मापें (Measures of Central Tendency)

ये वे मान हैं जो पूरे डेटा सेट के केंद्रीय या औसत मान को दर्शाते हैं।

1. माध्य (Mean)

• प्रत्यक्ष विधि (अवर्गीकृत आँकड़े):
  माध्य (x̄) = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (प्रेक्षणों की कुल संख्या)
  या, x̄ = (∑x_i) / n
• पग-विचलन विधि (वर्गीकृत आँकड़े):
  इस विधि में एक कल्पित माध्य (a) चुना जाता है और विचलन (d_i) लेकर गणना की जाती है।
  x̄ = a + (∑f_i * d_i) / (∑f_i) * h
  (जहाँ h वर्ग माप है)

2. माध्यिका (Median)

माध्यिका डेटा को दो बराबर भागों में बाँटने वाला मान है।

• अवर्गीकृत आँकड़े:
  डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद:
  यदि n (विषम) है, तो माध्यिका = [(n + 1)/2]वाँ पद
  यदि n (सम) है, तो माध्यिका = [ (n/2)वाँ पद + ((n/2) + 1)वाँ पद ] / 2
• वर्गीकृत आँकड़े (संचयी बारंबारता से):
  माध्यिका = l + [ ( (n/2) - cf ) / f ] * h
  जहाँ:
  • l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
  • n = प्रेक्षणों की कुल संख्या
  • cf = माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
  • f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता
  • h = वर्ग माप

3. बहुलक (Mode)

वह मान जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है।

• अवर्गीकृत आँकड़े: केवल सबसे अधिक बारंबारता वाला प्रेक्षण देखना होता है।
• वर्गीकृत आँकड़े:
  बहुलक = l + [ (f_1 - f_0) / (2f_1 - f_0 - f_2) ] * h
  जहाँ:
  • l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
  • h = वर्ग माप
  • f_1 = बहुलक वर्ग की बारंबारता
  • f_0 = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
  • f_2 = बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

परिक्षेपण के माप (Measures of Dispersion)

ये वे माप हैं जो बताते हैं कि आँकड़े कितने फैले हुए या केन्द्रित हैं।

1. परिसर (Range)

परिसर = अधिकतम मान - न्यूनतम मान

2. माध्य विचलन (Mean Deviation)

यह केंद्रीय मान (माध्य, माध्यिका) से लिए गए विचलनों के परिमाण का औसत है।

• माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (अवर्गीकृत आँकड़े):
  M.D. (x̄) = (∑|x_i - x̄|) / n
• माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (अवर्गीकृत आँकड़े):
  M.D. (M) = (∑|x_i - M|) / n
• वर्गीकृत आँकड़े के लिए:
  M.D. = (∑f_i * |x_i - x̄|) / (∑f_i)
  (यहाँ x_i वर्ग चिह्न है)

3. प्रसरण और मानक विचलन (Variance and Standard Deviation)

ये परिक्षेपण की सबसे महत्वपूर्ण और सामान्यतः उपयोग की जाने वाली माप हैं।

• प्रसरण (σ²) (Variance): माध्य से विचलनों के वर्गों का माध्य।
  अवर्गीकृत आँकड़े: σ² = (∑(x_i - x̄)²) / n
  वर्गीकृत आँकड़े: σ² = (∑f_i (x_i - x̄)²) / (∑f_i)
• मानक विचलन (σ) (Standard Deviation): प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल।
  σ = √(प्रसरण)
• प्रसरण ज्ञात करने की लघु विधि (Shortcut Method for Variance):
  σ² = (∑f_i * d_i² / N) - ( (∑f_i * d_i) / N )²
  (जहाँ d_i = (x_i - a)/h, a कल्पित माध्य और h वर्ग माप है)

4. विचलन गुणांक (Coefficient of Variation - C.V.)

दो या दो से अधिक भिन्न श्रृंखलाओं की तुलना करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

C.V. = (मानक विचलन / माध्य) * 100

जिस श्रृंखला का C.V. कम होता है, वह अधिक संगठित या स्थिर मानी जाती है।

विचलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुण

• माध्य से लिए गए विचलनों का योग सदैव शून्य होता है। अर्थात, ∑(x_i - x̄) = 0
• माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन, माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन से कम या बराबर होता है।
• मानक विचलन परिक्षेपण की सबसे अच्छी माप मानी जाती है क्योंकि यह सभी मानों पर निर्भर करती है।