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UP Board class 9 Maths (13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) solution PDF
UP Board class 9 Maths 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 9 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
UP Board class 9 Maths 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Hindi Medium Solutions - PDF
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Chapter 13 Surface Areas and Volumes (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन)
UP Board Solutions for Class 9 Maths
प्रश्रावली 13.1
प्रश्न 1. 1.5 मीटर लम्बा 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए।
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मीटर शीट का मूल्य 20 है।
हल:
डिब्बे की विमाएँ:
लम्बाई (l) = 1.5 मीटर
चौड़ाई (b) = 1.25 मीटर
गहराई/ऊँचाई (h) = 65 सेमी = 0.65 मीटर (क्योंकि 1 मीटर = 100 सेमी)
डिब्बा ऊपर से खुला है, इसलिए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम ऊपरी फलक (ढक्कन) का क्षेत्रफल घटा देंगे।
डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (यदि बंद होता) = 2(lb + bh + hl)
= 2[(1.5 × 1.25) + (1.25 × 0.65) + (0.65 × 1.5)]
= 2[1.875 + 0.8125 + 0.975]
= 2 × 3.6625 = 7.325 वर्ग मीटर
ऊपरी फलक (ढक्कन) का क्षेत्रफल = l × b = 1.5 × 1.25 = 1.875 वर्ग मीटर
अतः, खुले डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 7.325 - 1.875 = 5.45 वर्ग मीटर
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = 5.45 वर्ग मीटर
(ii) 1 वर्ग मीटर शीट का मूल्य = ₹20
5.45 वर्ग मीटर शीट का मूल्य = 5.45 × 20 = ₹109
अतः, शीट का कुल मूल्य ₹109 है।
प्रश्न 2. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर हैं। 7.50 प्रति मीटर की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
कमरे की विमाएँ:
लम्बाई (l) = 5 मीटर
चौड़ाई (b) = 4 मीटर
ऊँचाई (h) = 3 मीटर
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई = 2(l + b) × h
= 2(5 + 4) × 3 = 2 × 9 × 3 = 54 वर्ग मीटर
छत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = l × b = 5 × 4 = 20 वर्ग मीटर
सफेदी कराने वाला कुल क्षेत्रफल = दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 54 + 20 = 74 वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर पर सफेदी कराने का व्यय = ₹7.50
74 वर्ग मीटर पर सफेदी कराने का व्यय = 74 × 7.50 = ₹555
अतः, सफेदी कराने का कुल व्यय ₹555 है।
प्रश्न 3. किसी आयताकार हॉल के फर्श की परिमाप 250 मीटर है। यदि के 10 प्रति मीटर की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत के 15,000 है तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना हॉल की ऊँचाई h मीटर है।
हॉल के फर्श की परिमाप = 250 मीटर
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई = 250 × h = 250h वर्ग मीटर
पेंट कराने की दर = ₹10 प्रति वर्ग मीटर
पेंट कराने की कुल लागत = दीवारों का क्षेत्रफल × दर = 250h × 10 = 2500h
प्रश्नानुसार, पेंट कराने की लागत ₹15,000 है।
इसलिए, 2500h = 15000
h = 15000 / 2500 = 6 मीटर
अतः, हॉल की ऊँचाई 6 मीटर है।
प्रश्न 4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मीटरः के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी » 10 सेमी » 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
हल:
एक ईंट की विमाएँ: लम्बाई (l) = 22.5 सेमी, चौड़ाई (b) = 10 सेमी, ऊँचाई (h) = 7.5 सेमी
एक ईंट (घनाभ) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(22.5 × 10) + (10 × 7.5) + (7.5 × 22.5)]
= 2[225 + 75 + 168.75]
= 2 × 468.75 = 937.5 वर्ग सेमी
माना डिब्बे के पेंट से n ईंटें पेंट की जा सकती हैं।
n ईंटों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = n × 937.5 वर्ग सेमी
दिया है, पेंट 9.375 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के लिए पर्याप्त है।
1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी
इसलिए, 9.375 वर्ग मीटर = 9.375 × 10,000 = 93,750 वर्ग सेमी
अतः, n × 937.5 = 93,750
n = 93,750 / 937.5 = 100
अतः, डिब्बे के पेंट से 100 ईंटें पेंट की जा सकती हैं।
प्रश्न 5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनास 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।
(i) किस डिब्बे का पाश्च पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
हल:
घनाकार डिब्बा:
भुजा (a) = 10 सेमी
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4 × (10)² = 4 × 100 = 400 वर्ग सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × (10)² = 6 × 100 = 600 वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बा:
लम्बाई (l) = 12.5 सेमी, चौड़ाई (b) = 10 सेमी, ऊँचाई (h) = 8 सेमी
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l + b) × h = 2(12.5 + 10) × 8 = 2 × 22.5 × 8 = 360 वर्ग सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(12.5×10) + (10×8) + (8×12.5)]
= 2[125 + 80 + 100] = 2 × 305 = 610 वर्ग सेमी
(i) पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की तुलना:
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (400 वर्ग सेमी) घनाभाकार डिब्बे के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (360 वर्ग सेमी) से अधिक है।
अंतर = 400 - 360 = 40 वर्ग सेमी अधिक।
(ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की तुलना:
घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (600 वर्ग सेमी) घनाभाकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (610 वर्ग सेमी) से कम है।
अंतर = 610 - 600 = 10 वर्ग सेमी कम।
प्रश्न 6. एक छोटा पौधा-घर (87०००॥०५७०) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिषका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पद्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
हल:
पौधा-घर की विमाएँ: लम्बाई (l) = 30 सेमी, चौड़ाई (b) = 25 सेमी, ऊँचाई (h) = 25 सेमी
(i) पौधा-घर (घनाभ) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(30×25) + (25×25) + (25×30)]
= 2[750 + 625 + 750] = 2 × 2125 = 4250 वर्ग सेमी
चूँकि यह पूरी तरह शीशे से बना है, अतः प्रयुक्त शीशे का क्षेत्रफल = 4250 वर्ग सेमी
(ii) एक घनाभ के 12 किनारे होते हैं: 4 लम्बाई, 4 चौड़ाई और 4 ऊँचाई के।
सभी 12 किनारों की कुल लम्बाई = 4(l + b + h)
= 4(30 + 25 + 25) = 4 × 80 = 320 सेमी
टेप इन्हीं किनारों पर लगेगा, इसलिए आवश्यक टेप की लम्बाई = 320 सेमी
प्रश्न 7. शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी 5 20 सेमी £ 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी £ 12 सेमी » 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्याप्तता (overlaps) & fa कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5५ के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपये प्रति 1000 सेमी 2 है तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
हल:
बड़े डिब्बे के लिए:
विमाएँ: l = 25 सेमी, b = 20 सेमी, h = 5 सेमी
एक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(25×20) + (20×5) + (5×25)] = 2[500 + 100 + 125] = 2 × 725 = 1450 वर्ग सेमी
250 डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 × 1450 = 3,62,500 वर्ग सेमी
छोटे डिब्बे के लिए:
विमाएँ: l = 15 सेमी, b = 12 सेमी, h = 5 सेमी
एक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2[(15×12) + (12×5) + (5×15)] = 2[180 + 60 + 75] = 2 × 315 = 630 वर्ग सेमी
250 डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 × 630 = 1,57,500 वर्ग सेमी
दोनों प्रकार के 250-250 डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3,62,500 + 1,57,500 = 5,20,000 वर्ग सेमी
अतिव्याप्तता (ओवरलैप) के लिए अतिरिक्त गत्ता = कुल क्षेत्रफल का 5%
= 5,20,000 का 5% = 5,20,000 × (5/100) = 26,000 वर्ग सेमी
गत्ते का कुल आवश्यक क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल + अतिरिक्त गत्ता
= 5,20,000 + 26,000 = 5,46,000 वर्ग सेमी
गत्ते की लागत: ₹4 प्रति 1000 वर्ग सेमी
5,46,000 वर्ग सेमी गत्ते की लागत = (5,46,000 / 1000) × 4 = 546 × 4 = ₹2184
अतः, प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कुल लागत ₹2184 है।
प्रश्न 8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा। नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर 5 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
हल:
ढाँचे की विमाएँ: लम्बाई (l) = 4 मीटर, चौड़ाई (b) = 3 मीटर, ऊँचाई (h) = 2.5 मीटर
चूँकि सामने का फलक लटका हुआ है (यानी उसे ढकने की आवश्यकता नहीं है), हमें केवल चारों दीवारों और छत को ढकना है।
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई = 2(l + b) × h
= 2(4 + 3) × 2.5 = 2 × 7 × 2.5 = 35 वर्ग मीटर
छत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = l × b = 4 × 3 = 12 वर्ग मीटर
तिरपाल का कुल आवश्यक क्षेत्रफल = दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 35 + 12 = 47 वर्ग मीटर
अतः, ढाँचा बनाने के लिए 47 वर्ग मीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी।
प्रश्नावली 13.2
जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।
प्रश्न 1. ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलन के आधार की त्रिज्या r सेमी है।
बेलन की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × r × 14 = 88r वर्ग सेमी
प्रश्नानुसार, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 वर्ग सेमी है।
इसलिए, 88r = 88
r = 88 / 88 = 1 सेमी
बेलन के आधार का व्यास = 2 × त्रिज्या = 2 × 1 = 2 सेमी
अतः, आधार का व्यास 2 सेमी है।
प्रश्न 2. धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
हल:
टंकी के आधार का व्यास = 140 सेमी = 1.4 मीटर (100 सेमी = 1 मीटर)
त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 1.4 / 2 = 0.7 मीटर
टंकी की ऊँचाई (h) = 1 मीटर
बंद बेलनाकार टंकी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)
= 2 × (22/7) × 0.7 × (0.7 + 1)
= 2 × (22/7) × 0.7 × 1.7
= (44 × 0.7 × 1.7) / 7 = (44 × 1.19) / 7
= 52.36 / 7 ≈ 7.48 वर्ग मीटर
अतः, टंकी बनाने के लिए लगभग 7.48 वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी।
प्रश्न 3. धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है, ज्ञात कीजिए।
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल:
पाइप की लम्बाई/ऊँचाई (h) = 77 सेमी
आन्तरिक व्यास = 4 सेमी, अतः आन्तरिक त्रिज्या (r) = 4/2 = 2 सेमी
बाहरी व्यास = 4.4 सेमी, अतः बाहरी त्रिज्या (R) = 4.4/2 = 2.2 सेमी
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 2 × 77
= 2 × 22 × 2 × 11 = 968 वर्ग सेमी
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πRh = 2 × (22/7) × 2.2 × 77
= 2 × 22 × 2.2 × 11 = 1064.8 वर्ग सेमी
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्र पृष्ठ + बाहरी वक्र पृष्ठ + दोनों सिरों के वलयाकार भाग का क्षेत्रफल
दोनों सिरों के वलयाकार भाग का क्षेत्रफल = 2 × π(R² - r²)
= 2 × (22/7) × [(2.2)² - (2)²] = 2 × (22/7) × [4.84 - 4]
= 2 × (22/7) × 0.84 = (44 × 0.84) / 7 = 36.96 / 7 = 5.28 वर्ग सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 + 1064.8 + 5.28 = 2038.08 वर्ग सेमी
प्रश्न 4. एक रोलर (roller) HT A 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का वर्ग मीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
रोलर का व्यास = 84 सेमी = 0.84 मीटर
त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 0.84 / 2 = 0.42 मीटर
रोलर की लम्बाई (h) = 120 सेमी = 1.20 मीटर
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 0.42 × 1.20
= 2 × 22 × 0.06 × 1.20 = 44 × 0.072 = 3.168 वर्ग मीटर
रोलर का 1 चक्कर में समतल किया गया क्षेत्रफल = रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3.168 वर्ग मीटर
500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल = 500 × 3.168 = 1584 वर्ग मीटर
अतः, खेल के मैदान का क्षेत्रफल 1584 वर्ग मीटर है।
प्रश्न 5. किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मीटर है। 12.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए
हल:
स्तम्भ का व्यास = 50 सेमी = 0.5 मीटर
त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 0.5 / 2 = 0.25 मीटर
स्तम्भ की ऊँचाई (h) = 3.5 मीटर
स्तम्भ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 0.25 × 3.5
= 2 × 22 × 0.25 × 0.5 = 44 × 0.125 = 5.5 वर्ग मीटर
पेंट कराने की दर = ₹12.50 प्रति वर्ग मीटर
पेंट कराने का कुल व्यय = क्षेत्रफल × दर = 5.5 × 12.50 = ₹68.75
अतः, पेंट कराने का व्यय ₹68.75 है।
प्रश्न 6. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4मीटर है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलन की ऊँचाई h मीटर है।
त्रिज्या (r) = 0.7 मीटर
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 0.7 × h = 4.4h वर्ग मीटर
प्रश्नानुसार, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 वर्ग मीटर है।
इसलिए, 4.4h = 4.4
h = 4.4 / 4.4 = 1 मीटर
अतः, बेलन की ऊँचाई 1 मीटर है।
प्रश्न 7. किसी वृत्ताकार कुएँ को आन्तरिक व्यास 3.5 मीटर है और यह 10 मीटर गहरा है। ज्ञात कीजिए :
(i) आन्त
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