UP Board class 12 Maths Chapter 6. अवकलज के अनुप्रयोग Hindi Medium Notes - PDF

अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

यह अध्याय अवकलज (Derivatives) के विभिन्न वास्तविक जीवन और गणितीय अनुप्रयोगों पर केंद्रित है। हम सीखेंगे कि कैसे अवकलज का उपयोग करके वक्रों की स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब ज्ञात किए जा सकते हैं, फलनों के वर्धमान/ह्रासमान होने की जाँच की जा सकती है, और महत्तम/न्यूनतम मानों की समस्याओं को हल किया जा सकता है।

6.1 वृद्धि और ह्रास

• किसी फलन y = f(x) का किसी बिंदु पर अवकलज, उस बिंदु पर y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
• यदि एक अंतराल (a, b) में प्रत्येक बिंदु x पर f'(x) > 0 है, तो फलन f इस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है।
• यदि एक अंतराल (a, b) में प्रत्येक बिंदु x पर f'(x) < 0 है, तो फलन f इस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है।

6.2 स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब

• स्पर्श रेखा (Tangent): किसी वक्र y = f(x) पर बिंदु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) f'(x₁) या (dy/dx) at (x₁, y₁) होती है।
• स्पर्श रेखा का समीकरण: y - y₁ = f'(x₁)(x - x₁)
• अभिलंब (Normal): अभिलंब, स्पर्श रेखा के लंबवत होता है।
• अभिलंब की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता के ऋणात्मक व्युत्क्रम के बराबर होती है, अर्थात -1 / f'(x₁) (यदि f'(x₁) ≠ 0)।
• अभिलंब का समीकरण: y - y₁ = [-1 / f'(x₁)] (x - x₁)

6.3 सन्निकटन

• अवकलज का उपयोग करके किसी फलन के मान का सन्निकटन किया जा सकता है।
• माना y = f(x)। मान में परिवर्तन Δx के कारण y में परिवर्तन Δy लगभग dy/dx * Δx के बराबर होता है।
• सूत्र: Δy ≈ (dy/dx) * Δx
• या, f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) * Δx
• इसका उपयोग वर्गमूल, घनमूल आदि का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

6.4 महत्तम और न्यूनतम

• स्थानीय उच्चिष्ट (Local Maxima): एक बिंदु x = c को स्थानीय उच्चिष्ट बिंदु कहा जाता है यदि f(c) का मान c के आस-पास के सभी बिंदुओं पर f(x) के मान से अधिक या बराबर हो।
• स्थानीय निम्निष्ट (Local Minima): एक बिंदु x = c को स्थानीय निम्निष्ट बिंदु कहा जाता है यदि f(c) का मान c के आस-पास के सभी बिंदुओं पर f(x) के मान से कम या बराबर हो।
• स्थानीय उच्चिष्ट और स्थानीय निम्निष्ट को collectively स्थानीय चरम (Local Extrema) कहा जाता है।

6.5 चरम मानों के लिए प्रथम अवकलज परीक्षण

• क्रांतिक बिंदु (Critical Point): एक बिंदु c को क्रांतिक बिंदु कहते हैं यदि f'(c) = 0 या f'(c) का अस्तित्व नहीं है।
• प्रथम अवकलज परीक्षण (First Derivative Test):
  • एक क्रांतिक बिंदु x = c के लिए:
    • यदि f'(x) का चिह्न x = c से गुजरते समय धनात्मक (+) से ऋणात्मक (-) में बदलता है, तो f का स्थानीय उच्चिष्ट x = c पर है।
    • यदि f'(x) का चिह्न x = c से गुजरते समय ऋणात्मक (-) से धनात्मक (+) में बदलता है, तो f का स्थानीय निम्निष्ट x = c पर है।
    • यदि f'(x) का चिह्न नहीं बदलता, तो x = c कोई स्थानीय चरम बिंदु नहीं है (नति परिवर्तन बिंदु हो सकता है)।

6.6 अवतलता और नति परिवर्तन बिंदु

• द्वितीय अवकलज (Second Derivative): अवकलज का अवकलज, इसे f''(x) या d²y/dx² से दर्शाया जाता है।
• अवतलता (Concavity):
  • यदि किसी अंतराल पर f''(x) > 0 है, तो वक्र उर्ध्वाधर अवतल (Concave Upwards) है।
  • यदि किसी अंतराल पर f''(x) < 0 है, तो वक्र अधोवक्र अवतल (Concave Downwards) है।
• नति परिवर्तन बिंदु (Point of Inflection): वह बिंदु जहाँ वक्र की अवतलता (concavity) बदलती है (यानी f''(x) का चिह्न बदलता है)।

6.7 चरम मानों के लिए द्वितीय अवकलज परीक्षण

• मान लीजिए f एक फलन है such that f'(c) = 0 और f''(x) का x = c पर अस्तित्व है।
  • यदि f''(c) > 0, तो f का स्थानीय निम्निष्ट x = c पर है।
  • यदि f''(c) < 0, तो f का स्थानीय उच्चिष्ट x = c पर है।
  • यदि f''(c) = 0, तो यह परीक्षण असफल रहता है (First Derivative Test का उपयोग करना पड़ता है)।

6.8 महत्तम और न्यूनतम समस्याएँ

• यह अवकलज का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। इसमें हम वास्तविक जीवन की समस्याओं (जैसे क्षेत्रफल/आयतन को अधिकतम/न्यूनतम करना, लागत कम करना, लाभ अधिकतम करना आदि) को हल करते हैं।
• हल करने की रणनीति:
  1. हल की जाने वाली राशि (Quantity to be maximized/minimized) को एक चर x के फलन के रूप में व्यक्त करें।
  2. इस फलन का अवकलज f'(x) ज्ञात करें और इसे शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु प्राप्त करें।
  3. यह जाँचने के लिए कि क्रांतिक बिंदु पर महत्तम या न्यूनतम मान प्राप्त होता है, First Derivative Test या Second Derivative Test का प्रयोग करें।
  4. समस्या का उत्तर देने के लिए इस बिंदु पर फलन के मान की गणना करें।