UP Board class 12 Maths Chapter 5. सांतत्य तथा अवकलनीयता Hindi Medium Notes - PDF

अध्याय 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)

5.1 भूमिका (Introduction)

• इस अध्याय में हम फलनों की सांतत्य (continuity) और अवकलनीयता (differentiability) की अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।
• कलन (Calculus) के मूल सिद्धांत सांतत्य और अवकलनीयता की धारणाओं पर आधारित हैं।

5.2 सांतत्य (Continuity)

• परिभाषा: एक वास्तविक फलन f(x) अपने डोमेन में एक बिंदु x = a पर संतत कहलाता है, यदि
  • lim_x→a f(x) का अस्तित्व है
  • f(a) का अस्तित्व है (अर्थात a, f के डोमेन में है)
  • lim_x→a f(x) = f(a)
• एक फलन किसी अंतराल में संतत कहलाता है यदि वह उस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
• असंततता (Discontinuity): यदि कोई फलन किसी बिंदु पर संतत नहीं है, तो उस बिंदु को असंततता का बिंदु कहते हैं।

5.3 अवकलनीयता (Differentiability)

• अवकलज (Derivative): एक फलन f(x) का x = a पर अवकलज, यदि विद्यमान हो, तो इस प्रकार परिभाषित है: f'(a) = lim_h→0 [f(a+h) - f(a)] / h
• अवकलनीयता: एक फलन f(x) एक बिंदु x = a पर अवकलनीय (differentiable) कहलाता है यदि उस बिंदु पर f'(a) का अस्तित्व (exist) हो।
• प्रमेय: यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर संतत भी होगा।
• ध्यान रखें: विलोम (converse) सत्य नहीं है। एक फलन किसी बिंदु पर संतत हो सकता है लेकिन अवकलनीय नहीं। उदाहरण: f(x) = |x|, x=0 पर।

5.4 अवकलजों का बीजगणित (Algebra of Derivatives)

• यदि दो फलन u और v, x के संदर्भ में अवकलनीय हैं, तो:
  • योग नियम: (u + v)' = u' + v'
  • अंतर नियम: (u - v)' = u' - v'
  • गुणनफल नियम: (uv)' = u'v + uv'
  • भागफल नियम: (u/v)' = (u'v - uv') / v², जहाँ v ≠ 0

5.5 संयुक्त फलनों के अवकलज (Derivatives of Composite Functions - Chain Rule)

• श्रृंखला नियम (Chain Rule): मान लीजिए t एक वास्तविक फलन है जो x पर निर्भर करता है और f, t पर निर्भर करता है। यदि t, x पर और f, t पर अवकलनीय है, तो संयुक्त फलन f, x पर अवकलनीय है और निम्न प्रकार दिया जाता है: df/dx = (df/dt) * (dt/dx)

5.6 विविक्त फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions)

• स्पष्ट फलन (Explicit Function): फलन जो सीधे स्वतंत्र चर के पदों में व्यक्त किया जाता है, जैसे y = f(x).
• विविक्त फलन (Implicit Function): फलन जो f(x, y) = 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ y सीधे x के पदों में नहीं है।
• विविक्त फलनों का अवकलज करने के लिए, हम दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करते हैं और फिर dy/dx के लिए हल करते हैं।

5.7 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions)

• d/dx(sin⁻¹x) = 1 / √(1 - x²)
• d/dx(cos⁻¹x) = -1 / √(1 - x²)
• d/dx(tan⁻¹x) = 1 / (1 + x²)
• d/dx(cot⁻¹x) = -1 / (1 + x²)
• d/dx(sec⁻¹x) = 1 / (|x|√(x² - 1))
• d/dx(cosec⁻¹x) = -1 / (|x|√(x² - 1))

5.8 घातांकी और लघुगणकीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions)

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(aˣ) = aˣ * ln(a) (where a > 0, a ≠ 1)
• d/dx(ln|x|) = 1/x
• d/dx(logₐ|x|) = 1 / (x * ln(a)) (where a > 0, a ≠ 1)
• लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) जटिल फलनों के अवकलज ज्ञात करने की एक उपयोगी विधि है, विशेष रूप से जब फलन f(x) = [u(x)]^{v(x)} के रूप का हो।

5.9 लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation)

• इस विधि का उपयोग उन फलनों का अवकलज ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो:
  • घातांकीय रूप में हैं, जैसे f(x) = [u(x)]^{v(x)}
  • बहुत सारे पदों के गुणनफल या भागफल के रूप में हैं।
• विधि:
  1. दिए गए समीकरण y = f(x) के दोनों ओर प्राकृतिक लघुगणक (ln) लें।
  2. लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाएं।
  3. x के सापेक्ष अवकलित करें।
  4. dy/dx के लिए हल करें।

5.10 परिकलनों में अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives in Calculations)

• द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative): अवकलज का अवकलज, इसे d²y/dx² या f''(x) से निरूपित करते हैं।
• अवकलज का उपयोग वक्रता (curvature), वेग (velocity), त्वरण (acceleration) आदि ज्ञात करने में किया जाता है।

महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

• संततता अवकलनीयता की एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) संयुक्त फलनों का अवकलज ज्ञात करने का एक शक्तिशाली उपकरण है।
• लघुगणकीय अवकलन उन फलनों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जहाँ चर घात के रूप में होता है।
• सभी मानक अवकलज सूत्रों (जैसे त्रिकोणमितीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, घातांकीय, लघुगणकीय) को याद रखना आवश्यक है।

अध्याय 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता

सांतत्य (Continuity)

• परिभाषा: एक फलन f(x) अपने डोमेन में एक बिंदु x = a पर संतत कहलाता है यदि:
  • f(a) परिभाषित है (अस्तित्व में है)
  • lim_x→a f(x) का अस्तित्व है
  • lim_x→a f(x) = f(a)
• बाईं सीमा (Left Hand Limit - LHL): lim_x→a⁻ f(x)
• दाईं सीमा (Right Hand Limit - RHL): lim_x→a⁺ f(x)
• किसी बिंदु पर सांतत्य के लिए, LHL, RHL और बिंदु पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
• असंततता (Discontinuity): यदि उपरोक्त शर्तों में से कोई एक भी संतुष्ट नहीं होती है, तो फलन उस बिंदु पर असंतत होता है।

अवकलनीयता (Differentiability)

• परिभाषा: एक फलन f(x) एक बिंदु x = a पर अवकलनीय कहलाता है यदि:
  • lim_h→0 [f(a+h) - f(a)] / h का अस्तित्व है और परिमित है।
• इस सीमा को x = a पर f का अवकलज (derivative) कहते हैं और इसे f'(a) से निरूपित करते हैं।
• बायाँ अवकलज (Left Hand Derivative - LHD): LHD = lim_h→0⁻ [f(a+h) - f(a)] / h
• दायाँ अवकलज (Right Hand Derivative - RHD): RHD = lim_h→0⁺ [f(a+h) - f(a)] / h
• किसी बिंदु पर अवकलनीयता के लिए, LHD और RHD का अस्तित्व होना चाहिए और वे बराबर होने चाहिए।

सांतत्य और अवकलनीयता के बीच संबंध

• यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर अवश्य संतत होगा।
• हालाँकि, इसका विपरीत सत्य नहीं है। एक फलन किसी बिंदु पर संतत हो सकता है लेकिन अवकलनीय नहीं।
• उदाहरण: f(x) = |x|, x = 0 पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है क्योंकि LHD (-1) और RHD (1) बराबर नहीं हैं।

अवकलजों के बीजगणित (Algebra of Derivatives)

• योग नियम: (u + v)' = u' + v'
• अंतर नियम: (u - v)' = u' - v'
• गुणनफल नियम: (u * v)' = u'v + uv'
• भागफल नियम: (u / v)' = (u'v - uv') / v², जहाँ v ≠ 0
• अचर गुणा फलन नियम: (c * u)' = c * u', जहाँ c एक अचर है

श्रृंखला नियम (Chain Rule)

• यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है, तो y, x का एक फलन है और इसका अवकलज निम्न प्रकार दिया जाता है:
  • dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
• यह नियम composite functions (संयुक्त फलनों) के अवकलज ज्ञात करने के लिए बहुत उपयोगी है।

कुछ महत्वपूर्ण फलनों के अवकलज

• d/dx (xⁿ) = n*xⁿ⁻¹ (शक्ति नियम)
• d/dx (sin x) = cos x
• d/dx (cos x) = -sin x
• d/dx (tan x) = sec² x
• d/dx (eˣ) = eˣ
• d/dx (logₑ x) = 1/x

रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem)

• शर्तें:
  • फलन f बंद अंतराल [a, b] पर संतत है।
  • फलन f खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है।
  • f(a) = f(b)
• निष्कर्ष: तब (a, b) में कम से कम एक बिंदु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि f'(c) = 0

माध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem - Lagrange's MVT)

• शर्तें:
  • फलन f बंद अंतराल [a, b] पर संतत है।
  • फलन f खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है।
• निष्कर्ष: तब (a, b) में कम से कम एक बिंदु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि:
  • f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)