UP Board class 9 Maths 12. हीरोन का सूत्र is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 9 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
हल: यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ 3,3,4 दी गई है, इससे हम त्रिभुज का परिमाप निकाल सकते है: परिमाप 58+४+8538
3a = 180 cm
a = 60 cm
इससे हमे त्रिभुज का अर्धपरिमाप मिलेगा जो कि 2. है
अब हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते है: + 4/s(s— a) (s —b) (s—c)
(5 [5-१ [७-१७ 36 36 36 1 36 3 [8 | [8 7 ee ee
जज 1 (3)
UP Board हल: दिया गया है कि त्रिभुज समबाहु है और उसका परिमाप 180 cm है।
माना समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा = a cm
परिमाप = 3a = 180 cm
इसलिए, a = 180/3 = 60 cm
अर्धपरिमाप, s = परिमाप/2 = 180/2 = 90 cm
हीरोन के सूत्र द्वारा, क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
चूँकि त्रिभुज समबाहु है, a = b = c = 60 cm
क्षेत्रफल = √[90(90-60)(90-60)(90-60)]
= √[90 × 30 × 30 × 30]
= √(90 × 27000)
= √(2430000)
= 900√3 cm² (लगभग 1558.85 cm²)
UP Board हल: दीवार त्रिभुजाकार है जिसकी भुजाएँ a = 122 m, b = 22 m, c = 120 m हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 122 + 22 + 120 = 264 m
अर्धपरिमाप, s = परिमाप/2 = 264/2 = 132 m
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[132(132-122)(132-22)(132-120)] m²
= √[132 × 10 × 110 × 12] m²
= √(1742400) m²
= 1320 m²
विज्ञापन से प्राप्ति की दर = ₹5000 प्रति m² प्रति वर्ष
5 महीने का किराया = क्षेत्रफल × दर × (महीने/12)
= 1320 × 5000 × (5/12)
= ₹27,50,000
UP Board हल: त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ a = 15 m, b = 11 m, c = 6 m हैं।
परिमाप = 15 + 11 + 6 = 32 m
अर्धपरिमाप, s = 32/2 = 16 m
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[16(16-15)(16-11)(16-6)] m²
= √[16 × 1 × 5 × 10] m²
= √800 m²
= 20√2 m² (लगभग 28.28 m²)
UP Board हल: माना त्रिभुज की दो भुजाएँ a = 18 cm और b = 10 cm हैं।
परिमाप = 42 cm (दिया है)
तीसरी भुजा, c = परिमाप - (a + b) = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 cm
अर्धपरिमाप, s = परिमाप/2 = 42/2 = 21 cm
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[21(21-18)(21-10)(21-14)] cm²
= √[21 × 3 × 11 × 7] cm²
= √(4851) cm²
= 21√11 cm² (लगभग 69.65 cm²)
UP Board हल: त्रिभुज का परिमाप = 540 cm
भुजाओं का अनुपात = 12 : 17 : 25
माना भुजाएँ 12x, 17x, 25x हैं।
परिमाप = 12x + 17x + 25x = 54x
54x = 540
x = 10
अतः भुजाएँ हैं: a = 12 × 10 = 120 cm, b = 17 × 10 = 170 cm, c = 25 × 10 = 250 cm
अर्धपरिमाप, s = 540/2 = 270 cm
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[270(270-120)(270-170)(270-250)] cm²
= √[270 × 150 × 100 × 20] cm²
= √(81000000) cm²
= 9000 cm²
UP Board हल: समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ a = b = 12 cm हैं।
परिमाप = 30 cm (दिया है)
तीसरी भुजा (आधार), c = परिमाप - (a + b) = 30 - (12 + 12) = 30 - 24 = 6 cm
अर्धपरिमाप, s = परिमाप/2 = 30/2 = 15 cm
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[15(15-12)(15-12)(15-6)] cm²
= √[15 × 3 × 3 × 9] cm²
= √(1215) cm²
= 9√15 cm² (लगभग 34.86 cm²)
UP Board हल: चतुर्भुज ABCD में, ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है।
विकर्ण BD खींचने पर दो त्रिभुज BCD और ABD प्राप्त होते हैं।
त्रिभुज BCD में, ∠C = 90°, अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
BD² = BC² + CD² (पाइथागोरस प्रमेय)
BD² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
BD = 13 m
त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 12 × 5 = 30 m² ...(1)
त्रिभुज ABD में, भुजाएँ a = 8 m, b = 9 m, c = 13 m
अर्धपरिमाप, s = (8+9+13)/2 = 30/2 = 15 m
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[15(15-8)(15-9)(15-13)] m²
= √[15 × 7 × 6 × 2] m²
= √1260 m²
= 6√35 m² (लगभग 35.5 m²) ...(2)
पार्क का कुल क्षेत्रफल = (1) + (2) = 30 + 35.5 = 65.5 m²
UP Board हल: चतुर्भुज ABCD में, AB = 5 cm, BC = 4 cm, CD = 4.5 cm, DA = 5 cm और विकर्ण AC = 5 cm है।
त्रिभुज ABC पर विचार करें: AB = 5 cm, BC = 4 cm, AC = 5 cm
AC² = AB² + BC² की जाँच: 5² = 5² + 4² → 25 = 25 + 16 (यह सत्य नहीं है)। अतः त्रिभुज ABC समकोण नहीं है।
हम हीरोन के सूत्र का प्रयोग करेंगे।
त्रिभुज ABC का अर्धपरिमाप, s₁ = (5+4+5)/2 = 14/2 = 7 cm
क्षेत्रफल = √[7(7-5)(7-4)(7-5)] = √[7×2×3×2] = √84 = 2√21 cm² (लगभग 9.17 cm²) ...(1)
त्रिभुज ACD का अर्धपरिमाप, s₂ = (5+4.5+5)/2 = 14.5/2 = 7.25 cm
क्षेत्रफल = √[7.25(7.25-5)(7.25-4.5)(7.25-5)]
= √[7.25 × 2.25 × 2.75 × 2.25] cm²
≈ √(98.85) cm² ≈ 9.94 cm² ...(2)
चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल = (1) + (2) = 9.17 + 9.94 = 19.11 cm²
UP Board हल: आकृति के अनुसार, हवाईजहाज के चित्र में विभिन्न आकारों के भाग हैं। मान लेते हैं कि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज (पूँछ), एक आयत (धड़), और दो समकोण त्रिभुज (पंख) से मिलकर बना है।
भाग I (पूँछ - समद्विबाहु त्रिभुज): भुजाएँ 5 cm, 5 cm, और 1 cm।
अर्धपरिमाप, s = (5+5+1)/2 = 11/2 = 5.5 cm
क्षेत्रफल = √[5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)] = √[5.5×0.5×0.5×4.5] = √(6.1875) ≈ 2.49 cm²
भाग II (धड़ - आयत): लंबाई = 6.5 cm, चौड़ाई = 1 cm। क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm²
भाग III एवं IV (पंख - दो समकोण त्रिभुज): प्रत्येक का आधार = 1.5 cm, ऊँचाई = 6 cm।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)×1.5×6 = 4.5 cm²
दोनों पंखों का क्षेत्रफल = 2 × 4.5 = 9 cm²
कुल क्षेत्रफल = 2.49 + 6.5 + 9 = 17.99 cm² (लगभग 18 cm²)
UP Board हल: त्रिभुज की भुजाएँ a = 26 cm, b = 28 cm, c = 30 cm हैं।
परिमाप = 26+28+30 = 84 cm
अर्धपरिमाप, s = 84/2 = 42 cm
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[42(42-26)(42-28)(42-30)] cm²
= √[42 × 16 × 14 × 12] cm²
= √(112896) cm²
= 336 cm²
प्रश्नानुसार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल = 336 cm²
समांतर चतुर्भुज का आधार = 28 cm
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत ऊँचाई
336 = 28 × ऊँचाई
ऊँचाई = 336 / 28 = 12 cm
अतः समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 cm है।
UP Board हल: माना एक समचतुर्भुजाकार खेत है जिसकी प्रत्येक भुजा 30 m और बड़ा विकर्ण 48 m है। इसे 18 गायों के चरने के लिए बाँटा गया है।
विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है।
एक त्रिभुज की भुजाएँ 30 m, 30 m, 48 m हैं।
अर्धपरिमाप, s = (30+30+48)/2 = 108/2 = 54 m
हीरोन के सूत्र से एक त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[54(54-30)(54-30)(54-48)] m²
= √[54 × 24 × 24 × 6] m²
= √(186624) m²
= 432 m²
समचतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल = 2 × एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 432 = 864 m²
18 गायों के लिए है, अतः प्रत्येक गाय के चरने का क्षेत्रफल = कुल क्षेत्रफल / गायों की संख्या
= 864 / 18 = 48 m²
अतः प्रत्येक गाय के लिए 48 वर्ग मीटर क्षेत्रफल उपलब्ध है।
UP Board हल: प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की भुजाएँ a = 20 cm, b = 50 cm, c = 50 cm हैं।
परिमाप = 20+50+50 = 120 cm
अर्धपरिमाप, s = 120/2 = 60 cm
हीरोन के सूत्र से एक टुकड़े का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[60(60-20)(60-50)(60-50)] cm²
= √[60 × 40 × 10 × 10] cm²
= √(240000) cm²
= 200√6 cm² (लगभग 489.9 cm²)
कुल 10 टुकड़े हैं, और दो रंगों में बराबर बाँटे गए हैं। अतः प्रत्येक रंग के 5 टुकड़े हैं।
एक रंग के कपड़े का कुल क्षेत्रफल = 5 × (200√6) cm² = 1000√6 cm² (लगभग 2449.5 cm²)
UP Board हल: पतंग के ऊपरी भाग में एक वर्ग है जिसका विकर्ण 32 cm है।
वर्ग का क्षेत्रफल = (1/2) × (विकर्ण)² = (1/2) × (32)² = (1/2) × 1024 = 512 cm²
चूँकि वर्ग को दो बराबर त्रिभुजों (शेड I और II) में बाँटा गया है, इसलिए
शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल = 512/2 = 256 cm²
पतंग के निचले भाग (शेड III) में एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 cm, 6 cm, और 8 cm हैं।
अर्धपरिमाप, s = (6+6+8)/2 = 20/2 = 10 cm
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[10(10-6)(10-6)(10-8)] cm²
= √[10 × 4 × 4 × 2] cm²
= √320 cm²
= 8√5 cm² (लगभग 17.89 cm²)
निष्कर्ष:
शेड I में प्रयुक्त कागज = 256 cm²
शेड II में प्रयुक्त कागज = 256 cm²
शेड III में प्रयुक्त कागज = 8√5 cm² (लगभग 17.89 cm²)
UP Board हल: प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ a = 9 cm, b = 28 cm, c = 35 cm हैं।
परिमाप = 9+28+35 = 72 cm
अर्धपरिमाप, s = 72/2 = 36 cm
हीरोन के सूत्र से एक टाइल का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[36(36-9)(36-28)(36-35)] cm²
= √[36 × 27 × 8 × 1] cm²
= √(7776) cm²
= 36√6 cm² (लगभग 88.18 cm²)
16 टाइलों का कुल क्षेत्रफल = 16 × 88.18 = 1410.88 cm²
पालिश की दर = 50 पैसे प्रति cm² = ₹0.5 प्रति cm²
कुल व्यय = कुल क्षेत्रफल × दर = 1410.88 × 0.5 = ₹705.44 (लगभग ₹705.5)
UP Board हल: माना समलंब PQRS है, जिसमें PQ || SR।
PQ = 25 m, SR = 10 m (समांतर भुजाएँ)
PS = 13 m, QR = 14 m (असमांतर भुजाएँ)
बिंदु S से SR के समांतर एक रेखा खींचिए जो QR को T पर मिलती है। इस प्रकार ST || SR और ST = PS = 13 m।
अब, त्रिभुज PQT में, PQ = 25 m, PT = SR = 10 m, अतः QT = PQ - PT = 25 - 10 = 15 m।
त्रिभुज QST की भुजाएँ: QS = 14 m, ST = 13 m, QT = 15 m
अर्धपरिमाप, s = (14+13+15)/2 = 42/2 = 21 m
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज QST का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √[21(21-14)(21-13)(21-15)] m²
= √[21 × 7 × 8 × 6] m²
= √(7056) m²
= 84 m²
त्रिभुज QST का क्षेत्रफल सूत्र (1/2)×आधार×ऊँचाई से भी निकाल सकते हैं, जहाँ आधार QT = 15 m और ऊँचाई (माना RL) है।
(1/2) × 15 × RL = 84 → RL = (84 × 2) / 15 = 168/15 = 11.2 m
यह ऊँचाई RL समलंब की भी ऊँचाई है।
समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
= (1/2) × (25 + 10) × 11.2
= (1/2) × 35 × 11.2
= 17.5 × 11.2 = 196 m²
अतः खेत का क्षेत्रफल 196 वर्ग मीटर है।
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