UP Board class 9 Maths 8. चतुर्भुज is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 9 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5: 9: 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चतुर्भुज के कोण \(3x\), \(5x\), \(9x\) और \(13x\) हैं।
चतुर्भुज के सभी अंतः कोणों का योग \(360^\circ\) होता है।
इसलिए,
\(3x + 5x + 9x + 13x = 360^\circ\)
\(30x = 360^\circ\)
\(x = \frac{360^\circ}{30} = 12^\circ\)
अतः कोण होंगे:
पहला कोण = \(3x = 3 \times 12^\circ = 36^\circ\)
दूसरा कोण = \(5x = 5 \times 12^\circ = 60^\circ\)
तीसरा कोण = \(9x = 9 \times 12^\circ = 108^\circ\)
चौथा कोण = \(13x = 13 \times 12^\circ = 156^\circ\)
इस प्रकार, चतुर्भुज के कोण \(36^\circ\), \(60^\circ\), \(108^\circ\) और \(156^\circ\) हैं।
हल:
दिया है: समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
उपपत्ति:
त्रिभुज ABC और DCB में:
AB = DC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
BC = BC (उभयनिष्ठ भुजा)
AC = DB (दिया है)
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle DCB\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, \(\angle ABC = \angle DCB\) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण) ...(1)
परन्तु ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, अतः
\(\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ\) (क्रमागत अंतः कोण संपूरक होते हैं)
समीकरण (1) से, \(\angle ABC = \angle DCB\)
इसलिए, \(2\angle ABC = 180^\circ\)
\(\angle ABC = 90^\circ\)
अतः समांतर चतुर्भुज का एक कोण \(90^\circ\) है।
यदि किसी समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण हो, तो वह आयत होता है।
इस प्रकार, ABCD एक आयत है।
हल:
दिया है: चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अर्थात्,
AO = OC, BO = OD और \(\angle AOB = 90^\circ\).
सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति:
\(\triangle AOB\) और \(\triangle COB\) में:
AO = OC (दिया है)
BO = BO (उभयनिष्ठ)
\(\angle AOB = \angle COB = 90^\circ\) (दिया है)
अतः, \(\triangle AOB \cong \triangle COB\) (SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = BC (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ) ...(1)
इसी प्रकार, \(\triangle BOC \cong \triangle DOC\) सिद्ध करने पर,
BC = CD ...(2)
और \(\triangle COD \cong \triangle AOD\) सिद्ध करने पर,
CD = DA ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से,
AB = BC = CD = DA
अतः चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
साथ ही, चूँकि विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज भी है।
एक समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।
इस प्रकार, ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल:
दिया है: ABCD एक वर्ग है।
सिद्ध करना है:
(i) विकर्ण AC = विकर्ण BD
(ii) विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
उपपत्ति:
(i) \(\triangle ABC\) और \(\triangle DCB\) में:
AB = DC (वर्ग की भुजाएँ)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
\(\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ\) (वर्ग के कोण)
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle DCB\) (SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AC = BD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
अतः वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं।
(ii) चूँकि वर्ग एक समांतर चतुर्भुज भी है, इसलिए इसके विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अर्थात्, AO = OC और BO = OD.
अब, \(\triangle AOB\) और \(\triangle COB\) में:
AO = OC (ऊपर सिद्ध)
BO = BO (उभयनिष्ठ)
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)
अतः, \(\triangle AOB \cong \triangle COB\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, \(\angle AOB = \angle COB\) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
परन्तु \(\angle AOB + \angle COB = 180^\circ\) (रैखिक युग्म)
इससे, \(2\angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB = 90^\circ\)
अतः विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल:
दिया है: चतुर्भुज ABCD में,
विकर्ण AC = विकर्ण BD,
विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं अर्थात्,
AO = OC, BO = OD और \(\angle AOB = 90^\circ\).
सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है।
उपपत्ति:
चूँकि विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, \(\triangle AOB\) और \(\triangle AOD\) में:
AO = AO (उभयनिष्ठ)
BO = OD (दिया है)
\(\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ\) (दिया है)
अतः, \(\triangle AOB \cong \triangle AOD\) (SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = AD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ) ...(1)
इसी प्रकार, \(\triangle AOB \cong \triangle COB\) सिद्ध करने पर,
AB = BC ...(2)
और \(\triangle BOC \cong \triangle DOC\) सिद्ध करने पर,
BC = CD ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से,
AB = BC = CD = DA
अतः चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अब, \(\triangle ABC\) और \(\triangle DCB\) में:
AB = DC (ऊपर सिद्ध)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
AC = DB (दिया है)
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle DCB\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, \(\angle ABC = \angle DCB\) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
परन्तु \(\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ\) (क्रमागत अंतः कोण)
इससे, \(2\angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle ABC = 90^\circ\)
अतः चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं और एक कोण \(90^\circ\) है, इसलिए यह एक वर्ग है।
हल:
दिया है: समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC, \(\angle A\) को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है:
(i) AC, \(\angle C\) को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति:
(i) चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AB || DC और AD || BC.
AB || DC और AC तिर्यक रेखा है, इसलिए
\(\angle BAC = \angle DCA\) (एकांतर कोण) ...(1)
AD || BC और AC तिर्यक रेखा है, इसलिए
\(\angle DAC = \angle BCA\) (एकांतर कोण) ...(2)
दिया है कि AC, \(\angle A\) को समद्विभाजित करता है, अर्थात्
\(\angle BAC = \angle DAC\) ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से,
\(\angle DCA = \angle BCA\)
अतः AC, \(\angle C\) को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) \(\triangle ABC\) में,
\(\angle BAC = \angle BCA\) (समीकरण (1) और (2) से)
इसलिए, AB = BC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
परन्तु ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, अतः AB = CD और BC = AD.
इस प्रकार, AB = BC = CD = DA.
अतः समांतर चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
हल:
दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
सिद्ध करना है:
(i) विकर्ण AC, \(\angle A\) और \(\angle C\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
(ii) विकर्ण BD, \(\angle B\) और \(\angle D\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति:
(i) \(\triangle ABC\) और \(\triangle ADC\) में:
AB = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
BC = DC (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
AC = AC (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, \(\angle BAC = \angle DAC\) और \(\angle BCA = \angle DCA\) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
अतः AC, \(\angle A\) और \(\angle C\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
(ii) इसी प्रकार, \(\triangle ABD\) और \(\triangle CBD\) में:
AB = CB (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
AD = CD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
BD = BD (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, \(\triangle ABD \cong \triangle CBD\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, \(\angle ABD = \angle CBD\) और \(\angle ADB = \angle CDB\) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
अतः BD, \(\angle B\) और \(\angle D\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल:
दिया है: आयत ABCD में, विकर्ण AC, \(\angle A\) और \(\angle C\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है:
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD, \(\angle B\) और \(\angle D\) दोनों को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति:
(i) चूँकि AC, \(\angle A\) को समद्विभाजित करता है, इसलिए \(\angle BAC = \angle DAC\).
परन्तु \(\angle A = 90^\circ\) (आयत का कोण), इसलिए \(\angle BAC = \angle DAC = 45^\circ\).
इसी प्रकार, AC, \(\angle C\) को समद्विभाजित करता है, इसलिए \(\angle BCA = \angle DCA = 45^\circ\).
अब, \(\triangle ABC\) में,
\(\angle BAC = 45^\circ\) और \(\angle BCA = 45^\circ\)
इसलिए, \(\angle ABC = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\).
परन्तु ABCD एक आयत है, अतः \(\angle D = \angle B = 90^\circ\).
अब, \(\triangle ABC\) और \(\triangle ADC\) में:
AC = AC (उभयनिष्ठ)
\(\angle BAC = \angle DAC\) (दिया है)
\(\angle BCA = \angle DCA\) (दिया है)
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) (ASA सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = AD और BC = DC (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
परन्तु आयत में AB = CD और AD = BC होते हैं।
इस प्रकार, AB = BC = CD = DA.
अतः आयत ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं और प्रत्येक कोण \(90^\circ\) है, इसलिए यह एक वर्ग है।
(ii) चूँकि ABCD अब एक वर्ग है, और वर्ग में विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
अतः विकर्ण BD, \(\angle B\) और \(\angle D\) दोनों को समद्विभाजित करेगा।
हल:
दिया है: समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण BD पर बिंदु P और Q इस प्रकार हैं कि DP = BQ.
सिद्ध करना है: उपरोक्त पाँचों कथन।
उपपत्ति:
(i) \(\triangle APD\) और \(\triangle CQB\) में:
AD = BC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
\(\angle ADP = \angle CBQ\) (AD || BC और BD तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण)
DP = BQ (दिया है)
अतः, \(\triangle APD \cong \triangle CQB\) (SAS सर्वांगसमता नियम से)
(ii) चूँकि \(\triangle APD \cong \triangle CQB\), इसलिए AP = CQ (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
(iii) \(\triangle AQB\) और \(\triangle CPD\) में:
AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
\(\angle ABQ = \angle CDP\) (AB || CD और BD तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण)
BQ = DP (दिया है)
अतः, \(\triangle AQB \cong \triangle CPD\) (SAS सर्वांगसमता नियम से)
(iv) चूँकि \(\triangle AQB \cong \triangle CPD\), इसलिए AQ = CP (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
(v) चतुर्भुज APCQ में,
AP = CQ [(ii) से]
AQ = CP [(iv) से]
अर्थात् सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं।
इसलिए, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल:
दिया है: समांतर चतुर्भुज ABCD में, AP ⊥ BD और CQ ⊥ BD.
सिद्ध करना है: (i) \(\triangle APB \cong \triangle CQD\) (ii) AP = CQ
उपपत्ति:
(i) \(\triangle APB\) और \(\triangle CQD\) में:
AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
\(\angle ABP = \angle CDQ\) (AB || CD और BD तिर्यक रेखा है, अतः एकांतर कोण)
\(\angle APB = \angle CQD = 90^\circ\) (दिया है, AP ⊥ BD और CQ ⊥ BD)
अतः, \(\triangle APB \cong \triangle CQD\) (AAS सर्वांगसमता नियम से)
(ii) चूँकि \(\triangle APB \cong \triangle CQD\), इसलिए AP = CQ (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
हल:
दिया है: \(\triangle ABC\) और \(\triangle DEF\) में,
AB = DE, AB || DE,
BC = EF, BC || EF.
A, D को; B, E को; C, F को जोड़ा गया है।
सिद्ध करना है: उपरोक्त छह कथन।
उपपत्ति:
(i) चतुर्भुज ABED में,
AB = DE और AB || DE (दिया है)
यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
अतः ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC में,
BC = EF और BC || EF (दिया है)
उपरोक्त कारण से, BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) चूँकि ABED एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AD = BE और AD || BE.
चूँकि BEFC एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए BE = CF और BE || CF.
इस प्रकार, AD = CF और AD || CF.
(iv) चतुर्भुज ACFD में,
AD = CF और AD || CF [(iii) से]
उपरोक्त कारण से, ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) चूँकि ACFD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AC = DF (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
(vi) \(\triangle ABC\) और \(\triangle DEF\) में:
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF [(v) से]
अतः, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (SSS सर्वांगसमता नियम से)
हल:
दिया है: समलंब ABCD में, AB || DC और AD = BC.
सिद्ध करना है: उपरोक्त चारों कथन।
रचना: C से CE खींचिए जो AB के समांतर हो और AD को E पर मिले।
उपपत्ति:
रचना से, AECD एक समांतर चतुर्भुज है (क्योंकि AE || DC और EC || AD)।
इसलिए, AD = EC ...(1) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
परन्तु दिया है AD = BC ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, EC = BC.
अब, \(\triangle BCE\) में, EC = BC, इसलिए \(\angle CEB = \angle CBE\) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ...(3)
चूँकि AB || DC और EC || AD, इसलिए \(\angle DAB = \angle CEB\) (संगत कोण) ...(4)
समीकरण (3) और (4) से
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