UP Board Class 10 Maths 8. त्रिकोणमिति का परिचय is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
AC² = AB² + BC²
AC² = (24 cm)² + (7 cm)²
AC² = (576 + 49) cm²
AC² = 625 cm²
AC = √625 = 25 cm
(i) sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = 7/25
cos A = आधार/कर्ण = AB/AC = 24/25
(ii) sin C = लंब/कर्ण = AB/AC = 24/25
cos C = आधार/कर्ण = BC/AC = 7/25
आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
∆PQR में, पाइथागोरस प्रमेय से:
QR² = PR² – PQ²
QR² = (13)² – (12)²
QR² = 169 – 144 = 25
QR = √25 = 5
इसलिए, tan P = लंब/आधार = QR/PQ = 5/12
cot R = आधार/लंब = QR/PQ = 5/12
अतः, tan P – cot R = (5/12) – (5/12) = 0
यदि sin A = 3/4, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
दिया है: sin A = 3/4
माना sin A = लंब/कर्ण = 3k/4k, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = AC² – BC²
AB² = (4k)² – (3k)²
AB² = 16k² – 9k² = 7k²
AB = √7k² = √7 k
cos A = आधार/कर्ण = AB/AC = (√7 k)/(4k) = √7 / 4
tan A = लंब/आधार = BC/AB = (3k)/(√7 k) = 3/√7
यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
दिया है: 15 cot A = 8
cot A = 8/15
माना cot A = आधार/लंब = 8k/15k, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
AC² = AB² + BC²
AC² = (8k)² + (15k)²
AC² = 64k² + 225k² = 289k²
AC = √289k² = 17k
sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = 15k/17k = 15/17
sec A = कर्ण/आधार = AC/AB = 17k/8k = 17/8
यदि sec θ = 13/12, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
दिया है: sec θ = 13/12
माना sec θ = कर्ण/आधार = 13k/12k, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
BC² = AC² – AB²
BC² = (13k)² – (12k)²
BC² = 169k² – 144k² = 25k²
BC = √25k² = 5k
sin θ = लंब/कर्ण = BC/AC = 5k/13k = 5/13
cos θ = आधार/कर्ण = AB/AC = 12k/13k = 12/13
tan θ = लंब/आधार = BC/AB = 5k/12k = 5/12
cosec θ = 1/sin θ = 13/5
cot θ = 1/tan θ = 12/5
यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B ।
दिया है: cos A = cos B
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR हैं, जहाँ cos A = cos B है।
cos A = AB/AC और cos B = PQ/PR
चूँकि cos A = cos B, इसलिए AB/AC = PQ/PR = k (माना) ...(i)
अतः, AB = k(AC) और PQ = k(PR)
पाइथागोरस प्रमेय से,
BC = √(AC² – AB²) और QR = √(PR² – PQ²)
मान रखने पर, BC/QR = √(AC² – k²AC²) / √(PR² – k²PR²) = √(1-k²)/√(1-k²) = 1
अतः, BC/QR = 1 या BC = QR
समीकरण (i) और BC = QR से, AB/PQ = AC/PR = BC/QR
इसलिए, ∆ABC ~ ∆PQR (SSS समरूपता से)
अतः, ∠A = ∠B
यदि cot θ = 7/8, तो (i) (1+sin θ)(1-sin θ) / (1+cos θ)(1-cos θ) का मान निकालिए।
(ii) cot² θ का मान भी निकालिए।
दिया है: cot θ = 7/8
माना cot θ = आधार/लंब = 7k/8k, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय से:
कर्ण² = (7k)² + (8k)² = 49k² + 64k² = 113k²
कर्ण = √113 k
sin θ = लंब/कर्ण = 8k/√113 k = 8/√113
cos θ = आधार/कर्ण = 7k/√113 k = 7/√113
(i) (1+sin θ)(1-sin θ) / (1+cos θ)(1-cos θ)
= (1 – sin²θ) / (1 – cos²θ)
= cos²θ / sin²θ (क्योंकि 1 – sin²θ = cos²θ और 1 – cos²θ = sin²θ)
= (7/√113)² / (8/√113)²
= (49/113) / (64/113) = 49/64
(ii) cot² θ = (7/8)² = 49/64
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि (1 – tan² A)/(1 + tan² A) = cos² A – sin² A है या नहीं।
दिया है: 3 cot A = 4 => cot A = 4/3
माना cot A = आधार/लंब = 4k/3k
पाइथागोरस प्रमेय से: कर्ण² = (4k)² + (3k)² = 16k² + 9k² = 25k²
कर्ण = 5k
sin A = 3k/5k = 3/5
cos A = 4k/5k = 4/5
tan A = 1/cot A = 3/4
बायाँ पक्ष = (1 – tan² A)/(1 + tan² A) = (1 – (9/16)) / (1 + (9/16)) = (7/16) / (25/16) = 7/25
दायाँ पक्ष = cos² A – sin² A = (16/25) – (9/25) = 7/25
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। अतः सिद्ध हुआ।
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
दिया है: tan A = 1/√3
माना tan A = लंब/आधार = k/(√3 k)
पाइथागोरस प्रमेय से: कर्ण² = (k)² + (√3 k)² = k² + 3k² = 4k²
कर्ण = 2k
sin A = लंब/कर्ण = k/2k = 1/2
cos A = आधार/कर्ण = √3 k / 2k = √3/2
त्रिभुज में, ∠A + ∠C = 90° इसलिए ∠C = 90° – ∠A
sin C = sin(90° – A) = cos A = √3/2
cos C = cos(90° – A) = sin A = 1/2
(i) sin A cos C + cos A sin C = (1/2)*(1/2) + (√3/2)*(√3/2) = (1/4) + (3/4) = 1
(ii) cos A cos C – sin A sin C = (√3/2)*(1/2) – (1/2)*(√3/2) = (√3/4) – (√3/4) = 0
∆PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
दिया है: PR + QR = 25 cm, PQ = 5 cm
माना QR = x cm, तो PR = (25 – x) cm
पाइथागोरस प्रमेय से ∆PQR में:
PR² = PQ² + QR²
(25 – x)² = 5² + x²
625 + x² – 50x = 25 + x²
625 – 50x = 25
50x = 600
x = 12
अतः, QR = 12 cm और PR = 25 – 12 = 13 cm
sin P = QR/PR = 12/13
cos P = PQ/PR = 5/13
tan P = QR/PQ = 12/5
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4/3
(i) असत्य, क्योंकि यदि सम्मुख भुजा > संलग्न भुजा, तो tan A का मान 1 से अधिक होगा।
(ii) सत्य, क्योंकि sec A का मान 1 या 1 से अधिक हो सकता है। 12/5 > 1, अतः यह संभव है।
(iii) असत्य, क्योंकि cos A, कोण A के cosine के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त रूप है। cosecant के लिए cosec A है।
(iv) असत्य, क्योंकि cot A, कोण A के cotangent अनुपात को दर्शाता है, यह गुणनफल नहीं है।
(v) असत्य, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकता। 4/3 > 1, अतः यह असंभव है।
निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
(iii) cos 45°/(sec 30° + cosec 30°)
(iv) (sin 30° + tan 45° – cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°)
(v) (5 cos² 60° + 4 sec² 30° – tan² 45°)/(sin² 30° + cos² 30°)
मानक कोणों के मान:
sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tan 30°=1/√3, sec 30°=2/√3, cosec 30°=2
sin 45°=1/√2, cos 45°=1/√2, tan 45°=1, sec 45°=√2, cosec 45°=√2
sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tan 60°=√3, sec 60°=2, cosec 60°=2/√3
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = (√3/2)*(√3/2) + (1/2)*(1/2) = (3/4) + (1/4) = 1
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° = 2*(1)² + (√3/2)² – (√3/2)² = 2 + (3/4) – (3/4) = 2
(iii) cos 45°/(sec 30° + cosec 30°) = (1/√2) / (2/√3 + 2) = (1/√2) / ((2+2√3)/√3) = √3/(√2*(2+2√3)) = ... हल करने पर = (3√2 – √6)/8
(iv) (sin 30°+tan 45°–cosec 60°)/(sec 30°+cos 60°+cot 45°) = ((1/2)+1–(2/√3)) / ((2/√3)+(1/2)+1) = ... हल करने पर = (43-24√3)/11
(v) (5 cos² 60° + 4 sec² 30° – tan² 45°)/(sin² 30° + cos² 30°) = (5*(1/4) + 4*(4/3) – 1) / (1/4 + 3/4) = ((5/4)+(16/3)-1) / (1) = (67/12 – 1) = 55/12
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:
(i) (2 tan 30°)/(1+tan² 30°) =
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(ii) (1 – tan² 45°)/(1+tan² 45°) =
(A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है:
(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
(iv) (2 tan 30°)/(1 – tan² 30°) बराबर है:
(A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(i) (2 tan 30°)/(1+tan² 30°) = (2*(1/√3)) / (1+(1/3)) = (2/√3) / (4/3) = (2/√3)*(3/4) = √3/2 = sin 60°. विकल्प (A) सही।
(ii) (1 – tan² 45°)/(1+tan² 45°) = (1-1)/(1+1) = 0/2 = 0. विकल्प (D) सही।
(iii) sin 2A = 2 sin A cos A. यह 2 sin A के बराबर तभी होगा जब cos A = 1, अर्थात A = 0°. विकल्प (A) सही।
(iv) (2 tan 30°)/(1 – tan² 30°) = (2*(1/√3)) / (1 – (1/3)) = (2/√3) / (2/3) = (2/√3)*(3/2) = √3 = tan 60°. विकल्प (C) सही।
यदि tan (A+B) = √3 और tan (A–B) = 1/√3; 0° < A+B ≤ 90°; A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
tan (A+B) = √3 = tan 60° => A+B = 60° ...(i)
tan (A–B) = 1/√3 = tan 30° => A–B = 30° ...(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर: 2A = 90° => A = 45°
(i) में मान रखने पर: 45° + B = 60° => B = 15°
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin (A+B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
(i) असत्य. उदाहरण: A=30°, B=60°, LHS=sin90°=1, RHS=1/2+√3/2 ≠1.
(ii) सत्य. 0° से 90° तक, sin θ का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।
(iii) असत्य. 0° से 90° तक, cos θ का मान 1 से 0 तक घटता है।
(iv) असत्य. यह केवल θ = 45° पर सत्य है।
(v) सत्य. cot A = cos A/sin A. A=0° पर sin 0°=0, अतः cot 0° परिभाषित नहीं।
निम्नलिखित का मान निकालिए:
(i) sin 18°/cos 72°
(ii) tan 26°/cot 64°
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
(i) sin 18°/cos 72° = sin 18°/cos(90°–18°) = sin 18°/sin 18° = 1
(ii) tan 26°/cot 64° = tan 26°/cot(90°–26°) = tan 26°/tan 26° = 1
(iii) cos 48° – sin 42° = cos 48° – cos(90°–42°) = cos 48° – cos 48° = 0
(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec 31° – cosec(90°–59°) = cosec 31° – cosec 31° = 0
दिखाइए कि:
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
(i) बायाँ पक्ष = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° cot(90°–42°) cot(90°–67°)
= tan 48° tan 23° cot 48° cot 23°
= (tan 48° cot 48°)(tan 23° cot 23°) = 1 * 1 = 1 = दायाँ पक्ष
(ii) बायाँ पक्ष = cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos 52° – cos(90°–38°) cos(90°–52°)
= cos 38° cos 52° – cos 52° cos 38° = 0 = दायाँ पक्ष
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
tan 2A = cot (A – 18°)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°) [∵ cot(90°–θ)=tan θ]
90° – 2A = A – 18°
90° + 18° = 3A
108° = 3A
A = 36°
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
tan A = cot B
cot (90° – A) = cot B [∵ cot(90°–θ)=tan θ]
90° – A = B
A + B = 90°
यदि sec 4A = cosec (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
sec 4A = cosec (A – 20°)
cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [∵ cosec(90°–θ)=sec θ]
90° – 4A = A – 20°
90° + 20° = 5A
110° = 5A
A = 22°
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अंतः कोण हों, तो दिखाइए कि sin((B+C)/2) = cos(A/2)
त्रिभुज में, A + B + C = 180° => B + C = 180° – A
बायाँ पक्ष = sin((B+C)/2) = sin((180°–A)/2) = sin(90° – A/2) = cos(A/2) = दायाँ पक्ष
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
sin 67° + cos 75°
= cos(90° – 67°) + sin(90° – 75°) [∵ sin(90°–θ)=cos θ और cos(90°–θ)=sin θ]
= cos 23° + sin 15°
त्रिकोणमिती
UP Board Class 10 Maths 8. त्रिकोणमिति का परिचय Solution is available at our platform https://upboardSolution.com in hindi medium for free of cost. Content provided on our website is free of cost and in PDF format which is easily available for download. Getting the UP Board Solutions for Class 10 will help student to achieve good learning experience so that they can study effectively. UP board holds examination of more than 3 million students every year and majority of the question of exams are from their UP Board Solutions. That’s why it is important to study using the textSolution issued by UP Board.
It is essential to know the importance of UP Board Class 10 Maths 8. त्रिकोणमिति का परिचय textSolution issued by UP Board because students completely rely on these Solutions for their study and syllabus offered by UP Board is so balanced that each student should be aware about the importance of it. Below is the list of Importance of UP Board Class 10 Maths 8. त्रिकोणमिति का परिचय :
There are various features of UP Board Class 10 TextSolutions, some of them are mentioned below so that you student can understand the value and usability of the contend and understand why Uttarpradesh board has prescribed these Solutions.
