UP Board Class 12 Maths 12. रैखिक प्रोग्रामन is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 12 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या: वह समस्या है जो अनेक चरों के रैखिक फलन के अधिकतम अथवा न्यूनतम मान को ज्ञात करने से सम्बन्धित है। इस फलन को उद्देश्य फलन कहते हैं।
व्यवरोध: जिन प्रतिबन्धों के अन्तर्गत इष्टतमीकरण किया जाता है, उन्हें व्यवरोध कहते हैं। इन्हें ≤, ≥, = से प्रदर्शित किया जाता है।
सुसंगत क्षेत्र: व्यवरोधों द्वारा निर्धारित क्षेत्र के अंतःभाग तथा सीमान्त बिन्दु व्यवरोधों के सुसंगत हलों को प्रदर्शित करते हैं।
रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने की चरणबद्ध विधि:
ग्राफीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = 3x + 4y
अवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
रेखा x + y = 4, बिन्दु A(4, 0) और B(0, 4) से होकर गुजरती है।
असमिका x + y ≤ 4 में (0,0) रखने पर 0 ≤ 4 (सत्य)। अतः मूलबिन्दु इस क्षेत्र में है।
x ≥ 0 का क्षेत्र y-अक्ष के दायीं ओर है।
y ≥ 0 का क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर है।
सुसंगत क्षेत्र ΔOAB है।
कोनीय बिन्दु O(0,0), A(4,0), B(0,4) हैं।
| कोनीय बिन्दु | Z = 3x + 4y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| A(4, 0) | 12 |
| B(0, 4) | 16 (अधिकतम) |
अतः Z का अधिकतम मान 16 है, जो बिन्दु B(0, 4) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = –3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = –3x + 4y
अवरोध: x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OPRB है।
रेखाओं x + 2y = 8 और 3x + 2y = 12 का प्रतिच्छेदन बिन्दु P(2, 3) है।
कोनीय बिन्दु: O(0,0), R(4,0), P(2,3), B(0,4)
| कोनीय बिन्दु | Z = –3x + 4y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| R(4, 0) | –12 (न्यूनतम) |
| P(2, 3) | 6 |
| B(0, 4) | 16 |
अतः Z का न्यूनतम मान –12 है, जो बिन्दु R(4, 0) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = 5x + 3y
अवरोध: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OABC है।
रेखाओं 3x + 5y = 15 और 5x + 2y = 10 का प्रतिच्छेदन बिन्दु B(20/19, 45/19) है।
कोनीय बिन्दु: O(0,0), A(2,0), B(20/19, 45/19), C(0,3)
| कोनीय बिन्दु | Z = 5x + 3y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| A(2, 0) | 10 |
| B(20/19, 45/19) | 235/19 ≈ 12.37 (अधिकतम) |
| C(0, 3) | 9 |
अतः Z का अधिकतम मान 235/19 है, जो बिन्दु B(20/19, 45/19) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = 3x + 5y
अवरोध: x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, जिसके कोनीय बिन्दु A(3,0), R(3/2, 1/2), D(0,2) हैं।
(रेखाओं x+3y=3 और x+y=2 का प्रतिच्छेदन बिन्दु R(3/2, 1/2) है।)
| कोनीय बिन्दु | Z = 3x + 5y |
|---|---|
| A(3, 0) | 9 |
| R(3/2, 1/2) | 7 (न्यूनतम) |
| D(0, 2) | 10 |
अतः Z का न्यूनतम मान 7 है, जो बिन्दु R(3/2, 1/2) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = 3x + 2y
अवरोध: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OPRB है।
रेखाओं x+2y=10 और 3x+y=15 का प्रतिच्छेदन बिन्दु P(4,3) है।
कोनीय बिन्दु: O(0,0), R(5,0), P(4,3), B(0,5)
| कोनीय बिन्दु | Z = 3x + 2y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| R(5, 0) | 15 |
| P(4, 3) | 18 (अधिकतम) |
| B(0, 5) | 10 |
अतः Z का अधिकतम मान 18 है, जो बिन्दु P(4,3) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = x + 2y
अवरोध: 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। कोनीय बिन्दु P(6,0) और B(0,3) हैं।
(रेखा 2x+y=3 और x+2y=6 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (0,3) है, जो B ही है।)
| कोनीय बिन्दु | Z = x + 2y |
|---|---|
| P(6, 0) | 6 |
| B(0, 3) | 6 |
Z का मान दोनों बिन्दुओं पर 6 है। वास्तव में, रेखाखण्ड PB पर स्थित प्रत्येक बिन्दु पर Z का मान 6 है।
अतः Z का न्यूनतम मान 6 है, जो रेखाखण्ड PB के सभी बिन्दुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = 5x + 10y
अवरोध: x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र PSRQ है।
कोनीय बिन्दु: P(60,0), S(40,20), R(60,30), Q(120,0)
| कोनीय बिन्दु | Z = 5x + 10y |
|---|---|
| P(60, 0) | 300 (न्यूनतम) |
| S(40, 20) | 400 |
| R(60, 30) | 600 |
| Q(120, 0) | 600 |
Z का न्यूनतम मान 300 (बिन्दु P पर) है।
Z का अधिकतम मान 600 है, जो बिन्दु R और Q को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर सभी बिन्दुओं पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = x + 2y
अवरोध: x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र BPRC है।
कोनीय बिन्दु: B(0,50), P(20,40), R(50,100), C(0,200)
| कोनीय बिन्दु | Z = x + 2y |
|---|---|
| B(0, 50) | 100 |
| P(20, 40) | 100 |
| R(50, 100) | 250 |
| C(0, 200) | 400 (अधिकतम) |
Z का न्यूनतम मान 100 है, जो रेखाखण्ड BP के सभी बिन्दुओं पर प्राप्त होता है।
Z का अधिकतम मान 400 है, जो बिन्दु C(0,200) पर प्राप्त होता है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = –x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = –x + 2y
अवरोध: x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। कोनीय बिन्दु Q(3,2), R(4,1), C(6,0) हैं।
| कोनीय बिन्दु | Z = –x + 2y |
|---|---|
| Q(3, 2) | 1 |
| R(4, 1) | -2 |
| C(6, 0) | -6 |
Z का मान Q पर 1 है। परन्तु चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, और –x + 2y > 1 के लिए भी सुसंगत क्षेत्र में अनन्त बिन्दु हैं, अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x – y ≤ –1, –x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन: Z = x + y
अवरोध: x – y ≤ –1, –x + y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0
दूसरा अवरोध –x + y ≤ 0 ⇒ y ≤ x है।
पहला अवरोध x – y ≤ –1 ⇒ y ≥ x + 1 है।
y ≤ x और y ≥ x + 1 एक साथ सम्भव नहीं हैं।
अतः कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है। इसलिए Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिनों की कम से कम 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों। भोज्य P की लागत ₹ 60/किग्रा और भोज्य Q की लागत ₹ 80/किग्रा है। भोज्य P में 3 मात्रक/किग्रा विटामिन A और 5 मात्रक/किग्रा विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/किग्रा विटामिन A और 2 मात्रक/किग्रा विटामिन B है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेशमा x किग्रा भोज्य P और y किग्रा भोज्य Q मिलाती है।
उद्देश्य फलन (लागत): Z = 60x + 80y (न्यूनतम करनी है)
अवरोध:
विटामिन A के लिए: 3x + 4y ≥ 8
विटामिन B के लिए: 5x + 2y ≥ 11
x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। कोनीय बिन्दु A(11/5, 0), P(2, 1/2), B(0, 4) हैं।
| कोनीय बिन्दु | Z = 60x + 80y |
|---|---|
| A(11/5, 0) | 132 |
| P(2, 1/2) | 160 (न्यूनतम) |
| B(0, 4) | 320 |
न्यूनतम लागत ₹ 160 है, जब 2 किग्रा भोज्य P और 1/2 किग्रा भोज्य Q लिया जाए।
एक प्रकार के केक को 200 ग्राम आटा तथा 25 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 ग्राम आटा तथा 50 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
हल:
माना पहले प्रकार के x केक और दूसरे प्रकार के y केक बनते हैं।
उद्देश्य फलन (कुल केक): Z = x + y (अधिकतम करनी है)
अवरोध:
आटे के लिए: 200x + 100y ≤ 5000 ⇒ 2x + y ≤ 50
वसा के लिए: 25x + 50y ≤ 1000 ⇒ x + 2y ≤ 40
x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OAPD है। कोनीय बिन्दु O(0,0), A(25,0), P(20,10), D(0,20)
| कोनीय बिन्दु | Z = x + y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| A(25, 0) | 25 |
| P(20, 10) | 30 (अधिकतम) |
| D(0, 20) | 20 |
अधिकतम 30 केक बन सकते हैं (20 पहले प्रकार के और 10 दूसरे प्रकार के)।
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने में 1.5 घण्टे मशीनी समय तथा 3 घण्टे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घण्टे मशीनी समय तथा 1 घण्टा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में मशीनों पर उपलब्ध मशीनी समय 42 घण्टे और शिल्पकार समय 24 घण्टे से अधिक नहीं है।
(i) रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः ₹ 20 तथा ₹ 10 हों तो अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x रैकेट और y बल्ले बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन (लाभ): Z = 20x + 10y (अधिकतम करनी है)
अवरोध:
मशीनी समय: 1.5x + 3y ≤ 42 ⇒ x + 2y ≤ 28
शिल्पकार समय: 3x + y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OCPB है। कोनीय बिन्दु O(0,0), C(8,0), P(4,12), B(0,14)
| कोनीय बिन्दु | Z = 20x + 10y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| C(8, 0) | 160 |
| P(4, 12) | 200 (अधिकतम) |
| B(0, 14) | 140 |
(i) पूरी क्षमता से कार्य करने के लिए 4 रैकेट और 12 बल्ले बनाए जाएँ।
(ii) अधिकतम लाभ = ₹ 200
एक निर्माता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर 1 घण्टा और मशीन B पर 3 घण्टे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घण्टे मशीन A पर और 1 घण्टा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से ₹ 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर ₹ 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घण्टे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके?
हल:
माना x पैकेट नट और y पैकेट बोल्ट बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन (लाभ): Z = 17.5x + 7y (अधिकतम करनी है)
अवरोध:
मशीन A: x + 3y ≤ 12
मशीन B: 3x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
सुसंगत क्षेत्र OABC है। कोनीय बिन्दु O(0,0), A(4,0), B(3,3), C(0,4)
| कोनीय बिन्दु | Z = 17.5x + 7y |
|---|---|
| O(0, 0) | 0 |
| A(4, 0) | 70 |
| B(3, 3) | 73.5 (अधिकतम) |
| C(0, 4) | 28 |
अधिकतम लाभ ₹ 73.5 है, जब 3 पैकेट नट और 3 पैकेट बोल्ट बनाए जाएँ।
एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों (स्वचालित और हस्तचालित) का प्रयोग होता है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन का समय लगता है। एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का समय लगता है। प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम 4 घण्टे (240 मिनट) काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर ₹ 7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर ₹ 10 का लाभ कमाता है। अधिकतम लाभ के लिए प्रतिदिन कितने पैकेट प्रत्येक प्रकार के बनाए जाएँ?
हल:
माना x पैकेट पेंच A और y पैकेट पेंच B बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन (लाभ): Z = 7x + 10y (अधिकतम करनी है)
अवरोध:
स
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