UP Board Class 10 Maths (12. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) solution PDF

UP Board Class 10 Maths 12. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.

UP Board Class 10 Maths (12. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) solution

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12. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

प्रश्नावली 12.1

01. दो वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं | उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है |

हल:
माना नए वृत्त की त्रिज्या = R cm है।
पहले वृत्त की त्रिज्या, R₁ = 19 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या, R₂ = 9 cm
प्रश्नानुसार,
नए वृत्त की परिधि = पहले वृत्त की परिधि + दूसरे वृत्त की परिधि
⇒ 2πR = 2πR₁ + 2πR₂
⇒ 2πR = 2π (R₁ + R₂)
⇒ R = R₁ + R₂
⇒ R = 19 + 9
⇒ R = 28 cm
अतः, अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या 28 cm है।

(2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं | उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है |

हल:
माना नए वृत्त की त्रिज्या = R cm है।
पहले वृत्त की त्रिज्या, r₁ = 8 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r₂ = 6 cm
प्रश्नानुसार,
नए वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल
⇒ πR² = πr₁² + πr₂²
⇒ πR² = π (r₁² + r₂²)
⇒ R² = r₁² + r₂²
⇒ R² = (8)² + (6)²
⇒ R² = 64 + 36
⇒ R² = 100
⇒ R = 10 cm (∵ त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती)
अतः, अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या 10 cm है।

(१3. आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं | GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है | अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:
प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
(i) GOLD क्षेत्र का क्षेत्रफल:
GOLD क्षेत्र का व्यास = 21 cm
∴ त्रिज्या, r = 21/2 = 10.5 cm
GOLD क्षेत्र एक पूर्ण वृत्त है।
क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × (10.5)²
= (22/7) × 110.25
= 22 × 15.75
= 346.5 cm²
(ii) RED क्षेत्र का क्षेत्रफल:
RED क्षेत्र एक वलय (ring) है जिसकी आंतरिक त्रिज्या r = 10.5 cm (GOLD की त्रिज्या) है।
बाहरी त्रिज्या R = r + पट्टी की चौड़ाई = 10.5 + 10.5 = 21 cm
RED क्षेत्र का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल - आंतरिक (GOLD) वृत्त का क्षेत्रफल
= πR² - πr² = π (R² - r²)
= (22/7) × [(21)² - (10.5)²]
= (22/7) × (441 - 110.25)
= (22/7) × 330.75
= 22 × 47.25
= 1039.5 cm²
(iii) BLUE क्षेत्र का क्षेत्रफल:
आंतरिक त्रिज्या r = 21 cm (RED की बाहरी त्रिज्या)
बाहरी त्रिज्या R = 21 + 10.5 = 31.5 cm
क्षेत्रफल = π (R² - r²) = (22/7) × [(31.5)² - (21)²]
= (22/7) × (992.25 - 441)
= (22/7) × 551.25
= 22 × 78.75
= 1732.5 cm²
(iv) BLACK क्षेत्र का क्षेत्रफल:
आंतरिक त्रिज्या r = 31.5 cm (BLUE की बाहरी त्रिज्या)
बाहरी त्रिज्या R = 31.5 + 10.5 = 42 cm
क्षेत्रफल = π (R² - r²) = (22/7) × [(42)² - (31.5)²]
= (22/7) × (1764 - 992.25)
= (22/7) × 771.75
= 22 × 110.25
= 2425.5 cm²
(v) WHITE क्षेत्र का क्षेत्रफल:
आंतरिक त्रिज्या r = 42 cm (BLACK की बाहरी त्रिज्या)
बाहरी त्रिज्या R = 42 + 10.5 = 52.5 cm
क्षेत्रफल = π (R² - r²) = (22/7) × [(52.5)² - (42)²]
= (22/7) × (2756.25 - 1764)
= (22/7) × 992.25
= 22 × 141.75
= 3118.5 cm²

04. किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है | यदि यह कार 66 km प्रति घंटे की चाल से चाल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है ?

हल:
पहिये का व्यास = 80 cm
∴ त्रिज्या (r) = 40 cm = 0.4 m (∵ 1 m = 100 cm)
कार की चाल = 66 km/h
समय = 10 मिनट = 10/60 = 1/6 घंटा
10 मिनट में कार द्वारा तय दूरी = चाल × समय
= 66 × (1/6) = 11 km = 11000 m
पहिये की परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 0.4 = (176/35) m
एक चक्कर में तय दूरी = पहिये की परिधि
10 मिनट में पहिये के चक्करों की संख्या = (कुल तय दूरी) / (एक चक्कर में दूरी)
= 11000 ÷ (176/35)
= 11000 × (35/176)
= (11000 × 35) / 176
= 4375
अतः, प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।

05. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए : यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है: (A) 2 मात्रक (B) π मात्रक (C) 4 मात्रक (D) 7 मात्रक

हल:
माना वृत्त की त्रिज्या = r मात्रक है।
वृत्त का परिमाप (परिधि) = 2πr
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
प्रश्नानुसार, परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं।
∴ 2πr = πr²
⇒ 2 = r (दोनों पक्षों को πr से भाग देने पर, यह मानते हुए कि r ≠ 0)
⇒ r = 2 मात्रक
अतः सही विकल्प (A) 2 मात्रक है।

प्रश्नावली 12.2

(१1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है |

हल:
त्रिज्या (r) = 6 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (60/360) × (22/7) × (6)²
= (1/6) × (22/7) × 36
= (22 × 36) / (7 × 6)
= (22 × 6) / 7
= 132/7
= (132/7) cm² या 18.86 cm² (लगभग)

(2. एक वृत्त, के चतुर्थाश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है |

हल:
वृत्त की परिधि = 22 cm
⇒ 2πr = 22
⇒ 2 × (22/7) × r = 22
⇒ r = (22 × 7) / (22 × 2) = 7/2 = 3.5 cm
चतुर्थाश (quadrant) वृत्त का एक-चौथाई भाग होता है, जिसका कोण 90° होता है।
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = (1/4) × πr²
= (1/4) × (22/7) × (3.5)²
= (1/4) × (22/7) × 12.25
= (22 × 12.25) / (7 × 4)
= (269.5) / 28
= 9.625 cm²

(03. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है | इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:
मिनट की सुई की लंबाई = वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 cm
घड़ी में 60 मिनट में मिनट की सुई 360° घूमती है।
∴ 1 मिनट में घूमने का कोण = 360°/60 = 6°
अतः 5 मिनट में घूमने का कोण (θ) = 5 × 6° = 30°
सुई द्वारा बनाया गया क्षेत्र एक त्रिज्यखंड है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (30/360) × (22/7) × (14)²
= (1/12) × (22/7) × 196
= (22 × 196) / (7 × 12)
= (4312) / 84
= (154/3) cm² या 51.33 cm² (लगभग)

(१4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है | निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए : (i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड

हल:
त्रिज्या (r) = 10 cm
जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = 90°
(i) संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (90/360) × π × (10)² = (1/4) × π × 100 = 25π cm²
त्रिभुज का क्षेत्रफल (समकोण समद्विबाहु त्रिभुज) = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 10 × 10 = 50 cm²
∴ लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 25π – 50 = 25 × (22/7) – 50 = (550/7) – 50 = (550 - 350)/7 = 200/7
= (200/7) cm² या 28.57 cm² (लगभग)
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण = 360° – 90° = 270°
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (270/360) × πr² = (3/4) × π × 100 = 75π cm²
= 75 × (22/7) = 1650/7
= (1650/7) cm² या 235.71 cm² (लगभग)

05. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है | ज्ञात कीजिए : (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

हल:
त्रिज्या (r) = 21 cm, कोण (θ) = 60°
(i) चाप की लंबाई:
चाप की लंबाई (l) = (θ/360°) × 2πr
= (60/360) × 2 × (22/7) × 21
= (1/6) × 2 × 22 × 3
= (1/6) × 132
= 22 cm
(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (60/360) × (22/7) × (21)²
= (1/6) × (22/7) × 441
= (22 × 441) / (7 × 6)
= (9702) / 42
= 231 cm²
(iii) संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिभुज समबाहु होगा क्योंकि दो भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं और उनके बीच का कोण 60° है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × (भुजा)² = (√3/4) × (21)² = (√3/4) × 441 = (441√3)/4 cm²
∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 231 – (441√3)/4
√3 ≈ 1.732 रखने पर, (441 × 1.732)/4 ≈ 763.812/4 ≈ 190.953 cm²
अतः वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 231 – 190.953 = 40.047 cm² (लगभग)

06. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है | संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंड़ों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल:
त्रिज्या (r) = 15 cm, कोण (θ) = 60°
संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: = (60/360) × π × (15)² = (1/6) × π × 225 = (225π)/6 = (75π)/2 cm²
संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल: (समबाहु त्रिभुज) = (√3/4) × (भुजा)² = (√3/4) × (15)² = (225√3)/4 cm²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल: = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (75π)/2 – (225√3)/4
π = 22/7 और √3 ≈ 1.732 रखने पर,
(75 × 22/7)/2 = (1650/7)/2 = 1650/14 ≈ 117.857 cm²
(225 × 1.732)/4 = 389.7/4 ≈ 97.425 cm²
∴ लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 117.857 – 97.425 = 20.432 cm² (लगभग)
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल: = वृत्त का कुल क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
वृत्त का कुल क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 225 = 4950/7 ≈ 707.143 cm²
∴ दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 707.143 – 20.432 = 686.711 cm² (लगभग)

07. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है | संगत वृत्तखंड़ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:
त्रिज्या (r) = 12 cm, कोण (θ) = 120°
संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (120/360) × π × (12)² = (1/3) × π × 144 = 48π cm²
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 12 cm हैं और उनके बीच का कोण 120° है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × r² × sin θ = (1/2) × (12)² × sin 120° = (1/2) × 144 × (√3/2) = 36√3 cm²
∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 48π – 36√3
π = 22/7 और √3 ≈ 1.732 रखने पर,
48 × (22/7) = 1056/7 ≈ 150.857 cm²
36 × 1.732 = 62.352 cm²
∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 150.857 – 62.352 = 88.505 cm² (लगभग)

08. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है ( देखिए आकृति 12.11) | ज्ञात कीजिए : (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोडा चर सकता है | (ii) चर सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए |

हल:
(i) जब रस्सी की लंबाई 5 m है:
घोड़ा वर्ग के एक कोने से बँधा है। वह 5 m त्रिज्या के वृत्त के एक चतुर्थाश (90° वाले त्रिज्यखंड) के क्षेत्र में चर सकता है।
क्षेत्रफल = (1/4) × π × (5)² = (1/4) × π × 25 = (25π)/4 m²
π = 22/7 रखने पर, (25 × 22/7)/4 = (550/7)/4 = 550/28 = 275/14 ≈ 19.64 m²
(ii) जब रस्सी की लंबाई 10 m है:
अब त्रिज्या 10 m है, लेकिन वर्ग की भुजा केवल 15 m है। इसलिए घोड़ा पूरा चतुर्थाश नहीं घूम पाएगा। वह 10 m त्रिज्या के वृत्त के उस चतुर्थाश भाग में चर सकता है जो वर्ग के अंदर आता है। चूँकि वर्ग की भुजा (15 m) रस्सी की लंबाई (10 m) से अधिक है, पूरा चतुर्थाश वर्ग के अंदर ही आएगा।
∴ नया क्षेत्रफल = (1/4) × π × (10)² = (1/4) × π × 100 = 25π m²
= 25 × (22/7) = 550/7 ≈ 78.57 m²
क्षेत्रफल में वृद्धि = नया क्षेत्रफल – पुराना क्षेत्रफल
≈ 78.57 – 19.64 = 58.93 m² (लगभग)

Q9. एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है | तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसाकि आकृति 12.12 में दर्शाया गया है | तो ज्ञात कीजिए : (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई (ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल:
वृत्त का व्यास = 35 mm
∴ त्रिज्या (r) = 35/2 = 17.5 mm
(i) कुल तार की लंबाई:
तार की लंबाई = वृत्त की परिधि + 5 व्यासों की लंबाई
वृत्त की परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 17.5 = 2 × 22 × 2.5 = 110 mm
5 व्यासों की लंबाई = 5 × व्यास = 5 × 35 = 175 mm
∴ कुल तार की लंबाई = 110 + 175 = 285 mm
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
5 व्यासों द्वारा वृत्त 10 बराबर त्रिज्यखंडों में बँट गया है।
∴ प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण = 360°/10 = 36°
प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (36/360) × (22/7) × (17.5)²
= (1/10) × (22/7) × 306.25
= (22 × 306.25) / (7 × 10)
= 6737.5 / 70
= 96.25 mm² (या (385/4) mm²)

(010. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति 12.13 )| छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:
छतरी की त्रिज्या (r) = 45 cm
तानों की संख्या = 8
चूँकि ताने बराबर दूरी पर हैं, वे वृत्त को 8 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करते हैं।
प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 360°/8 = 45°
दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा।
क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (45/360) × (22/7) × (45)²
= (1/8) × (22/7) × 2025
= (22 × 2025)

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