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UP Board Class 12 Physics (11. विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति) solution PDF

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UP Board Class 12 Physics (11. विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति) solution

UP Board Class 12 Physics 11. विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति Hindi Medium Solutions - PDF

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UP Board Solutions for Class 12 Physics

अध्याय 11: विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति
Dual Nature of Radiation and Matter

प्रश्न 1. 30 kV विभवान्तर पर त्वरित इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्पन्न X-किरणों की (a) उच्चतम आवृत्ति तथा (b) निम्नतम तरंगदैर्घ्य ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है, विभवान्तर V = 30 kV = 30 × 10³ V, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, h = 6.63 × 10⁻³⁴ J-s

(a) ऊर्जा के लिए सूत्र: E = eV = hν
ν = eV/h = (1.6 × 10⁻¹⁹ × 30 × 10³) / (6.63 × 10⁻³⁴)
ν ≈ 7.24 × 10¹⁸ Hz

(b) X-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्घ्य λ_min = c/ν = (3 × 10⁸) / (7.24 × 10¹⁸)
λ_min ≈ 0.0414 × 10⁻⁹ m = 0.0414 nm

प्रश्न 2. सीजियम धातु का कार्य-फलन 2.14 eV है। जब 6 × 10¹⁴ Hz आवृत्ति का प्रकाश धातु-पृष्ठ पर आपतित होता है, तब इलेक्ट्रॉनों का प्रकाशिक उत्सर्जन होता है। (a) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा, (b) निरोधी विभव और (c) उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम चाल ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है, कार्य-फलन φ₀ = 2.14 eV, आवृत्ति ν = 6 × 10¹⁴ Hz

(a) आइन्सटीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण से:
K_max = hν – φ₀ = (6.63×10⁻³⁴ × 6×10¹⁴)/(1.6×10⁻¹⁹) – 2.14
K_max ≈ 2.48 – 2.14 = 0.34 eV

(b) निरोधी विभव V₀: K_max = eV₀ ⇒ V₀ = 0.34 V

(c) अधिकतम चाल v_max: K_max = ½ m v_max²
v_max = √(2K_max/m) = √(2 × 0.34 × 1.6×10⁻¹⁹)/(9.1×10⁻³¹) ≈ 3.5 × 10⁵ m/s = 350 km/s

प्रश्न 3. एक विशिष्ट प्रयोग में प्रकाश-विद्युत प्रभाव की अंतक वोल्टता 1.5 V है। उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा कितनी है?

हल: दिया है, निरोधी विभव V₀ = 1.5 V
अधिकतम गतिज ऊर्जा K_max = eV₀ = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 1.5 = 2.4 × 10⁻¹⁹ J

प्रश्न 4. 632.8 nm तरंगदैर्घ्य का एकवर्णी प्रकाश एक हीलियम-नियॉन लेसर द्वारा उत्पन्न किया जाता है। उत्सर्जित शक्ति 9.42 mW है। (a) प्रकाश के किरण-पुंज में प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा तथा संवेग प्राप्त कीजिए। (b) इस किरण-पुंज के द्वारा विकिरित किसी लक्ष्य पर औसतन कितने फोटॉन प्रति सेकण्ड पहुँचेंगे? (c) एक हाइड्रोजन परमाणु को फोटॉन के बराबर संवेग प्राप्त करने के लिए कितनी तेज चाल से चलना होगा?

हल: दिया है, λ = 632.8 nm = 632.8 × 10⁻⁹ m, शक्ति P = 9.42 mW = 9.42 × 10⁻³ W

(a) प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा E = hc/λ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(632.8×10⁻⁹) ≈ 3.14 × 10⁻¹⁹ J
संवेग p = h/λ = 6.63×10⁻³⁴ / (632.8×10⁻⁹) ≈ 1.05 × 10⁻²⁷ kg m/s

(b) प्रति सेकण्ड फोटॉनों की संख्या n = P/E = (9.42×10⁻³)/(3.14×10⁻¹⁹) ≈ 3 × 10¹⁶ photon/s

(c) फोटॉन का संवेग p = 1.05 × 10⁻²⁷ kg m/s
हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान m = 1.67 × 10⁻²⁷ kg
चाल v = p/m = 1.05×10⁻²⁷ / 1.67×10⁻²⁷ ≈ 0.63 m/s

प्रश्न 5. पृथ्वी के पृष्ठ पर पहुँचने वाले सूर्य-प्रकाश का ऊर्जा-अभिवाह (फ्लक्स) 1.388 × 10³ W/m² है। लगभग कितने फोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकण्ड पृथ्वी पर आपतित होते हैं? यह मान लें कि सूर्य-प्रकाश में फोटॉन का औसत तरंगदैर्घ्य 550 nm है।

हल: दिया है, ऊर्जा फ्लक्स Φ = 1.388 × 10³ W/m², λ = 550 nm = 550 × 10⁻⁹ m
प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा E = hc/λ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(550×10⁻⁹) ≈ 3.616 × 10⁻¹⁹ J
प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकण्ड फोटॉनों की संख्या n = Φ/E = (1.388×10³)/(3.616×10⁻¹⁹) ≈ 3.84 × 10²¹ photon/(m² s)

प्रश्न 6. प्रकाश-विद्युत प्रभाव के एक प्रयोग में, प्रकाश आवृत्ति के विरुद्ध अंतक वोल्टता का ग्राफ खींचने पर ढलान 4.12 × 10⁻¹⁵ V-s प्राप्त होती है। प्लांक स्थिरांक का मान परिकलित कीजिए।

हल: ग्राफ का ढलान = h/e
h = ढलान × e = 4.12 × 10⁻¹⁵ × 1.6 × 10⁻¹⁹ = 6.592 × 10⁻³⁴ J-s

प्रश्न 7. एक 100 W सोडियम बल्ब सभी दिशाओं में एकसमान ऊर्जा विकिरित करता है। लैम्प को एक बड़े गोले के केन्द्र पर रखा गया है जो इस पर आपतित सोडियम के सम्पूर्ण प्रकाश को अवशोषित करता है। सोडियम प्रकाश का तरंगदैर्घ्य 589 nm है। (a) सोडियम प्रकाश से जुड़े प्रति फोटॉन की ऊर्जा कितनी है? (b) गोले को किस दर से फोटॉन प्रदान किए जा रहे हैं?

हल: दिया है, P = 100 W, λ = 589 nm = 589 × 10⁻⁹ m

(a) E = hc/λ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(589×10⁻⁹) ≈ 3.38 × 10⁻¹⁹ J ≈ 2.11 eV

(b) n = P/E = 100 / (3.38×10⁻¹⁹) ≈ 2.96 × 10²⁰ photon/s

प्रश्न 8. किसी धातु की देहली आवृत्ति 3.3 × 10¹⁴ Hz है। यदि 8.2 × 10¹⁴ Hz आवृत्ति का प्रकाश धातु पर आपतित हो, तो प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए अंतक वोल्टता ज्ञात कीजिए।

हल: ν₀ = 3.3 × 10¹⁴ Hz, ν = 8.2 × 10¹⁴ Hz
K_max = h(ν – ν₀) = 6.63×10⁻³⁴ × (8.2 – 3.3) × 10¹⁴ = 3.25 × 10⁻¹⁹ J
V₀ = K_max/e = (3.25×10⁻¹⁹)/(1.6×10⁻¹⁹) ≈ 2.03 V

प्रश्न 9. किसी धातु के लिए कार्य-फलन 4.2 eV है। क्या यह धातु 330 nm तरंगदैर्घ्य के आपतित विकिरण के लिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन देगा?

हल: φ₀ = 4.2 eV, λ = 330 nm = 330 × 10⁻⁹ m
फोटॉन की ऊर्जा E = hc/λ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(330×10⁻⁹ × 1.6×10⁻¹⁹) ≈ 3.77 eV
चूँकि E < φ₀, अतः प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।

प्रश्न 10. 7.21 × 10¹⁴ Hz आवृत्ति का प्रकाश एक धातु-पृष्ठ पर आपतित है। इस पृष्ठ से 6.0 × 10⁵ m/s की उच्चतम गति से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो रहे हैं। इलेक्ट्रॉनों के प्रकाश उत्सर्जन के लिए देहली आवृत्ति क्या है?

हल: ν = 7.21 × 10¹⁴ Hz, v_max = 6.0 × 10⁵ m/s, m = 9.1 × 10⁻³¹ kg
K_max = ½ m v_max² = ½ × 9.1×10⁻³¹ × (6×10⁵)² = 1.638 × 10⁻¹⁹ J
K_max = hν – hν₀ ⇒ ν₀ = ν – (K_max/h)
ν₀ = 7.21×10¹⁴ – (1.638×10⁻¹⁹)/(6.63×10⁻³⁴) ≈ 4.74 × 10¹⁴ Hz

विविध प्रश्नावली

प्रश्न 20. (a) एक निर्वात् नली के तापित कैथोड से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उस चाल का आकलन कीजिए जिससे वे उत्सर्जक की तुलना में 500 V के विभवान्तर पर रखे गए एनोड से टकराते हैं। (b) संग्राहक विभव 10 MV के लिए इलेक्ट्रॉन की चाल ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का प्रयोग करें। क्या आप इस सूत्र को गलत पाते हैं? इस सूत्र को किस प्रकार सुधारा जा सकता है?

हल: (a) V = 500 V, e/m = 1.76 × 10¹¹ C/kg
v = √(2eV/m) = √(2 × 1.76×10¹¹ × 500) ≈ 1.33 × 10⁷ m/s

(b) V = 10 MV = 10⁷ V
v = √(2 × 1.76×10¹¹ × 10⁷) ≈ 1.88 × 10⁹ m/s
यह चाल प्रकाश की चाल (3×10⁸ m/s) से अधिक है, जो असंभव है। अतः उच्च ऊर्जाओं के लिए सापेक्षिकीय सूत्र v = c √[1 – (1/(1 + eV/m₀c²))²] प्रयोग करना चाहिए।

प्रश्न 21. (a) एक समोर्जी इलेक्ट्रॉन किरण-पुंज जिसकी चाल 5.20 × 10⁶ m/s है, पर 1.30 × 10⁻⁴ T का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र लम्बवत् लगाया जाता है। किरण-पुंज द्वारा आरेखित वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी? (b) क्या यह सूत्र 20 MeV इलेक्ट्रॉन किरण-पुंज की त्रिज्या परिकलित करने के लिए युक्तिपरक है? यदि नहीं तो किस प्रकार सुधार किया जा सकता है?

हल: (a) v = 5.20 × 10⁶ m/s, B = 1.30 × 10⁻⁴ T, e/m = 1.76 × 10¹¹ C/kg
r = mv/(eB) = v / [(e/m)B] = (5.20×10⁶)/(1.76×10¹¹ × 1.30×10⁻⁴) ≈ 0.227 m = 22.7 cm

(b) 20 MeV की ऊर्जा पर इलेक्ट्रॉन की चाल प्रकाश की चाल के तुलनीय हो जाती है, अतः गैर-सापेक्षिक सूत्र r = mv/(eB) मान्य नहीं रहता। सापेक्षिकीय सूत्र r = p/(eB) = [√(E² – (m₀c²)²)]/(eBc) प्रयोग करना चाहिए।

प्रश्न 22. एक इलेक्ट्रॉन गन जिसका संग्राहक 100 V विभव पर है, एक कम दाब (10⁻² mm Hg) पर हाइड्रोजन से भरे गोलाकार बल्ब में इलेक्ट्रॉन छोड़ती है। एक चुम्बकीय क्षेत्र जिसका मान 2.83 × 10⁻⁴ T है, इलेक्ट्रॉन के मार्ग को 12.0 cm त्रिज्या के वृत्तीय कक्षा में वक्रित कर देता है। आँकड़ों से e/m का मान निर्धारित कीजिए।

हल: V = 100 V, B = 2.83 × 10⁻⁴ T, r = 12.0 cm = 0.12 m
इलेक्ट्रॉन की चाल v = √(2eV/m)
चुम्बकीय बल = अभिकेन्द्र बल ⇒ evB = mv²/r ⇒ e/m = v/(Br)
परन्तु v = √(2eV/m) ⇒ v² = 2V(e/m)
इन समीकरणों को हल करने पर: e/m = 2V/(B²r²) = 2×100/[(2.83×10⁻⁴)² × (0.12)²] ≈ 1.74 × 10¹¹ C/kg

प्रश्न 23. (a) एक X-किरण नली विकिरण का एक संतत स्पेक्ट्रम जिसका लघु तरंगदैर्घ्य सिरा 0.45 Å पर है, उत्पन्न करता है। विकिरण में किसी फोटॉन की उच्चतम ऊर्जा कितनी है? (b) अपने उत्तर से अनुमान लगाइए कि किस कोटि की त्वरक वोल्टता की इस नली में आवश्यकता है?

हल: (a) λ_min = 0.45 Å = 0.45 × 10⁻¹⁰ m
E_max = hc/λ_min = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(0.45×10⁻¹⁰ × 1.6×10⁻¹⁹) ≈ 27.6 keV

(b) X-किरण उत्पन्न करने के लिए इलेक्ट्रॉनों को कम से कम 27.6 keV की ऊर्जा देनी होगी, अतः त्वरक वोल्टता लगभग 30 kV की आवश्यकता है।

प्रश्न 24. एक त्वरक (accelerator) पर प्रयोग में पॉजिट्रॉनों के साथ इलेक्ट्रॉनों के उच्च-ऊर्जा संघट्टन पर, एक विशिष्ट घटना की व्याख्या कुल ऊर्जा 10.2 BeV के इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन युग्म के बराबर ऊर्जा की दो γ-किरणों में विलोपन के रूप में की जाती है। प्रत्येक γ-किरण से सम्बन्धित तरंगदैर्घ्य का मान क्या होगा?

हल: प्रत्येक γ-किरण की ऊर्जा E = 10.2/2 = 5.1 BeV = 5.1 × 10⁹ eV
λ = hc/E = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(5.1×10⁹ × 1.6×10⁻¹⁹) ≈ 2.44 × 10⁻¹⁶ m

प्रश्न 25. (a) एक मध्य तरंग 10 kW सामर्थ्य के प्रेषी, जो 500 m तरंगदैर्घ्य की रेडियो तरंग उत्सर्जित करता है, के द्वारा प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या ज्ञात कीजिए। (b) निम्नतम तीव्रता का श्वेत प्रकाश जिसे हम देख सकते हैं (~10⁻¹⁰ W/m²) के संगत फोटॉनों की संख्या जो प्रति सेकण्ड हमारे नेत्रों की पुतली में प्रवेश करती है। पुतली का क्षेत्रफल लगभग 0.4 cm² और श्वेत प्रकाश की औसत आवृत्ति को 6 × 10¹⁴ Hz मानिए।

हल: (a) P = 10 kW = 10⁴ W, λ = 500 m
E_photon = hc/λ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/500 ≈ 3.98 × 10⁻²⁸ J
n = P/E_photon = 10⁴/(3.98×10⁻²⁸) ≈ 2.51 × 10³¹ photon/s

(b) I = 10⁻¹⁰ W/m², क्षेत्रफल A = 0.4 cm² = 4 × 10⁻⁵ m², ν = 6 × 10¹⁴ Hz
प्रति सेकण्ड आँख पर आपतित ऊर्जा = I × A = 10⁻¹⁰ × 4×10⁻⁵ = 4 × 10⁻¹⁵ W
E_photon = hν = 6.63×10⁻³⁴ × 6×10¹⁴ ≈ 3.98 × 10⁻¹⁹ J
n = (4 × 10⁻¹⁵)/(3.98 × 10⁻¹⁹) ≈ 1.01 × 10⁴ photon/s

प्रश्न 26. एक 100 W पारा स्रोत से उत्पन्न 2271 Å तरंगदैर्घ्य का पराबैंगनी प्रकाश एक मॉलिब्डेनम धातु से निर्मित प्रकाश सेल को विकिरित करता है। यदि निरोधी विभव -1.3 V हो, तो धातु के कार्य-फलन का आकलन कीजिए। एक He-Ne लेसर द्वारा उत्पन्न 6328 Å के उच्च तीव्रता (~10⁵ W/m²) के लाल प्रकाश के साथ प्रकाश सेल किस प्रकार अनुक्रिया करेगा?

हल: λ = 2271 Å = 2271 × 10⁻¹⁰ m, V₀ = 1.3 V
कार्य-फलन φ₀ = hc/λ – eV₀
φ₀ = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(2271×10⁻¹⁰ × 1.6×10⁻¹⁹) – 1.3 ≈ 5.47 – 1.3 = 4.17 eV

लाल प्रकाश λ' = 6328 Å = 6328 × 10⁻¹⁰ m
फोटॉन ऊर्जा E' = hc/λ' = (6.63×10⁻³⁴ × 3×10⁸)/(6328×10⁻¹⁰ × 1.6×10⁻¹⁹) ≈ 1.96 eV
चूँकि E' < φ₀, अतः प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा, चाहे तीव्रता कितनी भी अधिक क्यों न हो।

प्रश्न 27. एक नियॉन लैम्प से उत्पन्न 640.2 nm तरंगदैर्घ्य का एकवर्णी विकिरण टंगस्टन पर सीजियम से निर्मित प्रकाश-संवेदी पदार्थ को विकिरित करता है। निरोधी वोल्टता 0.54 V मापी जाती है। स्रोत को एक लौह-स्रोत से बदल दिया जाता है। इसकी 427.2 nm वर्ण-रेखा उसी प्रकाश सेल को विकिरित करती है। नयी निरोधी वोल्टता ज्ञात कीजिए।

हल: λ₁ = 640.2 nm, V₀₁ = 0.54 V
कार्य-फलन φ₀ = hc/λ₁ – eV₀₁
λ₂ = 427.2 nm के लिए,
eV₀₂ = hc/λ₂ – φ₀
गणना करने पर: V₀₂ ≈ 1.51 V

प्रश्न 28. पारद लैम्प की विभिन्न वर्ण-रेखाओं (λ₁=3650 Å, λ₂=4047 Å, λ₃=4358 Å, λ₄=5461 Å, λ₅=6907 Å) के लिए रूबीडियम प्रकाश सेल पर मापी गई निरोधी वोल्टताएँ क्रमशः V₀₁=1.28 V, V₀₂=0.95 V, V₀₃=0.74 V, V₀₄=0.16 V, V₀₅=0 V हैं। (a) प्लांक नियतांक h का मान ज्ञात कीजिए। (b) धातु के लिए देहली आवृत्ति तथा कार्य-फलन का आकलन कीजिए।

हल: आइन्सटीन समीकरण: eV₀ = hν – φ₀
V₀ vs ν ग्राफ एक सरल रेखा है जिसका ढलान = h/e और अन्तःखण्ड = –φ₀/e
दो बिन्दुओं (ν₁, V₀₁) और (ν₄, V₀₄) का उपयोग करते हुए:
ν₁ = c/λ₁ = 3×10⁸/(3650×10⁻¹⁰) ≈ 8.219×10¹⁴ Hz
ν₄ = c/λ₄ = 3×10⁸/(5461×10⁻¹⁰) ≈ 5.493×10¹⁴ Hz
ढलान = (V₀₁ – V₀₄)/(ν₁ – ν₄) = (1.28 – 0.16)/(8.219–5.493)×10¹⁴ = 1.12/(2.726×10¹⁴) ≈ 4.11×10⁻¹⁵ V/Hz
h = ढलान × e = 4.11×10⁻¹⁵ × 1.6×10⁻¹⁹ ≈ 6.58×10⁻³⁴ J-s
ग्राफ से बाह्रा खण्ड से φ₀ ≈ 2.05 eV प्राप्त होता है।

प्रश्न 29. निम्न धातुओं के कार्य-फलन दिए गए हैं: Na: 2.75 eV; K: 2.30 eV; Mo: 4.17 eV; Ni: 5.15 eV। इन धातुओं में से कौन प्रकाश सेल से 1 m दूर रखे गए He-Cd लेसर से उत्पन्न 3300 Å तरंगदैर्घ्य के विकिरण के लिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं देगा? लेसर को सेल के निकट 50 cm की दूरी पर रखने पर क्या होगा?

हल: λ = 3300 Å = 3300 × 10⁻¹⁰ m
फोटॉन ऊर्जा E = hc/λ = 12400 eV-Å / 3300 Å ≈ 3.76 eV
जिन धातुओं का कार्य-फलन 3.76 eV से अधिक है (Mo, Ni), वे प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं देंगी।
दूरी कम करने से केवल प्रकाश की तीव्रता बढ़ेगी, फोटॉन ऊर्जा नहीं बदलेगी। अतः Mo और Ni के लिए उत्सर्जन फिर भी नहीं होगा।

प्रश्न 30. 10⁵ W/m² तीव्रता का प्रकाश सोडियम के 2 cm² क्षेत्रफल के पृष्ठ पर पड़ता है। यह मान लें कि ऊपर की सोडियम की पाँच परतें आपतित ऊर्जा को अवशोषित करती हैं, तो विकिरण के तरंग-चित्रण में प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए आवश्यक समय का आकलन कीजिए। धातु के लिए कार्य-फलन लगभग 2 eV दिया गया है। आपके उत्तर का क्या न

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Other Chapters of Class 12 Physics
1. वैधुत आवेश तथा क्षेत्र
2. स्थिर वैधुत विभव तथा धारिता
3. विद्युत धारा
4. गतिमान आवेश और चुंबकत्व
5. चुंबकत्व एवं द्रव्य
6. वैधुत चुंबकीय प्रेरण
7. प्रत्यावर्ती धारा
8. वैधुत चुंबकीय तरंग
9. किरण प्रकाशिकी एवं प्रकाशिक यंत्र
10. तरंग प्रकाशिकी
11. विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति
12. परमाणु
13. नाभिक
14. अर्धचालक इलेक्ट्रॉनिकी पदार्थ युक्तियाँ तथा सरल परिपथ
15. संचार व्यवस्था
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