UP Board class 12 Maths Chapter 12. रैखिक प्रोग्रामन Hindi Medium Notes - PDF

अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)

रैखिक प्रोग्रामन एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के होते हुए किसी उद्देश्य (जैसे लाभ को अधिकतम करना या लागत को न्यूनतम करना) को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

12.1 परिचय

• यह अनुकूलन (Optimization) की एक विधि है।
• इसमें रैखिक प्रतिबंधों (Constraints) के अंतर्गत एक रैखिक फलन को अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
• इसके अनुप्रयोग उद्योग, व्यवसाय, कृषि, सैन्य आदि कई क्षेत्रों में हैं।

12.2 रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं का गणितीय सूत्रीकरण

एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के मुख्य घटक होते हैं:

• निर्णय चर (Decision Variables): ये वे चर होते हैं जिनका मान हमें ज्ञात करना होता है (जैसे x, y)।
• उद्देश्य फलन (Objective Function): वह रैखिक फलन जिसे अधिकतम (Maximize) या न्यूनतम (Minimize) करना होता है।
  जैसे: Z = 3x + 5y (अधिकतम करना है)
• प्रतिबंध (Constraints): वे रैखिक असमिकाएँ या समीकरण जो निर्णय चरों पर प्रतिबंध लगाते हैं।
  जैसे: x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
• गैर-ऋणात्मक प्रतिबंध (Non-negative restrictions): निर्णय चर सदैव ऋणेतर (Non-negative) होते हैं, अर्थात x ≥ 0, y ≥ 0।

12.3 एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आलेखीय हल

• यह विधि केवल दो चरों वाली समस्याओं के लिए उपयुक्त है।
• कार्यनीतिक बिंदु (Feasible Region): वह क्षेत्र जो सभी प्रतिबंधों और गैर-ऋणात्मक प्रतिबंधों को एक साथ संतुष्ट करता है। यह सदैव एक उत्तल समुच्चय (Convex Set) होता है।
• कार्यनीतिक हल (Feasible Solution): कार्यनीतिक क्षेत्र के अंदर या सीमा पर स्थित कोई भी बिंदु।
• अनुकूलतम हल (Optimal Solution): वह कार्यनीतिक हल जो उद्देश्य फलन का मान अधिकतम या न्यूनतम करता है।

आलेखीय विधि के चरण:

1. सभी प्रतिबंधों के संगत रैखिक समीकरणों के आलेख खींचिए।
2. प्रत्येक असमिका का सुसंगत क्षेत्र (Feasible region) पहचानिए।
3. सभी प्रतिबंधों को एक साथ संतुष्ट करने वाला सार्व कार्यनीतिक क्षेत्र (Common Feasible Region) ज्ञात कीजिए।
4. कार्यनीतिक क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं (Corner Points) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
5. उद्देश्य फलन (Z) का मान प्रत्येक कोनीय बिंदु पर परिकलित कीजिए।
6. अधिकतमकरण समस्या के लिए Z का अधिकतम मान और न्यूनतमकरण समस्या के लिए Z का न्यूनतम मान चुनिए।

महत्वपूर्ण परिणाम:

• कार्यनीतिक क्षेत्र सदैव एक उत्तल बहुभुज (Convex Polygon) होता है। यह परिबद्ध (Bounded) या अपरिबद्ध (Unbounded) हो सकता है।
• यदि कार्यनीतिक क्षेत्र परिबद्ध है, तो उद्देश्य फलन Z का अधिकतम और न्यूनतम मान दोनों विद्यमान होते हैं।
• यदि कार्यनीतिक क्षेत्र अपरिबद्ध है, तो अधिकतम या न्यूनतम मान विद्यमान नहीं भी हो सकता है।
• यदि कार्यनीतिक क्षेत्र का कोई कोनीय बिंदु उद्देश्य फलन का मान अन्य दो आसन्न कोनीय बिंदुओं से बेहतर देता है, तो वह बिंदु अनुकूलतम हल देता है।

12.4 विभिन्न प्रकार की रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ

• उत्पादन समस्याएँ (Manufacturing Problems): संसाधनों (श्रम, कच्चा माल, मशीन समय) के दिए गए प्रतिबंधों के अंतर्गत लाभ या उत्पादन को अधिकतम करना।
• आहार समस्याएँ (Diet Problems): एक न्यूनतम लागत वाला आहार तैयार करना जो पोषक तत्वों की न्यूनतम आवश्यकताओं को पूरा करे।
• परिवहन समस्याएँ (Transportation Problems): कई स्रोतों (Sources) से कई गंतव्यों (Destinations) तक माल ढोने की कुल परिवहन लागत को न्यूनतम करना।
• नियतन समस्याएँ (Assignment Problems): व्यक्तियों और कार्यों के बीच इस प्रकार नियतन (Assignment) करना कि कुल लागत न्यूनतम हो या कुल दक्षता अधिकतम हो।

महत्वपूर्ण शब्दावली

• रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)
• निर्णय चर (Decision Variables)
• उद्देश्य फलन (Objective Function)
• प्रतिबंध (Constraints)
• गैर-ऋणात्मक प्रतिबंध (Non-negative Constraints)
• कार्यनीतिक क्षेत्र (Feasible Region)
• कार्यनीतिक हल (Feasible Solution)
• अनुकूलतम हल (Optimal Solution)
• उत्तल समुच्चय (Convex Set)
• कोनीय बिंदु (Corner Point)