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हल:
दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और रेखाखण्ड AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: (i) ΔABC ≅ ΔABD (ii) BC और BD में सम्बन्ध बताना है।
उपपत्ति: ΔABC और ΔABD की तुलना करने पर,
AD = BC (दिया है)
∠CAB = ∠DAB (क्योंकि AB, ∠A का समद्विभाजक है)
AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔABC ≅ ΔABD (S.A.S. सर्वांगसमता नियम से)
सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए BC = BD होगा।
निष्कर्ष: BC और BD बराबर हैं।
(i) AABD = ABAC
(ii) BD = AC
(iii) ZABD = ZBAC 5
हल:
दिया है: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है।
सिद्ध करना है: (i) ΔABD ≅ ΔBAC (ii) BD = AC (iii) ∠ABD = ∠BAC
उपपत्ति:
(i) ΔABD और ΔBAC में,
AD = BC (दिया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔABD ≅ ΔBAC (S.A.S. नियम से)।
(ii) चूँकि ΔABD ≅ ΔBAC है, इसलिए संगत भुजाएँ बराबर होंगी। अतः BD = AC (C.P.C.T.)
(iii) उपरोक्त सर्वांगसमता से, संगत कोण भी बराबर होंगे। इसलिए ∠ABD = ∠BAC (C.P.C.T.)
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: AB एक रेखाखण्ड है। AD और BC दो ऐसे लम्ब हैं जो A और B से क्रमशः इस प्रकार खींचे गए हैं कि AD = BC है।
सिद्ध करना है: CD, रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है (अर्थात AO = BO)।
उपपत्ति: ΔAOD और ΔBOC पर विचार करें।
∠DAO = ∠CBO = 90° (दिया है कि AD और BC लम्ब हैं)
∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
AD = BC (दिया है)
इस प्रकार, ΔAOD ≅ ΔBOC (A.A.S. सर्वांगसमता नियम से)।
सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए AO = BO (C.P.C.T.)।
इसका अर्थ है कि CD रेखाखण्ड AB को बिन्दु O पर समद्विभाजित करता है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें एक अन्य युग्म p और q (जो स्वयं समान्तर हैं) प्रतिच्छेदित करते हैं, जिससे चतुर्भुज ABCD बनता है।
सिद्ध करना है: ΔABC ≅ ΔCDA
उपपत्ति: चूँकि l || m और p एक तिर्यक रेखा है,
∠BAC = ∠DCA (एकान्तर कोण) ...(1)
चूँकि p || q और l एक तिर्यक रेखा है,
∠BCA = ∠DAC (एकान्तर कोण) ...(2)
अब, ΔABC और ΔCDA में,
∠BAC = ∠DCA [समीकरण (1) से]
AC = AC (उभयनिष्ठ भुजा)
∠BCA = ∠DAC [समीकरण (2) से]
अतः, ΔABC ≅ ΔCDA (A.S.A. सर्वांगसमता नियम से)।
सिद्ध हुआ।
(i) AAPB = AAQB
(४) 8? - 80 अर्थात बिन्दु 8 कोण « की भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल:
दिया है: रेखा l, ∠XAY को समद्विभाजित करती है। रेखा l पर कोई बिन्दु B स्थित है। B से ∠XAY की भुजाओं AX और AY पर क्रमशः BP और BQ लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है: (i) ΔAPB ≅ ΔAQB (ii) BP = BQ
उपपत्ति:
(i) ΔAPB और ΔAQB में,
∠BPA = ∠BQA = 90° (दिया है कि BP ⟂ AP और BQ ⟂ AQ)
∠PAB = ∠QAB (क्योंकि रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है)
AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔAPB ≅ ΔAQB (A.A.S. नियम से)।
(ii) चूँकि ΔAPB ≅ ΔAQB है, इसलिए संगत भुजाएँ बराबर होंगी।
अतः BP = BQ (C.P.C.T.)
इसका अर्थ है कि बिन्दु B, कोण A की भुजाओं से समान दूरी पर है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC और ΔADE में, AB = AD, AC = AE और ∠BAD = ∠EAC है।
सिद्ध करना है: BC = DE
उपपत्ति: दिया है कि ∠BAD = ∠EAC
दोनों ओर ∠DAC जोड़ने पर,
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠DAE ...(1)
अब, ΔABC और ΔADE में,
AB = AD (दिया है)
∠BAC = ∠DAE [समीकरण (1) से]
AC = AE (दिया है)
अतः, ΔABC ≅ ΔADE (S.A.S. नियम से)।
इसलिए, BC = DE (C.P.C.T.)
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: AB एक रेखाखण्ड है और P इसका मध्य-बिन्दु है। D और E, AB के एक ही ओर स्थित बिन्दु हैं जिससे ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है।
सिद्ध करना है: (i) ΔDAP ≅ ΔEBP (ii) AD = BE
उपपत्ति:
(i) ∠EPA = ∠DPB (दिया है)
दोनों ओर ∠EPD जोड़ने पर,
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠DPA = ∠EPB ...(1)
अब, ΔDAP और ΔEBP में,
AP = BP (P, AB का मध्य-बिन्दु है)
∠DPA = ∠EPB [समीकरण (1) से]
∠DAP = ∠EBP (दिया है कि ∠BAD = ∠ABE, और यही कोण हैं)
अतः, ΔDAP ≅ ΔEBP (A.S.A. नियम से)।
(ii) चूँकि ΔDAP ≅ ΔEBP है, इसलिए AD = BE (C.P.C.T.)
सिद्ध हुआ।
(i) AAMC = ABMD
(ii) 208८ एक समकोण है।
(iii) ADBC = AACB
(iv) CM =3 AB
हल:
दिया है: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है। M, कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। C और M को मिलाकर रेखा को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। D को B से मिला दिया गया है।
सिद्ध करना है: (i) ΔAMC ≅ ΔBMD (ii) ∠DBC एक समकोण है। (iii) ΔDBC ≅ ΔACB (iv) CM = (1/2) AB
उपपत्ति:
(i) ΔAMC और ΔBMD में,
AM = BM (M, AB का मध्य-बिन्दु है)
∠AMC = ∠BMD (शीर्षाभिमुख कोण)
CM = DM (रचना से)
अतः, ΔAMC ≅ ΔBMD (S.A.S. नियम से)।
(ii) चूँकि ΔAMC ≅ ΔBMD, इसलिए ∠MAC = ∠MBD (C.P.C.T.)
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं, अतः AC || BD.
अब, AC || BD और BC एक तिर्यक रेखा है।
∠ACB + ∠DBC = 180° (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग)
90° + ∠DBC = 180°
∠DBC = 90°
(iii) ΔDBC और ΔACB में,
DB = AC (ΔAMC ≅ ΔBMD से, C.P.C.T.)
∠DBC = ∠ACB (प्रत्येक 90°, भाग (ii) से)
BC = BC (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔDBC ≅ ΔACB (S.A.S. नियम से)।
(iv) ΔDBC ≅ ΔACB से, DC = AB (C.P.C.T.)
परन्तु DC = DM + CM = CM + CM = 2CM (रचना से DM = CM)
इसलिए, 2CM = AB ⇒ CM = (1/2)AB
सिद्ध हुआ।
(i) OB = OC
(ii) AO, ZA को समद्विभाजित करता है।
हल:
दिया है: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। ∠B और ∠C के समद्विभाजक बिन्दु O पर मिलते हैं।
सिद्ध करना है: (i) OB = OC (ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति:
ΔABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए, ∠ABC = ∠ACB ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
चूँकि BO और CO क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक हैं,
∠OBC = (1/2)∠ABC और ∠OCB = (1/2)∠ACB
समीकरण (1) से, ∠OBC = ∠OCB ...(2)
अब ΔOBC में, ∠OBC = ∠OCB [समीकरण (2) से]
इसलिए, OB = OC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ) ...(3)
(ii) अब ΔABO और ΔACO में,
AB = AC (दिया है)
OB = OC [समीकरण (3) से]
AO = AO (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔABO ≅ ΔACO (S.S.S. नियम से)।
इसलिए, ∠BAO = ∠CAO (C.P.C.T.)
अर्थात, AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC में, AD, भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: ΔABC समद्विबाहु है अर्थात AB = AC
उपपत्ति: चूँकि AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है,
BD = CD और ∠ADB = ∠ADC = 90°
अब ΔABD और ΔACD में,
BD = CD (ऊपर सिद्ध)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, ΔABD ≅ ΔACD (S.A.S. नियम से)।
इसलिए, AB = AC (C.P.C.T.)
अर्थात ΔABC समद्विबाहु है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। शीर्ष B से भुजा AC पर BE लम्ब है और शीर्ष C से भुजा AB पर CF लम्ब है।
सिद्ध करना है: BE = CF
उपपत्ति: ΔABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए, ∠ACB = ∠ABC ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब ΔBEC और ΔCFB में,
∠BEC = ∠CFB (प्रत्येक 90°, दिया है कि BE ⟂ AC और CF ⟂ AB)
BC = CB (उभयनिष्ठ भुजा)
∠EBC = ∠FCB [समीकरण (1) से, क्योंकि ∠ABC = ∠EBC और ∠ACB = ∠FCB]
अतः, ΔBEC ≅ ΔCFB (A.A.S. नियम से)।
इसलिए, BE = CF (C.P.C.T.)
अर्थात दोनों शीर्षलम्ब बराबर हैं।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC में, BE और CF शीर्षलम्ब इस प्रकार हैं कि BE = CF है।
सिद्ध करना है: (i) ΔABE ≅ ΔACF (ii) AB = AC अर्थात ΔABC समद्विबाहु है।
उपपत्ति:
(i) ΔABE और ΔACF में,
∠AEB = ∠AFC (प्रत्येक 90°, शीर्षलम्ब हैं)
BE = CF (दिया है)
∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ कोण A)
अतः, ΔABE ≅ ΔACF (A.A.S. नियम से)।
(ii) चूँकि ΔABE ≅ ΔACF है, इसलिए AB = AC (C.P.C.T.)
अतः ΔABC समद्विबाहु है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिसमें AB = AC और DB = DC है।
सिद्ध करना है: ∠ABD = ∠ACD
उपपत्ति: ΔABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए, ∠ABC = ∠ACB ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
ΔDBC में, DB = DC (दिया है)
इसलिए, ∠DBC = ∠DCB ...(2) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB
⇒ ∠ABD = ∠ACD (चित्र से)
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA को बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = AB है।
सिद्ध करना है: ∠BCD एक समकोण (90°) है।
उपपत्ति: ΔABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए, ∠ACB = ∠ABC ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
रचना से, AD = AB और AB = AC, इसलिए AD = AC.
ΔACD में, AD = AC
इसलिए, ∠ADC = ∠ACD ...(2) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
ΔBCD में, त्रिभुज के कोण योग गुण से,
∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°
⇒ ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD = 180°
समीकरण (1) और (2) से मान रखने पर,
∠ACB + ∠ACD + ∠BCD = 180°
परन्तु ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD (चित्र से)
इसलिए, ∠BCD + ∠BCD = 180°
⇒ 2∠BCD = 180°
⇒ ∠BCD = 90°
अतः ∠BCD एक समकोण है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है।
ज्ञात करना है: ∠B और ∠C
गणना: ΔABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए, ∠B = ∠C ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
त्रिभुज के कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
90° + ∠B + ∠B = 180° [समीकरण (1) से ∠C = ∠B]
⇒ 2∠B = 180° - 90° = 90°
⇒ ∠B = 45°
समीकरण (1) से, ∠C = ∠B = 45°
अतः ∠B = 45° और ∠C = 45°
हल:
दिया है: ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है, अर्थात AB = BC = CA
सिद्ध करना है: ∠A = ∠B = ∠C = 60°
उपपत्ति: ΔABC में,
AB = AC, इसलिए ∠B = ∠C ...(1) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
AB = BC, इसलिए ∠C = ∠A ...(2) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
समीकरण (1) और (2) से, ∠A = ∠B = ∠C ...(3)
त्रिभुज के कोण योग गुण से,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180° [समीकरण (3) से]
⇒ 3∠A = 180°
⇒ ∠A = 60°
समीकरण (3) से, ∠A = ∠B = ∠C = 60°
अतः समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
सिद्ध हुआ।
हल:
दिया है: ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर स
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