UP Board class 9 Maths (6. रेखाएँ और कोण) solution PDF

UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 9 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.

UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण Hindi Medium Solutions - PDF

Chapter 6: Lines and Angles (रेखाएँ और कोण)

प्रश्रावली 6.1

प्रश्न 1. दी गई आकृति में रेखाएँ ७8 और ८79 बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि «७00 + ८8098 < 70% है और «307 = 40° है तो 2307 और प्रतिवर्ती ०09 ज्ञात कीजिए।

हल:

दी गई आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
शीर्षाभिमुख कोणों के गुण से, ∠AOC = ∠BOD होता है।
दिया है: ∠BOD = 40°
इसलिए, ∠AOC = 40° ........ (1)

यह भी दिया है कि ∠AOC + ∠BOE = 70°
⇒ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40°
⇒ ∠BOE = 30°

चूँकि AB एक सरल रेखा है और बिंदु O पर कोण ∠AOC, ∠COE और ∠BOE बनते हैं, इनका योग 180° होगा।
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 40° – 30°
⇒ ∠COE = 110°

प्रतिवर्ती कोण ∠COE = 360° – ∠COE
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – 110°
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

अतः, ∠BOE = 30° और प्रतिवर्ती ∠COE = 250° है।

प्रश्न 2. दी गई आकृति में रेखाएँ ५ और ५४ बिन्दु0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि “209५ - 90% और १:७-2 : 3 हो तो ८ ज्ञात कीजिए।

हल:

दी गई आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि XOY एक सरल रेखा है, इसलिए ∠POX और ∠POY रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠POX + ∠POY = 180°
दिया है: ∠POY = 90°
इसलिए, ∠POX = 180° – 90° = 90°

आकृति से, ∠POX = ∠POM + ∠MOX = a + b
अतः, a + b = 90° ........ (1)

यह भी दिया है कि a : b = 2 : 3
माना a = 2k और b = 3k
समीकरण (1) में मान रखने पर:
2k + 3k = 90°
⇒ 5k = 90°
⇒ k = 18°
इसलिए, a = 2 × 18° = 36° और b = 3 × 18° = 54°

अब, शीर्षाभिमुख कोणों के गुण से, ∠XON = ∠YOM होता है।
आकृति से, ∠XON = c और ∠YOM = ∠MOP + ∠POY = a + 90°
इसलिए, c = a + 90°
⇒ c = 36° + 90°
⇒ c = 126°

अतः, c का मान 126° है।

प्रश्न 3. दी गई आकृति में, यदि “०07२ - “०२0 है तो सिद्ध कीजिए कि 2205 5 «एरशा है।

हल:

दिया है: ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है: ∠PQS = ∠PRT

चूँकि QRS एक सरल रेखा है और बिंदु Q पर रेखा QP मिलती है, इसलिए ∠PQS और ∠PQR रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠PQS + ∠PQR = 180° ........ (1)

इसी प्रकार, QRT एक सरल रेखा है और बिंदु R पर रेखा RP मिलती है, इसलिए ∠PRQ और ∠PRT रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠PRQ + ∠PRT = 180° ........ (2)

समीकरण (1) और (2) से, हम पाते हैं:
∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT

परन्तु दिया है कि ∠PQR = ∠PRQ
इसलिए, उपरोक्त समीकरण में से ∠PQR और ∠PRQ को समान मानने पर वे कट जाएँगे।
अतः शेष रहता है: ∠PQS = ∠PRT

इस प्रकार सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4. दी गई आकृति में यदि ४ + ४5 ४+< है तो सिद्ध कीजिए कि »08 एक ऋणजु रेखा है।

हल:

दिया है: x + y = w + z
सिद्ध करना है: AOB एक सरल रेखा है।

चूँकि सभी किरणें एक ही बिंदु O से निकलती हैं, चारों कोणों का योग एक पूर्ण कोण होगा।
x + y + w + z = 360° ........ (1)

दिए गए शर्त के अनुसार: x + y = w + z
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: x + y – w – z = 0 ........ (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
(x + y + w + z) + (x + y – w – z) = 360° + 0
⇒ 2x + 2y = 360°
⇒ 2(x + y) = 360°
⇒ x + y = 180° ........ (3)

समीकरण (3) से स्पष्ट है कि कोण x और y आसन्न कोण हैं जिनका योग 180° है। इनकी उभयनिष्ठ भुजा OB है। जब दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है, तो उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ (OA और OC) एक सरल रेखा बनाती हैं।
अतः, AOC एक सरल रेखा है अर्थात् AOB एक ऋजु रेखा है।
इस प्रकार सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5. दी गई आकृति में, 700 एक रेखा है। किरण 07 रेखा 70 पर लम्ब है। किरणों 0? और 007 के बीच में 0: एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए ८1२08 5? (ZQOS — ZPOS)

हल:

दिया है: POQ एक सरल रेखा है और किरण OR, रेखा PQ पर लंब है।
सिद्ध करना है: ∠ROS = ½ (∠QOS – ∠POS)

चूँकि OR ⊥ PQ, इसलिए:
∠QOR = ∠POR = 90°

आकृति से,
∠POR = ∠POS + ∠ROS
⇒ 90° = ∠POS + ∠ROS
⇒ ∠POS = 90° – ∠ROS ........ (1)

इसी प्रकार, आकृति से,
∠QOS = ∠QOR + ∠ROS
⇒ ∠QOS = 90° + ∠ROS ........ (2)

अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
∠QOS – ∠POS = (90° + ∠ROS) – (90° – ∠ROS)
⇒ ∠QOS – ∠POS = 90° + ∠ROS – 90° + ∠ROS
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2∠ROS

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
∠ROS = ½ (∠QOS – ∠POS)
इस प्रकार सिद्ध हुआ।

प्रश्न 6. यह दिया है कि “४२2 - 64" है और 5 को बिन्दु 7 तक बढ़ाया गया है। दी। हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण २०0, «2५? को समद्विभाजित करती है तो “»«ए0 और प्रतिवर्ती «0४7० के मान ज्ञात कीजिए।

हल:

आकृति रचना:
1. सबसे पहले एक किरण YZ खींचिए।
2. इस पर एक बिंदु X लीजिए और ∠XYZ = 64° बनाइए।
3. किरण YX को बिंदु P तक बढ़ाकर रेखा XP प्राप्त कीजिए।
4. अब एक अन्य किरण YQ इस प्रकार खींचिए कि यह ∠ZYP को समद्विभाजित करे।

कोणों के मान ज्ञात करना:

(i) ∠XYQ ज्ञात करना:
चूँकि XP एक सरल रेखा है, इसलिए ∠XYZ और ∠ZYP रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠XYZ + ∠ZYP = 180°
⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
⇒ ∠ZYP = 180° – 64° = 116°

दिया है कि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
इसलिए, ∠ZYQ = ∠QYP = ½ × 116° = 58°

अब, आकृति से, ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + 58°
⇒ ∠XYQ = 122°

(ii) प्रतिवर्ती ∠QYP ज्ञात करना:
हमने ज्ञात किया कि ∠QYP = 58°
प्रतिवर्ती कोण ∠QYP = 360° – ∠QYP
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58°
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°

अतः, ∠XYQ = 122° और प्रतिवर्ती ∠QYP = 302° है।

प्रश्रावली 6.2

प्रश्न 1. दी गई आकृति में, और # के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि ७8 || 09 है।

हल:

दी गई आकृति में, सरल रेखा AB के साथ एक तिर्यक रेखा 50° का कोण बना रही है। ये दोनों कोण रैखिक युग्म बनाते हैं।
50° + x = 180°
⇒ x = 180° – 50°
⇒ x = 130°

अब, y और 130° का कोण शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए ये बराबर होंगे।
y = 130°

हम देखते हैं कि x और y दोनों 130° के बराबर हैं। ये कोण, रेखाओं AB और CD के लिए एकान्तर अंतःकोण हैं। जब एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटे कि बने एकान्तर कोण बराबर हों, तो वे रेखाएँ समांतर होती हैं।
चूँकि x = y = 130°, इसलिए AB || CD है।

प्रश्न 2. दी गई आकृति में, यदि ७8 || 00; ०0 | छह और 9: 2 - 3: 7 है। तो # का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: AB || CD, CD || EF और x : y = 3 : 7
ज्ञात करना है: x का मान।

यदि AB || CD और CD || EF है, तो समांतर रेखाओं के गुण से AB || EF होगा।
AB || EF के लिए, कोण x और कोण z एकान्तर कोण होंगे, इसलिए:
x = z ........ (1)

अब, AB || CD है और एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है। इस स्थिति में, x और y तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंतः कोण हैं, इसलिए इनका योग 180° होगा।
x + y = 180° ........ (2)

दिया है x : y = 3 : 7
माना x = 3k और y = 7k
समीकरण (2) में मान रखने पर:
3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°

अतः, x = 3k = 3 × 18°
⇒ x = 54°

समीकरण (1) से, z = x = 54°
अतः x का मान 54° है।

प्रश्न 3. दी गई आकृति में, यदि ७8 || CD, EF L CD SX ZGED = 126° हो तो «७65, 20% और «765 ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126°
ज्ञात करना है: ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE

चूँकि AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है, इसलिए एकान्तर कोण बराबर होंगे।
∠AGE = ∠GED
⇒ ∠AGE = 126° ........ (1)

आकृति से, ∠GED = ∠GEF + ∠FED
⇒ 126° = ∠GEF + 90° (क्योंकि EF ⊥ CD, इसलिए ∠FED = 90°)
⇒ ∠GEF = 126° – 90°
⇒ ∠GEF = 36°

अब, AB एक सरल रेखा है और बिंदु G पर रेखा GE मिलती है। ∠AGE और ∠FGE रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠AGE + ∠FGE = 180°
⇒ 126° + ∠FGE = 180°
⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°

अतः, ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54° है।

प्रश्न 4. दी गई आकृति में, यदि 70 || ST, ZPQR = 110° HR ZRST = 130° हो तो 207₹$ ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130°
ज्ञात करना है: ∠QRS

रचना: बिंदु R से होकर PQ के समांतर एक रेखा XY खींचिए।

विश्लेषण:
चूँकि PQ || XY (रचना से) और QR एक तिर्यक रेखा है, इसलिए ∠PQR और ∠QRX तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंतः कोण हैं।
∠PQR + ∠QRX = 180°
⇒ 110° + ∠QRX = 180°
⇒ ∠QRX = 180° – 110°
⇒ ∠QRX = 70°

अब, रचना से XY || PQ और दिया है PQ || ST, इसलिए XY || ST होगा।
XY || ST और RS एक तिर्यक रेखा है, इसलिए ∠SRY और ∠RST तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंतः कोण हैं।
∠SRY + ∠RST = 180°
⇒ ∠SRY + 130° = 180°
⇒ ∠SRY = 180° – 130°
⇒ ∠SRY = 50°

चूँकि XRY एक सरल रेखा है, इसलिए:
∠QRX + ∠QRS + ∠SRY = 180°
⇒ 70° + ∠QRS + 50° = 180°
⇒ ∠QRS = 180° – 70° – 50°
⇒ ∠QRS = 60°

अतः, ∠QRS का मान 60° है।

प्रश्न 5. दी गई आकृति में, यदि ७8 || 200, ०७०७ - 50% और »शरा) - 127" है तो £ और ४ ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127°
ज्ञात करना है: x और y

चूँकि AB || CD और PQ एक तिर्यक रेखा है, इसलिए एकान्तर कोण बराबर होंगे।
∠APQ = ∠PQR
⇒ 50° = x
⇒ x = 50°

पुनः, AB || CD और PR एक तिर्यक रेखा है, इसलिए:
∠APR = ∠PRD (एकान्तर कोण)
आकृति से, ∠APR = ∠APQ + ∠QPR = 50° + y
इसलिए, 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50°
⇒ y = 77°

अतः, x = 50° और y = 77° है।

प्रश्न 6. दी गई आकृति में 7 और २७५ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर Wa WU S| Um Set fH (Incident Ray) AB, दर्पण 76 से 8 पर टकराती है और परावर्तित किरण (२०1८००१ Ray) पथ 80 पर चलकर दर्पण ए५ से ० पर टकराती है तथा पुनः 09 के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि ७8 || 00 है।

हल:

दिया है: दर्पण PQ || दर्पण RS। आपतित किरण AB है जो दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण BC के रूप में निकलती है। यह किरण BC दर्पण RS से C पर टकराती है और पुनः परावर्तित होकर CD के रूप में निकलती है। B और C पर अभिलंब क्रमशः BB' और CC' हैं।
सिद्ध करना है: AB || CD

उपपत्ति:
1. चूँकि दर्पण PQ और RS समांतर हैं और BB' व CC' इन पर अभिलंब हैं, इसलिए BB' || CC' होगा।
2. BC, BB' और CC' की एक तिर्यक रेखा है। इसलिए, एकान्तर कोण बराबर होंगे:
∠1' = ∠2 ........ (1) (जहाँ ∠1' = ∠P'BC और ∠2 = ∠BCQ')
3. परावर्तन के नियम के अनुसार, आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है:
∠1 = ∠1' ........ (2) (बिंदु B पर)
∠2 = ∠2' ........ (3) (बिंदु C पर)
4. समीकरण (1), (2) और (3) से, हम पाते हैं:
∠1 = ∠2'
5. समीकरण (1) और इस नए परिणाम को जोड़ने पर:
∠1' + ∠1 = ∠2 + ∠2'
लेकिन ∠1' + ∠1 = ∠ABC और ∠2 + ∠2' = ∠BCD
अतः, ∠ABC = ∠BCD
6. ∠ABC और ∠BCD रेखा BC द्वारा रेखाओं AB और CD को काटने पर बने एकान्तर कोण हैं। चूँकि ये कोण बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर होंगी।
अतः, AB || CD सिद्ध हुआ।

प्रश्रावली 6.3

प्रश्न 1. दी गई आकृति में ५०07 की भुजाओं 07 और 7० को क्रमशः बिन्दुओं $ और प' तक बढ़ाया गया है। यदि «52२ - 135" है और ZPQT = 110° S तो “?२0 ज्ञात कीजिए।

हल:

ΔPQR में, भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है। बहिष्कोण ∠SPR, अंतः सम्मुख कोणों ∠PQR और ∠PRQ के योग के बराबर होता है।
∠SPR = ∠PQR + ∠PRQ
⇒ 135° = ∠PQR + ∠PRQ ........ (1)

इसी प्रकार, भुजा QP को T तक बढ़ाया गया है। बहिष्कोण ∠PQT, अंतः सम्मुख कोणों ∠QPR और ∠PRQ के योग के बराबर होता है।
∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = ∠QPR + ∠PRQ ........ (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
135° + 110° = (∠PQR + ∠PRQ) + (∠QPR + ∠PRQ)
⇒ 245° = (∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ) + ∠PRQ

हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतःकोणों का योग 180° होता है:
∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180° ........ (3)

इस मान को रखने पर:
245° = 180° + ∠PRQ
⇒ ∠PRQ = 245° – 180°
⇒ ∠PRQ = 65°

अतः, ∠PRQ का मान 65° है।

प्रश्न 2. दी गई आकृति में, «५४ = 62° HR ZXYZ = 54° है। यदि १0 और 70 क्रमश: ७हर> के 2एए>7 और »#7₹ के समद्विभाजक हैं तो «07५ और «२०7 ज्ञात कीजिए।

हल:

ΔXYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180° (त्रिभुज के कोण योग गुण)
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ 116° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 116°
⇒ ∠XZY = 64°

दिया है कि YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है और ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
इसलिए,
∠OYZ = ½ × ∠XYZ = ½ × 54° = 27°
∠OZY = ½ × ∠XZY = ½ × 64° = 32°

अब, ΔOYZ में,
∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
⇒ 59° + ∠YOZ = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 59°
⇒ ∠YOZ = 121°

अतः, ∠OZY = 32° और ∠YOZ = 121° है।

प्रश्न 3. दी गई आकृति में, यदि ७8 || 08, 28७८ - 35९ और ०07४ - 53० है तो “90% ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53°
ज्ञात करना है: ∠DCE

चूँकि AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है, इसलिए एकान्तर कोण बराबर होंगे।
∠BAC = ∠CED
⇒ 35° = ∠CED
⇒ ∠CED = 35°

अब, ΔCDE में,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180°
⇒ 53° + 35° + ∠DCE = 180°
⇒ 88° + ∠DCE = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°

अतः, ∠DCE का मान 92° है।

प्रश्न 4. दी गई आकृति में यदि रेखाएँ 70 और 1२५ बिन्दु 1 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद Sed € feo ZPRT = 40°, ZRPT = 95° HR “7४0 - 75" है तो 25$071' ज्ञात कीजिए।

हल:

ΔPRT में,
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180°
⇒ 40° + 95° + ∠PTR = 180°
⇒ 135° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 135°
⇒ ∠PTR = 45°

चूँकि रेखाएँ PQ और ST बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं, शीर्षाभिमुख कोण बराबर होंगे।
∠QTS = ∠PTR
⇒ ∠QTS = 45°

अब, ΔQTS में,
∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180°
⇒ 45° + 75° + ∠SQT = 180°
⇒ 120° + ∠SQT = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 120°
⇒ ∠SQT = 60°

अतः, ∠SQT का मान 60° है।

प्रश्न 5. दी गई आकृति में, यदि 70 1 PS, PQ || SR, ZSQR = 28° और «(0श' - 65" है तो » और 9 का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

ΔSQR में, ∠SQT एक बहिष्कोण है। यह अपने दोनों अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∠SQT = ∠SQR + ∠QSR
⇒ 65° = 28° + ∠QSR
⇒ ∠QSR = 65° – 28°
⇒ ∠QSR = 37°

चूँकि PQ || SR और QS एक तिर्यक रेखा है

Get UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण Solution in Hindi Medium

UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण Solution is available at our platform https://upboardSolution.com in hindi medium for free of cost. Content provided on our website is free of cost and in PDF format which is easily available for download. Getting the UP Board Solutions for class 9 will help student to achieve good learning experience so that they can study effectively. UP board holds examination of more than 3 million students every year and majority of the question of exams are from their UP Board Solutions. That’s why it is important to study using the textSolution issued by UP Board.

Importance of UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण Text Solutions

It is essential to know the importance of UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण textSolution issued by UP Board because students completely rely on these Solutions for their study and syllabus offered by UP Board is so balanced that each student should be aware about the importance of it. Below is the list of Importance of UP Board class 9 Maths 6. रेखाएँ और कोण :

• These TextSolutions are very clear and accurate which helps student to understand concept with ease.
• It is also to mention that these text Solutions are prepared by the content experts of subject, thus these Solutions helps student in clearing their doubts and understand the core concept easily.
• It is considered to be the best study material for competitive exam preparation.

Features of UP Board class 9 textSolutions

There are various features of UP Board class 9 TextSolutions, some of them are mentioned below so that you student can understand the value and usability of the contend and understand why Uttarpradesh board has prescribed these Solutions.

• Best feature of these textSolutions is free availability of content in PDF format
• Second feature that content generated and written is clear and easy to read.
• There are various illustration and images are shown in the Solution so that student can easily understand the concept and should be more appealing to the student.
• Each chapter is explained thoroughly

Uttar Pradesh Solutions are very helpful and handy. Specially subjects like UP Board class 9 Physics Part - II Solutions are very interesting to study.

Other Chapters of class 9 Maths
1. संख्या पद्धति
2. बहुपद
3. निर्देशांक ज्यामिति
4. दो चरों वाले रैखिक समीकरण
5. यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
6. रेखाएँ और कोण
7. त्रिभुज
8. चतुर्भुज
9. समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
10. वृत्त
11. रचनाएँ
12. हीरोन का सूत्र
13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
14. सांख्यिकी
15. प्रायिकता