UP Board Class 11 Maths 7. क्रमचय एवं संचय is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 11 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?
हल:
(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो:
चूँकि अंकों की संख्या 5 है, इसलिए प्रत्येक खाली स्थान भरने के तरीकों की संख्या 5 होगी।
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 5 × 5 × 5 = 125
(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो:
दिए गए अंकों की संख्या 5 है अर्थात् 1, 2, 3, 4, 5
इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5
दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4
सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 5 × 4 × 3 = 60
अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
हल:
हम जानते हैं कि कोई संख्या सम होगी यदि इसके इकाई स्थान पर सम संख्या हो।
दी गई संख्याओं में से सम संख्याएँ = 2, 4, 6
इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3
दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 6
सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 6
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 3 × 6 × 6 = 108
अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?
हल:
प्रथम स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 10
दूसरे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 9
तीसरे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 8
चौथे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 7
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नंबर 67 से प्रारंभ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता?
हल:
यहाँ प्रथम दो अंक निश्चित हैं (6 और 7)। अतः केवल अंतिम तीन अंकों का चयन करना है।
तीसरे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 8 (0,1,2,3,4,5,8,9)
चौथे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 7
पाँचवें स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 6
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 8 × 7 × 6 = 336
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है?
हल:
सिक्के को उछालने में दो संभावित परिणाम (चित्त और पट) प्राप्त होते हैं।
पहली बार उछालने पर परिणामों की संख्या = 2
दूसरी बार उछालने पर परिणामों की संख्या = 2
तीसरी बार उछालने पर परिणामों की संख्या = 2
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, परिणामों की संभव संख्या = 2 × 2 × 2 = 8
भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं। इनसे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों, एक के नीचे दूसरे के प्रयोग की आवश्यकता पड़ती है?
हल:
पहला झंडा चुनने के तरीकों की संख्या = 5
बचे हुए चार झंडों में से दूसरा झंडा चुनने के तरीकों की संख्या = 4
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 5 × 4 = 20
मान निकालिए:
(i) 8!
(ii) 4! - 3!
हल:
(i) 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320
(ii) 4! - 3! = (4 × 3 × 2 × 1) - (3 × 2 × 1) = 24 - 6 = 18
नोट: दो क्रमगुणित संख्याओं को सीधे जोड़ा, घटाया, गुणा तथा भाग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3! + 3! ≠ 6!, 3! - 2! ≠ 1!, 3! × 3! ≠ 9! तथा 3! ÷ 3! ≠ 1! नहीं है।
क्या 3! + 4! = 7! बराबर है?
हल:
नहीं, क्योंकि
बायाँ पक्ष = 3! + 4! = (3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1) = 6 + 24 = 30
दायाँ पक्ष = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष
\(\frac{8!}{6! \times 2!}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{8!}{6! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times 2 \times 1} = \frac{56}{2} = \mathbf{28}\)
यदि \(\frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}\) हो, तो \(x\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: \(\frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{6!} + \frac{1}{7 \times 6!} = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}\)
बाएँ पक्ष से \(\frac{1}{6!}\) उभयनिष्ठ लेने पर,
\(\frac{1}{6!}\left(1 + \frac{1}{7}\right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{6!} \times \frac{8}{7} = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}\)
\(\Rightarrow \frac{8}{7} = \frac{x}{8 \times 7}\)
\(\Rightarrow x = 8 \times 8 = \mathbf{64}\)
\(\frac{n!}{(n-r)!}\) का मान निकालिए, जब
(i) \(n = 6, r = 2\)
(ii) \(n = 9, r = 5\)
हल:
(i) \(n = 6, r = 2\) रखने पर:
\(\frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = \mathbf{30}\)
(ii) \(n = 9, r = 5\) रखने पर:
\(\frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = \mathbf{15120}\)
1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
हल:
1 से 9 तक के अंकों में से तीन विभिन्न अंक लेने पर बनी तीन अंकों की कुल संख्याएँ:
\(^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = \mathbf{504}\)
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
हल:
हमारे पास 0 से 9 तक अंकों की संख्या 10 है, किंतु पहला स्थान कभी भी शून्य से नहीं भरा जा सकता क्योंकि ऐसा करने से प्राप्त संख्या 3 अंकों की होगी।
पहला स्थान 9 तरीकों से भरा जा सकता है (1 से 9 तक)।
दूसरा स्थान भी 9 तरीकों से भरा जा सकता है (0 सहित, लेकिन पहले अंक को छोड़कर)।
तीसरा स्थान 8 तरीकों से भरा जा सकता है।
चौथा स्थान 7 तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
हल:
यदि इकाई स्थान पर सम संख्या हो, तो संख्या सम होगी।
दी गई संख्याओं में से सम संख्याएँ = 2, 4, 6
इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3
दिए गए शेष पाँच अंकों में से दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5
सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4
अतः गणना के आधारभूत सिद्धांत से, कुल तरीकों की संख्या = 3 × 5 × 4 = 60
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के प्रयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
हल:
कुल 4 अंकीय संख्याएँ:
दिए गए अंकों की कुल संख्या = 5
इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5
दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4
सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3
हजारवाँ स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 2
अतः कुल तरीकों की संख्या = 5 × 4 × 3 × 2 = 120
सम संख्याएँ:
सम संख्याएँ बनाने के लिए इकाई स्थान पर 2 या 4 होना चाहिए।
इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 2
दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4
सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3
हजारवाँ स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 2
अतः सम संख्याओं की संख्या = 2 × 4 × 3 × 2 = 48
8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
हल:
8 व्यक्तियों की समिति में, एक व्यक्ति अध्यक्ष पद के लिए 8 तरीकों से चुना जा सकता है।
चूँकि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता, अतः बचे हुए 7 व्यक्तियों में से एक व्यक्ति उपाध्यक्ष पद के लिए 7 तरीकों से चुना जा सकता है।
अतः कुल तरीकों की संख्या = 8 × 7 = 56
यदि \(^{56}P_{r+6} : ^{54}P_{r+3} = 30800 : 1\) हो, तो \(r\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: \(\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = \frac{30800}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{56!}{(56-(r+6))!}}{\frac{54!}{(54-(r+3))!}} = 30800\)
\(\Rightarrow \frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800\)
\(\Rightarrow \frac{56 \times 55 \times 54!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800\)
\(\Rightarrow 56 \times 55 \times (51-r) = 30800\)
\(\Rightarrow 3080 \times (51-r) = 30800\)
\(\Rightarrow 51 - r = 10\)
\(\Rightarrow r = 51 - 10 = \mathbf{41}\)
\(r\) का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) \(^5P_r = 2 \times ^6P_{r-1}\)
(ii) \(^5P_r = ^6P_{r-1}\)
हल:
(i) दिया है: \(^5P_r = 2 \times ^6P_{r-1}\)
\(\Rightarrow \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(6-(r-1))!}\)
\(\Rightarrow \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(7-r)!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!}\)
\(\Rightarrow 1 = \frac{12}{(7-r)(6-r)}\)
\(\Rightarrow (7-r)(6-r) = 12\)
\(\Rightarrow r^2 - 13r + 42 = 12\)
\(\Rightarrow r^2 - 13r + 30 = 0\)
\(\Rightarrow (r-10)(r-3) = 0\)
\(\Rightarrow r = 10\) या \(r = 3\)
चूँकि \(0 < r \leq 5\), अतः \(r = 10\) अमान्य है।
इसलिए, \(r = \mathbf{3}\)
(ii) दिया है: \(^5P_r = ^6P_{r-1}\)
\(\Rightarrow \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(7-r)!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!}\)
\(\Rightarrow 1 = \frac{6}{(7-r)(6-r)}\)
\(\Rightarrow (7-r)(6-r) = 6\)
\(\Rightarrow r^2 - 13r + 42 = 6\)
\(\Rightarrow r^2 - 13r + 36 = 0\)
\(\Rightarrow (r-9)(r-4) = 0\)
\(\Rightarrow r = 9\) या \(r = 4\)
चूँकि \(0 < r \leq 5\), अतः \(r = 9\) अमान्य है।
इसलिए, \(r = \mathbf{4}\)
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को केवल एक बार प्रयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
हल:
शब्द EQUATION में 8 विभिन्न अक्षर हैं।
अतः 8 अक्षरों को एकसाथ लेकर अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बनाने के तरीकों की संख्या:
\(^8P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{40320}\)
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है, यदि
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किंतु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
हल:
MONDAY शब्द के सारे अक्षर विभिन्न हैं।
(i) 6 विभिन्न अक्षरों में से 4 अक्षर लेकर शब्द बनाने के तरीकों की संख्या:
\(^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{360}\)
(ii) 6 विभिन्न अक्षरों में से एकसाथ सभी अक्षर लेकर शब्द बनाने के तरीकों की संख्या:
\(^6P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{720}\)
(iii) सर्वप्रथम, हम स्वर को निश्चित करेंगे।
शब्द MONDAY में स्वरों की संख्या दो है अर्थात् O और A स्वर हैं।
अतः पहले अक्षर को दो तरीकों से चुना जा सकता है।
बचे हुए पाँच अक्षरों में से 5 विभिन्न अक्षर लेकर शब्द बनाने के तरीकों की संख्या = \(^5P_5 = 5! = 120\)
अतः अभीष्ट शब्दों की कुल संख्या = 2 × 120 = 240
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एकसाथ नहीं आते हैं?
हल:
शब्द MISSISSIPPI में 11 अक्षर हैं जिनमें:
M → 1 बार, I → 4 बार, S → 4 बार, P → 2 बार
कुल क्रमचयों की संख्या = \(\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = \frac{39916800}{24 \times 24 \times 2} = \frac{39916800}{1152} = 34650\)
यदि चारों I एकसाथ लेते हैं, तब इसे हम एक अक्षर मान लेते हैं।
तब कुल अक्षर = 8 (7 मूल अक्षर + 1 समूह अक्षर)
क्रमचयों की संख्या = \(\frac{8!}{4! \times 2!} = \frac{40320}{24 \times 2} = \frac{40320}{48} = 840\)
अतः वे क्रमचय जिनमें चारों I एकसाथ नहीं आते हैं = 34650 - 840 = 33810
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है?
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एकसाथ हैं?
(iii) चयनित शब्द में P और S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
हल:
शब्द PERMUTATIONS में अक्षर:
P → 2 बार, E → 1 बार, R → 1 बार, M → 1 बार, U → 1 बार, T → 2 बार, A → 1 बार, I → 1 बार, O → 1 बार, N → 1 बार, S → 1 बार
कुल अक्षर = 12
(i) शब्द जिनका प्रारंभ P से तथा अंत S से हो:
प्रथम तथा अंतिम स्थान क्रमशः P तथा S से भरे जाएँगे।
बचे हुए 10 स्थान भरे जाने के तरीकों की संख्या = \(\frac{10!}{2!}\) (क्योंकि T दो बार आता है)
= \(\frac{3628800}{2} = \mathbf{1814400}\)
(ii) यदि सभी स्वर एकसाथ लिए गए हों, तब इसे हम एक अक्षर मान लेते हैं।
स्वर हैं: E, U, A, I, O (कुल 5)
तब कुल अक्षर = 8 (7 व्यंजन + 1 स्वर समूह)
5 स्वरों को 5! तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः क्रमचयों की अभीष्ट संख्या = \(\frac{8!}{2!} \times 5! = \frac{40320}{2} \times 120 = 20160 \times 120 = \mathbf{2419200}\)
(iii) P और S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों:
P और S को 7 तरीकों से रखा जा सकता है ताकि उनके बीच 4 अक्षर हों।
P और S को स्वयं 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
बचे हुए 10 अक्षर (जिनमें T दो बार है) भरे जाने के तरीकों की संख्या = \(\frac{10!}{2!}\)
अतः कुल तरीकों की संख्या = \(7 \times 2! \times \frac{10!}{2!} = 7 \times 2 \times 1814400 = \mathbf{25401600}\)
यदि \(^{n}C_8 = ^{n}C_2\) हो, तो \(^{n}C_2\) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: \(^{n}C_8 = ^{n}C_2\)
हम जानते हैं: \(^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}\)
अतः \(^{n}C_8 = ^{n}C_{n-8}\)
इसलिए, \(n - 8 = 2 \Rightarrow n = 10\)
अब, \(^{n}C_2 = ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \mathbf{45}\)
\(n\) का मान निकालिए, यदि
(i) \(^{2n}C_3 : ^{n}C_3 = 12 : 1\)
(ii) \(^{2n}C_3 : ^{n}C_3 =
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