UP Board class 9 Maths 1. संख्या पद्धति is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 9 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
उत्तर:
हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है। परिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो। शून्य को हम 0/1, 0/2, 0/5 आदि किसी भी रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0 = 0/5, जहाँ p=0 और q=5 (q ≠ 0) है। इसलिए, शून्य एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
3 और 4 के बीच छह परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों संख्याओं के बीच की संख्याओं को भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। एक सरल विधि यह है कि दोनों संख्याओं को उचित हर वाली भिन्न में बदलें।
3 और 4 को क्रमशः 21/7 और 28/7 के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार, 21/7 और 28/7 के बीच छह परिमेय संख्याएँ होंगी:
उत्तर:
3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम दोनों भिन्नों के हर को बराबर और बड़ा बना सकते हैं।
3/5 और 4/5 के हर को 10 से गुणा करने पर हमें 30/50 और 40/50 प्राप्त होते हैं।
अब, 30/50 और 40/50 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:
उत्तर:
(i) सत्य। कारण: प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4,... होती हैं। पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4,... होती हैं। स्पष्ट है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या पूर्ण संख्या के समुच्चय में भी शामिल है।
(ii) असत्य। कारण: पूर्णांकों में ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... आते हैं, जबकि पूर्ण संख्याएँ केवल 0 और धनात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3...) होती हैं। ऋणात्मक पूर्णांक (जैसे -1, -2) पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।
(iii) असत्य। कारण: परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो। उदाहरण: 1/2, 3/4, -2/5 आदि परिमेय संख्याएँ हैं लेकिन पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं। पूर्ण संख्याएँ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं।
उत्तर:
(i) सत्य। कारण: वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। इसलिए, प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
(ii) असत्य। कारण: संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को निरूपित करता है। ये वास्तविक संख्याएँ परिमेय (जैसे 2, 1/2, 0.75) या अपरिमेय (जैसे √2, π) हो सकती हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या को √m के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ m एक प्राकृत संख्या हो। उदाहरण के लिए, 1/3 या π को इस रूप में नहीं लिखा जा सकता।
(iii) असत्य। कारण: वास्तविक संख्याएँ दो प्रकार की होती हैं: परिमेय और अपरिमेय। इसलिए, प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय नहीं होती। उदाहरण के लिए, 2, 0.5, -3/4 वास्तविक संख्याएँ हैं लेकिन परिमेय हैं, अपरिमेय नहीं।
उत्तर:
नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं। केवल उन्हीं पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं जो पूर्ण वर्ग (perfect square) नहीं हैं।
उदाहरण: धनात्मक पूर्णांक 4, 9, 16, 25 आदि पूर्ण वर्ग हैं। इनके वर्गमूल क्रमशः 2, 3, 4, 5 हैं जो परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि इन्हें p/q (जैसे 2/1, 3/1) के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः, 4 का वर्गमूल √4 = 2 एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
संख्या रेखा पर √5 को निरूपित करने की चरणबद्ध विधि:
चरण 1: एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर O (शून्य), A (1) और B (2) बिंदु अंकित कीजिए।
चरण 2: बिंदु B (2) पर एक लंब रेखा BC = 1 इकाई खींचिए।
चरण 3: O और C को मिलाइए। अब त्रिभुज OBC एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ OB = 2 इकाई और BC = 1 इकाई है।
चरण 4: पाइथागोरस प्रमेय से, OC² = OB² + BC² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
इसलिए, OC = √5 इकाई
चरण 5: अब परकार की सहायता से O को केंद्र मानकर और OC त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु P पर काटे।
चरण 6: यह बिंदु P संख्या रेखा पर √5 को निरूपित करता है, क्योंकि OP = OC = √5 इकाई है।
उत्तर:
(i) 36/100
36/100 = 0.36
यह एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि यह सीमित स्थानों के बाद समाप्त हो जाता है।
(ii) 1/11
1 ÷ 11 = 0.090909...
यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। इसे 0.09̅ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 09 अंकों का समूह बार-बार आता है।
(iii) 4 1/8 = 33/8
33 ÷ 8 = 4.125
यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
(iv) 3/13
3 ÷ 13 = 0.230769230769...
यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। इसे 0.̅230769 के रूप में लिखा जा सकता है।
(v) 2/11
2 ÷ 11 = 0.181818...
यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। इसे 0.̅18 के रूप में लिखा जा सकता है।
(vi) 329/400
329 ÷ 400 = 0.8225
यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
उत्तर:
हाँ, हम लंबा भाग किए बिना ही अन्य भिन्नों का दशमलव प्रसार बता सकते हैं।
चूँकि 1/7 = 0.142857 (अंकों का आवर्ती खंड 142857 है), इसलिए:
उत्तर:
(i) 0.6̅
माना x = 0.666... (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10x = 6.666... (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:
10x - x = 6.666... - 0.666...
9x = 6
x = 6/9 = 2/3
अतः, 0.6̅ = 2/3
(ii) 0.47̅
माना x = 0.4777... (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10x = 4.777... (2)
दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर (वैकल्पिक विधि): 100x = 47.777... (3)
समीकरण (3) में से (2) घटाने पर:
100x - 10x = 47.777... - 4.777...
90x = 43
x = 43/90
अतः, 0.47̅ = 43/90
(iii) 0.001̅
माना x = 0.001001001... (1)
दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करने पर: 1000x = 1.001001... (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:
1000x - x = 1.001001... - 0.001001...
999x = 1
x = 1/999
अतः, 0.001̅ = 1/999
उत्तर:
हाँ, 0.999... (अनवसानी नौ) बिल्कुल 1 के बराबर है। इसे हम गणितीय रूप से सिद्ध कर सकते हैं:
माना x = 0.999... (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10x = 9.999... (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:
10x - x = 9.999... - 0.999...
9x = 9
x = 1
अतः, 0.999... = 1
चर्चा: यह परिणाम भ्रमित करने वाला लग सकता है, लेकिन यह दशमलव प्रणाली और अनंत श्रृंखला की प्रकृति के कारण सही है। संख्या 1 को दशमलव के दो अलग-अलग रूपों (1.0 और 0.999...) में व्यक्त किया जा सकता है, ठीक वैसे ही जैसे 1/2 को 0.5 और 0.50 लिखा जा सकता है।
उत्तर:
किसी भी परिमेय संख्या p/q (जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं) के दशमलव प्रसार में आवर्ती खंड में अंकों की अधिकतम संख्या (q-1) हो सकती है।
चूँकि यहाँ q = 17 है, इसलिए आवर्ती खंड में अंकों की अधिकतम संख्या 17 - 1 = 16 हो सकती है।
जाँच (विभाजन क्रिया द्वारा):
1 को 17 से भाग देने पर: 1/17 = 0.0588235294117647...
भागफल में अंकों का क्रम है: 0588235294117647
इस क्रम में अंकों की संख्या 16 है। इसके बाद शेषफल पुनः 1 आता है और प्रक्रिया दोहराती है।
अतः, 1/17 के दशमलव प्रसार में आवर्ती खंड में अंकों की संख्या 16 है, जो अधिकतम संभव (q-1) के बराबर है।
उत्तर:
उदाहरण: 1/2 = 0.5, 3/4 = 0.75, 7/8 = 0.875, 13/25 = 0.52, 29/125 = 0.232
इन सभी उदाहरणों में भिन्न का हर (q) केवल 2 और/या 5 के गुणनखंडों से बना है।
अनुमान: एक परिमेय संख्या p/q (जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं) का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होगा यदि और केवल यदि q का अभाज्य गुणनखंडन केवल 2 और/या 5 से मिलकर बना हो। दूसरे शब्दों में, q को 2^m × 5^n के रूप में होना चाहिए, जहाँ m और n ऋणेतर पूर्णांक हैं।
उत्तर:
वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) होता है, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
तीन उदाहरण हैं:
उत्तर:
पहले दी गई परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में लिखते हैं:
2/7 ≈ 0.2857142857...
5/7 ≈ 0.7142857142...
हमें इन दोनों के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ चुननी हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता और जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
तीन उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं:
उत्तर:
(i) √23: अपरिमेय संख्या, क्योंकि 23 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) √225: परिमेय संख्या, क्योंकि √225 = 15, जिसे 15/1 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iii) 0.3796: परिमेय संख्या, क्योंकि यह एक सांत दशमलव है। इसे 3796/10000 के रूप में लिखा जा सकता है।
(iv) 7.478478...: परिमेय संख्या, क्योंकि यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है (आवर्ती खंड 478)। इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(v) 1.101001000100001...: अपरिमेय संख्या, क्योंकि यह एक अनवसानी और अनावर्ती दशमलव प्रसार है (1 के बाद 0 की संख्या बढ़ती जा रही है, कोई आवर्ती पैटर्न नहीं है)।
उत्तर:
संख्या रेखा पर 3.765 को उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) द्वारा दर्शाने की प्रक्रिया:
चरण 1: पहले संख्या रेखा पर 3 और 4 के बीच का भाग देखें। 3.765, 3.7 और 3.8 के बीच स्थित है।
उत्तर:
संख्या रेखा पर 4.2626... (जो कि 4.2626 के लगभग बराबर है) को उत्तरोत्तर आवर्धन द्वारा चार दशमलव स्थानों तक देखने की प्रक्रिया:
चरण 1: संख्या रेखा पर 4 और 5 के बीच का भाग देखें। 4.2626, 4.2 और 4.3 के बीच स्थित है।
चरण 2: 4.2 और 4.3 के बीच के खंड को आवर्धित करें। 4.2626, 4.26 और 4.27 के बीच स्थित है।
चरण 3: 4.26 और 4.27 के बीच के खंड को आवर्धित करें। 4.2626, 4.262 और 4.263 के बीच स्थित है।
चरण 4: अंत में, 4.262 और 4.263 के बीच के खंड को आवर्धित करें। अब हम देख सक
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