UP Board class 12 Maths Chapter 8. समाकलनों के अनुप्रयोग Hindi Medium Notes - PDF

अध्याय 8: समाकलनों के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

यह अध्याय हमें सिखाता है कि कैसे निश्चित समाकलन (Definite Integrals) का उपयोग वक्रों से घिरे हुए क्षेत्रों का क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

मुख्य अवधारणाएँ

• क्षेत्रफल ज्ञात करना (Finding Areas): समाकलन गणित का एक शक्तिशाली उपकरण है जिसकी सहायता से हम उन क्षेत्रों का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं जो सरल रेखाओं या वक्रों से घिरे होते हैं।
• प्रकार: हम दो प्रकार के क्षेत्रों का अध्ययन करते हैं:
  • वक्र, X-अक्ष और दो भिन्न कोटियों (Ordinates) के बीच घिरा क्षेत्र।
  • दो वक्रों के बीच घिरा क्षेत्र।

1. वक्र, X-अक्ष और दो कोटियों के बीच का क्षेत्रफल

मान लीजिए दिया गया वक्र y = f(x) है, जो X-अक्ष के ऊपर स्थित है (अर्थात f(x) >= 0)। इस वक्र, X-अक्ष और कोटियों (रेखाओं) x = a और x = b के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ∫_a^b y dx = ∫_a^b f(x) dx

ध्यान देने योग्य बातें:

• यदि वक्र X-अक्ष के नीचे स्थित है (अर्थात f(x) <= 0), तो समाकलन का मान ऋणात्मक (Negative) आएगा। ऐसे में क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए हम समाकलन के मान का पूर्ण मान (Absolute Value) लेते हैं।
• यदि वक्र किसी अंतराल में X-अक्ष के ऊपर और किसी अंतराल में नीचे है, तो हमें पूरे क्षेत्र को अलग-अलग भागों में बाँटकर समाकलन करना पड़ता है और फिर सभी भागों के क्षेत्रफलों के पूर्ण मान जोड़ने पड़ते हैं।

2. दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल

मान लीजिए दो वक्र दिए गए हैं: y = f(x) और y = g(x), जहाँ f(x) >= g(x) अंतराल [a, b] में। इन दोनों वक्रों और कोटियों x = a और x = b के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:

क्षेत्रफल = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

इसी प्रकार, यदि दो वक्र x = f(y) और x = g(y) हैं, जहाँ f(y) >= g(y) अंतराल [c, d] में, तो इन वक्रों और भुजाओं (Abscissae) y = c और y = d के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल = ∫_c^d [f(y) - g(y)] dy

समस्याएँ हल करने की विधि

1. वक्र/वक्रों की पहचान करें: सबसे पहले दिए गए समीकरणों से वक्रों की पहचान करें। (जैसे: रेखा, परवलय, वृत्त, दीर्घवृत्त आदि)
2. प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: यदि दो वक्र दिए गए हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन बिंदु (Points of Intersection) ज्ञात करें। ये बिंदु ही समाकलन की सीमाएँ (Limits a और b) तय करते हैं।
3. आलेख (Graph) बनाएँ: वक्रों का रफ आलेख खींचने से यह समझने में आसानी होती है कि कौन सा वक्र ऊपर है और कौन सा नीचे, तथा कौन सा क्षेत्र घिर रहा है।
4. सीमाएँ निर्धारित करें: समाकलन की निचली और ऊपरी सीमा (a और b) निर्धारित करें।
5. समाकलन का सूत्र लिखें और हल करें: उपरोक्त सूत्रों में मान रखकर निश्चित समाकलन (Definite Integral) का मान ज्ञात करें।

महत्वपूर्ण सूत्र और परिणाम

• वृत्त का क्षेत्रफल: x² + y² = a² के रूप के वृत्त का क्षेत्रफल πa² वर्ग इकाई होता है। इसे समाकलन द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।
• परवलय का क्षेत्रफल: परवलय y² = 4ax और उसके शीर्ष पर एक नाभिलंब (Latus Rectum) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (8a²)/3 वर्ग इकाई होता है।
• दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल: दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल πab वर्ग इकाई होता है।

सारांश

इस अध्याय में हमने सीखा कि निश्चित समाकलन का प्रयोग विभिन्न वक्रों, जैसे रेखाओं, परवलयों, वृत्तों आदि, से घिरे हुए समतल क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया में वक्रों के आलेख खींचना, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना और फिर उचित सीमाओं के साथ समाकलन करना शामिल है।