UP Board class 11 Maths Chapter 4. गणितीय आगमन का सिद्धांत Hindi Medium Notes - PDF

Chapter 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction)

गणितीय आगमन का सिद्धांत एक शक्तिशाली तरीका है जिसका उपयोग गणितीय कथनों, सूत्रों और प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से वे जो प्राकृतिक संख्याओं (n) पर निर्भर करते हैं।

4.1 भूमिका (Introduction)

• यह एक कथन को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य सिद्ध करने की तकनीक है।
• यह डोमिनोज़ प्रभाव के समान कार्य करता है। अगर पहला डोमिनो गिरता है (आधार स्थिति), और हर डोमिनो अगले डोमिनो को गिरा देता है (प्रेरणात्मक कदम), तो सभी डोमिनो गिर जाएंगे।

4.2 सिद्धांत (The Principle)

मान लीजिए P(n) एक प्राकृतिक संख्या n से जुड़ा एक कथन है, जैसे कि:

1. आधार चरण (Base Case): कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात P(1) सत्य है।
2. प्रेरणात्मक चरण (Inductive Step): यदि कथन n=k (जहाँ k एक स्वेच्छ प्राकृतिक संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। अर्थात, यदि P(k) सत्य है, तो P(k+1) भी सत्य है।

तब, कथन P(n) सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सत्य है।

4.3 प्रमाण के चरण (Steps for Proof)

किसी भी प्रश्न को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

• चरण 1: आधार चरण (Base Case)
  • सबसे पहले, दिए गए कथन में n=1 रखकर उसे सत्यापित कीजिए।
  • बाएं पक्ष (LHS) और दाएं पक्ष (RHS) की गणना करके समानता जांचें।
• चरण 2: प्रेरणात्मक परिकल्पना (Inductive Hypothesis)
  • मान लीजिए कि दिया हुआ कथन n=k के लिए सत्य है। अर्थात P(k) सत्य है।
  • इस पंक्ति को लिखना महत्वपूर्ण है।
• चरण 3: प्रेरणात्मक चरण (Inductive Step)
  • अब, आपको यह सिद्ध करना है कि कथन n=k+1 के लिए भी सत्य है, अर्थात P(k+1) सत्य है।
  • P(k+1) का बायाँ पक्ष लिखें और P(k) जो सत्य माना गया है, उसका उपयोग करके इसे P(k+1) के दाएँ पक्ष के बराबर लाने का प्रयास करें।
• चरण 4: निष्कर्ष (Conclusion)
  • आधार चरण और प्रेरणात्मक चरण सिद्ध हो जाने के बाद, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिया गया कथन P(n) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

4.4 उदाहरण (Examples)

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

• हल:
  • चरण 1 (आधार): n=1 के लिए, LHS = 1, RHS = 1(1+1)/2 = 1. सत्य है।
  • चरण 2 (परिकल्पना): मान लीजिए n=k के लिए कथन सत्य है। अर्थात, 1+2+3+...+k = k(k+1)/2
  • चरण 3 (सिद्ध करना): हमें सिद्ध करना है कि n=k+1 के लिए कथन सत्य है।
    अर्थात, सिद्ध करना है: 1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2
    LHS = [1+2+3+...+k] + (k+1)
    परिकल्पना से, = [k(k+1)/2] + (k+1)
    = (k(k+1) + 2(k+1)) / 2
    = (k+1)(k+2) / 2 = RHS
  • चरण 4 (निष्कर्ष): अतः, गणितीय आगमन सिद्धांत से, दिया गया कथन हर प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

4.5 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

• आधार चरण हमेशा n=1 के लिए ही हो, यह जरूरी नहीं है। कथन किसी भी निश्चित प्राकृतिक संख्या (जैसे n=0, n=2, n=5) से शुरू हो सकता है। आधार चरण उसी संख्या के लिए लेंगे।
• प्रेरणात्मक चरण में, P(k) सत्य मानकर P(k+1) को सत्य सिद्ध करना अनिवार्य है।
• निष्कर्ष लिखना न भूलें।
• यह विधि केवल उन कथनों पर लागू होती है जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए बने होते हैं।