UP Board Class 10 Maths 1. वास्तविक संख्याएँ is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
(i) 135 और 225
हल: चूँकि 225 > 135 है, हम 225 और 135 पर यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
225 = 135 × 1 + 90
शेषफल 0 नहीं है, इसलिए हम 135 और 90 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
135 = 90 × 1 + 45
अब, नए भाजक 90 और शेषफल 45 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
90 = 45 × 2 + 0
शेषफल 0 आ गया है, इसलिए प्रक्रिया रोक देते हैं।
∴ HCF (135, 225) = 45
(ii) 196 और 38220
हल: चूँकि 38220 > 196 है, हम 38220 और 196 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
38220 = 196 × 195 + 0
शेषफल 0 है, इसलिए प्रक्रिया रोक देते हैं।
∴ HCF (196, 38220) = 196
(iii) 867 और 255
हल: चूँकि 867 > 255 है, हम 867 और 255 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
867 = 255 × 3 + 102
शेषफल 0 नहीं है, इसलिए हम 255 और 102 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
255 = 102 × 2 + 51
अब, नए भाजक 102 और शेषफल 51 पर एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
102 = 51 × 2 + 0
शेषफल 0 है, इसलिए प्रक्रिया रोक देते हैं।
∴ HCF (867, 255) = 51
हल: माना कोई धनात्मक पूर्णांक 'a' है। इसे 6 से विभाजित करने पर, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार:
a = 6q + r, जहाँ 0 ≤ r < 6
इसलिए, r के मान 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं।
अतः, a = 6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, या 6q+5 के रूप में होगा।
6q, 6q+2, 6q+4 सभी 2 से विभाज्य हैं, इसलिए ये सम संख्याएँ हैं।
शेष रूपों की जाँच करते हैं:
6q+1 = 2(3q) + 1 = 2k₁ + 1 (विषम)
6q+3 = 2(3q+1) + 1 = 2k₂ + 1 (विषम)
6q+5 = 2(3q+2) + 1 = 2k₃ + 1 (विषम)
इस प्रकार, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है।
हल: स्तंभों की अधिकतम संख्या 616 और 32 के HCF के बराबर होगी।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर:
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
∴ HCF (616, 32) = 8
अतः, वे अधिकतम 8 स्तंभों में मार्च कर सकते हैं।
हल: माना कोई धनात्मक पूर्णांक 'a' है। इसे 3 से विभाजित करने पर:
a = 3q + r, जहाँ r = 0, 1, 2
स्थिति 1: जब a = 3q
a² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, जहाँ m = 3q² एक पूर्णांक है।
स्थिति 2: जब a = 3q + 1
a² = (3q+1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q²+2q) + 1 = 3m + 1, जहाँ m = 3q²+2q एक पूर्णांक है।
स्थिति 3: जब a = 3q + 2
a² = (3q+2)² = 9q² + 12q + 4 = 3(3q²+4q+1) + 1 = 3m + 1, जहाँ m = 3q²+4q+1 एक पूर्णांक है।
इस प्रकार, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m+1 के रूप का होता है।
हल: माना कोई धनात्मक पूर्णांक 'a' है। इसे 3 से विभाजित करने पर:
a = 3q + r, जहाँ r = 0, 1, 2
स्थिति 1: जब a = 3q
a³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m, जहाँ m = 3q³ एक पूर्णांक है।
स्थिति 2: जब a = 3q + 1
a³ = (3q+1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³+3q²+q) + 1 = 9m + 1, जहाँ m = 3q³+3q²+q एक पूर्णांक है।
स्थिति 3: जब a = 3q + 2
a³ = (3q+2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³+6q²+4q) + 8 = 9m + 8, जहाँ m = 3q³+6q²+4q एक पूर्णांक है।
इस प्रकार, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप में होता है।
(i) 140
140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7
(ii) 156
156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13
(iii) 3825
3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17
(iv) 5005
5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429
7429 = 17 × 19 × 23
(i) 26 और 91
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
जाँच: संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
HCF × LCM = 13 × 182 = 2366
∴ गुणनफल सत्यापित होता है।
(ii) 510 और 92
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
HCF = 2
LCM = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
जाँच: संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
HCF × LCM = 2 × 23460 = 46920
∴ गुणनफल सत्यापित होता है।
(iii) 336 और 54
336 = 2⁴ × 3 × 7
54 = 2 × 3³
HCF = 2 × 3 = 6
LCM = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024
जाँच: संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
HCF × LCM = 6 × 3024 = 18144
∴ गुणनफल सत्यापित होता है।
(i) 12, 15 और 21
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23 और 29
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 और 25
8 = 2³
9 = 3²
25 = 5²
HCF = 1
LCM = 2³ × 3² × 5² = 8 × 9 × 25 = 1800
हल: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM
इसलिए, LCM = (संख्याओं का गुणनफल) / HCF
LCM = (306 × 657) / 9
LCM = 201042 / 9 = 22338
∴ LCM (306, 657) = 22338
हल: यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त होती है, तो वह 10 से विभाज्य होनी चाहिए। 10 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 हैं।
6ⁿ का अभाज्य गुणनखंडन = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
इस गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 नहीं है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के अनुसार, 6ⁿ के गुणनखंडन में 2 और 3 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं हो सकता।
∴ किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।
हल: भाज्य संख्या वह होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड भी होते हैं।
पहली संख्या: 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × (77 + 1) = 13 × 78 = 13 × 13 × 6
इस संख्या के गुणनखंड 1, 6, 13, 78, 169, 1014 हैं। अतः यह एक भाज्य संख्या है।
दूसरी संख्या: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009
इस संख्या के गुणनखंड 1, 5, 1009, और 5045 हैं। अतः यह भी एक भाज्य संख्या है।
हल: वे दोनों प्रारंभिक स्थान पर उस समय मिलेंगे जो 18 और 12 के LCM के बराबर होगा।
18 = 2 × 3²
12 = 2² × 3
LCM (18, 12) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36 मिनट
अतः, रवि और सोनिया 36 मिनट बाद पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।
हल: इसके विपरीत मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है।
तब, √5 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0.
⇒ a = √5 b
⇒ a² = 5b² ... (1)
इससे पता चलता है कि 5, a² को विभाजित करता है, इसलिए 5, a को भी विभाजित करेगा।
मान लीजिए a = 5k, जहाँ k कोई पूर्णांक है।
समीकरण (1) में a का मान रखने पर:
(5k)² = 5b² ⇒ 25k² = 5b² ⇒ b² = 5k²
इससे पता चलता है कि 5, b² को विभाजित करता है, इसलिए 5, b को भी विभाजित करेगा।
इस प्रकार, 5, a और b दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारी कल्पना (a और b सहअभाज्य हैं) के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण उत्पन्न हुआ है कि √5 परिमेय है।
∴ √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल: इसके विपरीत मान लेते हैं कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
तब, 3 + 2√5 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0.
⇒ 2√5 = a/b - 3
⇒ √5 = (a - 3b) / (2b)
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, (a - 3b)/(2b) एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि √5 भी एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
∴ 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
(i) 1/√2
मान लीजिए 1/√2 परिमेय है। तब, 1/√2 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य हैं, b ≠ 0.
⇒ √2 = b/a
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, b/a परिमेय है, इसलिए √2 भी परिमेय होगा। लेकिन √2 अपरिमेय है। यह विरोधाभास है।
∴ 1/√2 अपरिमेय है।
(ii) 7√5
मान लीजिए 7√5 परिमेय है। तब, 7√5 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य हैं, b ≠ 0.
⇒ √5 = a/(7b)
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, a/(7b) परिमेय है, इसलिए √5 भी परिमेय होगा। लेकिन √5 अपरिमेय है। यह विरोधाभास है।
∴ 7√5 अपरिमेय है।
(iii) 6 + √2
मान लीजिए 6 + √2 परिमेय है। तब, 6 + √2 = a/b, जहाँ a और b सहअभाज्य हैं, b ≠ 0.
⇒ √2 = a/b - 6 = (a - 6b)/b
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, (a-6b)/b परिमेय है, इसलिए √2 भी परिमेय होगा। लेकिन √2 अपरिमेय है। यह विरोधाभास है।
∴ 6 + √2 अपरिमेय है।
सिद्धांत: एक परिमेय संख्या p/q (सहअभाज्य) का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ5ᵐ के रूप में है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हैं। अन्यथा यह असांत आवर्ती होता है।
(i) 13/3125
3125 = 5⁵ (केवल 5 का घात)। सांत।
(ii) 17/8
8 = 2³ (केवल 2 का घात)। सांत।
(iii) 64/455
455 = 5 × 7 × 13 (2 और 5 के अलावा अन्य गुणनखंड)। असांत आवर्ती।
(iv) 15/1600
1600 = 2⁶ × 5²। सांत।
(v) 29/343
343 = 7³ (2 और 5 नहीं)। असांत आवर्ती।
(vi) 23/(2³5²)
हर = 2³5²। सांत।
(vii) 129/(2²5⁷7⁵)
हर में 2 और 5 के अलावा 7 भी है। असांत आवर्ती।
(viii) 6/15 = 2/5
हर = 5। सांत।
(ix) 35/50 = 7/10
10 = 2 × 5। सांत।
(x) 77/210 = 11/30
30 = 2 × 3 × 5 (3 उपस्थित है)। असांत आवर्ती।
(i) 13/3125 = 0.00416
(ii) 17/8 = 2.125
(iv) 15/1600 = 0.009375
(vi) 23/(2³5²) = 23/200 = 0.115
(viii) 6/15 = 0.4
(ix) 35/50 = 0.7
नोट: (iii), (v), (vii), (x) असांत आवर्ती हैं, इसलिए उनके सटीक सांत प्रसार नहीं लिखे जा सकते।
(i) 43.123456789
यह एक सांत दशमलव है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 होंगे।
(ii) 0.120120012000120000...
यह एक असांत अनावर्ती दशमलव है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) 43.123456789 (आवर्ती मानते हुए)
यदि यह एक असांत आवर्ती दशमलव है, तो यह एक परिमेय संख्या है। इस स्थिति में, q के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और/या 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होंगे।
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