UP Board Class 11 Maths 2. संबंध एवं फलन is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 11 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
यदि (x + 1, y - 2) = (3, 1) हो, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
दो क्रमित युग्म (a, b) तथा (c, d) बराबर होंगे, यदि a = c और b = d.
दिया है: (x + 1, y - 2) = (3, 1)
इसलिए, x + 1 = 3 और y - 2 = 1
=> x = 3 - 1 और y = 1 + 2
=> x = 2 और y = 3
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो (A × B) में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
हम निम्न सूत्र का प्रयोग करेंगे: n(A × B) = n(A) × n(B)
यहाँ, n(A) = 3 तथा B = {3, 4, 5} => n(B) = 3
इसलिए, n(A × B) = 3 × 3 = 9
यदि G = {7, 8} तथा H = {5, 4, 2}, तो G × H तथा H × G ज्ञात कीजिए।
हल:
दो अरिक्त समुच्चय P और Q का कार्तीय गुणन P × Q, उन सभी क्रमित युग्मों (p, q) का समुच्चय है, जहाँ p ∈ P तथा q ∈ Q.
दिया है: G = {7, 8} तथा H = {5, 4, 2}
G × H = {7, 8} × {5, 4, 2} = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
H × G = {5, 4, 2} × {7, 8} = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m}, तो P × Q = {(m, n), (n, m)}
(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो A × B क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्चय इस प्रकार है कि x ∈ A तथा y ∈ B.
(iii) यदि A = {1, 2} और B = {3, 4}, तो A × (B ∩ φ) = φ
हल:
(i) असत्य। सही कथन: यदि P = {m, n} और Q = {n, m}, तो P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
(ii) सत्य।
(iii) सत्य, क्योंकि B ∩ φ = φ, इसलिए A × φ = φ.
यदि A = {–1, 1}, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: A = {–1, 1}
A × A = {–1, 1} × {–1, 1} = {(–1, –1), (–1, 1), (1, –1), (1, 1)}
A × A × A = (A × A) × A = {(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)} × {-1, 1}
= {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}, तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
हल:
A × B के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समुच्चय A के अवयव हैं तथा द्वितीय घटक समुच्चय B के अवयव हैं।
इसलिए, A = {a, b} और B = {x, y}.
मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8}. सत्यापित कीजिए कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
हल:
दिया है: A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
(i) B ∩ C = {1,2,3,4} ∩ {5,6} = φ
बायाँ पक्ष: A × (B ∩ C) = A × φ = φ
A × B = {1,2} × {1,2,3,4} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}
A × C = {1,2} × {5,6} = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)}
दायाँ पक्ष: (A × B) ∩ (A × C) = φ (क्योंकि दोनों समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है)
अतः, A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) सत्यापित हुआ।
(ii) A × C = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)}
B × D = {1,2,3,4} × {5,6,7,8} = {(1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8)}
स्पष्ट है कि A × C के प्रत्येक अवयव B × D में हैं। अतः, A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}, A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाइए।
हल:
दिया है: A = {1, 2} और B = {3, 4}
A × B = {1, 2} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
n(A × B) = 4
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों, तो उसके कुल उपसमुच्चयों की संख्या = 2n
इसलिए, A × B के कुल उपसमुच्चय = 24 = 16
उपसमुच्चय हैं: φ, {(1,3)}, {(1,4)}, {(2,3)}, {(2,4)}, {(1,3), (1,4)}, {(1,3), (2,3)}, {(1,3), (2,4)}, {(1,4), (2,3)}, {(1,4), (2,4)}, {(2,3), (2,4)}, {(1,3), (1,4), (2,3)}, {(1,3), (1,4), (2,4)}, {(1,3), (2,3), (2,4)}, {(1,4), (2,3), (2,4)}, {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n(A) = 3 और n(B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A × B में हैं, तो A और B ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
हल:
दिया है: A × B = {(x, 1), (y, 2), (z, 1)}
क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समुच्चय A के अवयव हैं।
इसलिए, A = {x, y, z}
क्रमित युग्मों के द्वितीय घटक समुच्चय B के अवयव हैं।
इसलिए, B = {1, 2}
कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं, जिनमें (–1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (–1, 0) ∈ A × A और (0, 1) ∈ A × A, इसलिए –1, 0, और 1 समुच्चय A के अवयव होंगे।
A × A में 9 अवयव हैं, जो तभी संभव है जब A में 3 अवयव हों (क्योंकि 3 × 3 = 9)।
अतः, A = {–1, 0, 1}
A × A = {–1, 0, 1} × {–1, 0, 1} = {(–1, –1), (–1, 0), (–1, 1), (0, –1), (0, 0), (0, 1), (1, –1), (1, 0), (1, 1)}
दिए गए अवयव (–1, 0) और (0, 1) को छोड़कर शेष अवयव हैं: (–1, –1), (–1, 1), (0, –1), (0, 0), (1, –1), (1, 0), (1, 1)
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, ..., 14}. R = {(x, y) : 3x – y = 0, जहाँ x, y ∈ A} द्वारा A से A का एक संबंध R लिखिए। इसके प्रांत, सहप्रांत और परिसर लिखिए।
हल:
दिया है: R = {(x, y) : 3x – y = 0, x, y ∈ A}
3x – y = 0 => y = 3x
चूँकि x, y ∈ A = {1, 2, ..., 14}, इसलिए x के वे मान लेंगे जिनके लिए y = 3x, 14 से कम या बराबर हो।
x = 1 => y = 3
x = 2 => y = 6
x = 3 => y = 9
x = 4 => y = 12
x = 5 => y = 15 (A में नहीं है)
इसलिए, R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
प्रांत (R) = क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय = {1, 2, 3, 4}
सहप्रांत (R) = A = {1, 2, 3, ..., 14}
परिसर (R) = क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय = {3, 6, 9, 12}
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N पर R = {(x, y) : y = x + 5, x एक प्राकृत संख्या है जो 4 से कम, x, y ∈ N} द्वारा एक संबंध R परिभाषित कीजिए। इस संबंध को रोस्टर रूप में, इसके प्रांत और परिसर लिखिए।
हल:
दिया है: x एक प्राकृत संख्या है जो 4 से कम, अर्थात x = 1, 2, 3.
R = {(x, y) : y = x + 5, x ∈ {1,2,3}, y ∈ N}
x = 1 => y = 6
x = 2 => y = 7
x = 3 => y = 8
इसलिए, रोस्टर रूप में: R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
प्रांत (R) = {1, 2, 3}
परिसर (R) = {6, 7, 8}
A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}. A से B में एक संबंध R = {(x, y) : x और y का अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B} द्वारा परिभाषित कीजिए। R को रोस्टर रूप में लिखिए।
हल:
A = {1, 2, 3, 5}, B = {4, 6, 9}
R = {(x, y) : x – y विषम है, x ∈ A, y ∈ B}
सभी संभावित जोड़ियाँ बनाकर देखते हैं जिनका अंतर विषम है:
(1,4): 1-4 = -3 (विषम) => (1,4) ∈ R
(1,6): 1-6 = -5 (विषम) => (1,6) ∈ R
(1,9): 1-9 = -8 (सम) => नहीं
(2,4): 2-4 = -2 (सम) => नहीं
(2,6): 2-6 = -4 (सम) => नहीं
(2,9): 2-9 = -7 (विषम) => (2,9) ∈ R
(3,4): 3-4 = -1 (विषम) => (3,4) ∈ R
(3,6): 3-6 = -3 (विषम) => (3,6) ∈ R
(3,9): 3-9 = -6 (सम) => नहीं
(5,4): 5-4 = 1 (विषम) => (5,4) ∈ R
(5,6): 5-6 = -1 (विषम) => (5,6) ∈ R
(5,9): 5-9 = -4 (सम) => नहीं
इसलिए, R = {(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}
दी गई आकृति में, समुच्चय P से Q का एक संबंध दर्शाया गया है। इस संबंध को (i) समुच्चय निर्माण रूप (ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसके प्रांत तथा परिसर क्या हैं?
(आकृति में P के अवयव 5,6,7 और Q के अवयव 3,4,5 को तीर से जोड़ा गया है: 5→3, 6→4, 7→5)
हल:
(i) समुच्चय निर्माण रूप: R = {(x, y) : y = x – 2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) रोस्टर रूप: R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}
प्रांत (R) = {5, 6, 7}
परिसर (R) = {3, 4, 5}
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 6}. मान लीजिए कि R, A पर {(a, b) : a, b ∈ A, संख्या a संख्या b को यथावत् विभाजित करती है} द्वारा परिभाषित एक संबंध है।
(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए।
(ii) R का प्रांत ज्ञात कीजिए।
(iii) R का परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {1, 2, 3, 4, 6}
R = {(a, b) : a, b ∈ A, a, b को विभाजित करता है}
(i) उन सभी जोड़ियों (a, b) को लिखते हैं जहाँ a, b को विभाजित करता है:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6)
(2,2), (2,4), (2,6)
(3,3), (3,6)
(4,4)
(6,6)
इसलिए, R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (6,6)}
(ii) प्रांत (R) = सभी प्रथम घटकों का समुच्चय = {1, 2, 3, 4, 6} (जो कि A ही है)
(iii) परिसर (R) = सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय = {1, 2, 3, 4, 6} (जो कि A ही है)
R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
x के मान रखने पर:
R = {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10)}
प्रांत (R) = {x : (x, y) ∈ R} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
परिसर (R) = {y : (x, y) ∈ R} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
संबंध R = {(x, x³) : x, संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है} को रोस्टर रूप में लिखिए।
हल:
10 से कम अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7
R = {(x, x³) : x ∈ {2, 3, 5, 7}}
इसलिए, R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}
मान लीजिए कि A = {x, y, z} और B = {1, 2}, तो A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि n(A) = p और n(B) = q, तो A से B में संबंधों की कुल संख्या = 2pq
यहाँ, n(A) = 3, n(B) = 2
इसलिए, संबंधों की संख्या = 2(3×2) = 26 = 64
मान लीजिए कि R, Z पर, R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b एक पूर्णांक है}, द्वारा परिभाषित एक संबंध है। R के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b एक पूर्णांक है}
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, a – b हमेशा एक पूर्णांक ही होगा। इसलिए, Z के किन्हीं भी दो अवयवों का युग्म इस संबंध में होगा।
प्रांत (R) = Z (सभी पूर्णांक)
परिसर (R) = Z (सभी पूर्णांक)
निम्नलिखित संबंधों में कौन-से फलन हैं? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है, तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए।
(i) {(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)}
(ii) {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)}
(iii) {(1,3), (1,5), (2,5)}
हल:
किसी संबंध के फलन होने के लिए आवश्यक है कि प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक और केवल एक प्रतिबिम्ब (द्वितीय घटक) हो।
(i) यह एक फलन है, क्योंकि प्रत्येक प्रथम घटक (2,5,8,11,14,17) अलग-अलग हैं और प्रत्येक का एक ही प्रतिबिम्ब (1) है।
परिसर = {1}
(ii) यह एक फलन है, क्योंकि प्रत्येक प्रथम घटक (2,4,6,8,10,12,14) अलग-अलग हैं और प्रत्येक का एक ही प्रतिबिम्ब है।
परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(iii) यह फलन नहीं है, क्योंकि प्रथम घटक '1' के दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब (3 और 5) हैं।
निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = –|x|
(ii) f(x) = √(9 – x²)
हल:
(i) f(x) = –|x|
मापांक फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
प्रांत (f) = R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
चूँकि |x| ≥ 0 सदैव, इसलिए –|x| ≤ 0 सदैव।
परिसर (f) = (–∞, 0] या {y : y ∈ R, y ≤ 0}
(ii) f(x) = √(9 – x²)
वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती।
9 – x² ≥ 0 => x² ≤ 9 => –3 ≤ x ≤ 3
प्रांत (f) = [–3, 3] या {x : x ∈ R, –3 ≤ x ≤ 3}
परिसर के लिए: माना y = √(9 – x²) => y ≥ 0 (वर्गमूल हमेशा ≥ 0)
दोनों ओर वर्ग करने पर: y² = 9 – x² => x² = 9 – y²
चूँकि x² ≥ 0, इसलिए 9 – y² ≥ 0 => y² ≤ 9 => –3 ≤ y ≤ 3
परन्तु y ≥ 0 भी है, इसलिए 0 ≤ y ≤ 3
परिसर (f) = [0, 3] या {y : y ∈ R, 0 ≤ y ≤ 3}
एक फलन f(x) = 2x – 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए:
(i) f(0) (ii) f(7) (iii) f(–3)
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