UP Board Class 10 Maths 5. समांतर श्रेढि़याँ is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
प्रश्न 1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची समांतर श्रेढ़ी है और क्यों?
हल:
प्रथम किलोमीटर का किराया = ₹15
प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = ₹8
श्रृंखला: 15, 23, 31, 39, ...
जाँच: d₁ = 23 - 15 = 8, d₂ = 31 - 23 = 8, d₃ = 39 - 31 = 8
चूँकि सभी अंतर समान (सार्व अंतर d = 8) हैं, इसलिए यह सूची एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है।
हल:
माना बेलन में हवा की प्रारंभिक मात्रा = 1 इकाई
पहली बार हवा निकालने के बाद शेष हवा = 1 - ¼ = ¾
दूसरी बार हवा निकालने के बाद शेष हवा = ¾ - (¼ × ¾) = ¾ - ³⁄₁₆ = ⁹⁄₁₆
तीसरी बार हवा निकालने के बाद शेष हवा = ⁹⁄₁₆ - (¼ × ⁹⁄₁₆) = ⁹⁄₁₆ - ⁹⁄₆₄ = ²⁷⁄₆₄
श्रृंखला: 1, ¾, ⁹⁄₁₆, ²⁷⁄₆₄, ...
यहाँ अंतर समान नहीं हैं (d₁ = ¾ - 1 = -¼, d₂ = ⁹⁄₁₆ - ¾ = -³⁄₁₆), इसलिए यह A.P. नहीं है।
हल:
प्रथम मीटर की लागत = ₹150
दूसरे मीटर की लागत = ₹150 + ₹50 = ₹200
तीसरे मीटर की लागत = ₹200 + ₹50 = ₹250
श्रृंखला: 150, 200, 250, 300, ...
जाँच: d₁ = 200 - 150 = 50, d₂ = 250 - 200 = 50, d₃ = 300 - 250 = 50
सार्व अंतर d = 50 है, इसलिए यह श्रृंखला एक A.P. है।
हल:
पहले वर्ष का मिश्रधन = ₹10000
दूसरे वर्ष का मिश्रधन = 10000 + (10000 × 8 × 1)/100 = ₹10800
तीसरे वर्ष का मिश्रधन = 10800 + (10800 × 8 × 1)/100 = ₹11664
श्रृंखला: 10000, 10800, 11664, ...
स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है (d₁ = 800, d₂ = 864), अतः यह A.P. नहीं है।
(i) a = 10, d = 10
हल: a₁ = 10, a₂ = 20, a₃ = 30, a₄ = 40
प्रथम चार पद: 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d = 0
हल: a₁ = -2, a₂ = -2, a₃ = -2, a₄ = -2
प्रथम चार पद: -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3
हल: a₁ = 4, a₂ = 1, a₃ = -2, a₄ = -5
प्रथम चार पद: 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = ½
हल: a₁ = -1, a₂ = -½, a₃ = 0, a₄ = ½
प्रथम चार पद: -1, -½, 0, ½
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल: a₁ = -1.25, a₂ = -1.5, a₃ = -1.75, a₄ = -2
प्रथम चार पद: -1.25, -1.5, -1.75, -2
(i) 3, 1, -1, -3, ...
हल: d₁ = 1 - 3 = -2, d₂ = -1 - 1 = -2, d₃ = -3 - (-1) = -2
सार्व अंतर d = -2 है, अतः यह A.P. है।
अगले तीन पद: a₅ = -5, a₆ = -7, a₇ = -9
(ii) 2, ⁵⁄₂, 3, ⁷⁄₂, ...
हल: d₁ = ⁵⁄₂ - 2 = ½, d₂ = 3 - ⁵⁄₂ = ½, d₃ = ⁷⁄₂ - 3 = ½
सार्व अंतर d = ½ है, अतः यह A.P. है।
अगले तीन पद: a₅ = 4, a₆ = ⁹⁄₂, a₇ = 5
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ...
हल: d₁ = -3.2 - (-1.2) = -2, d₂ = -5.2 - (-3.2) = -2, d₃ = -7.2 - (-5.2) = -2
सार्व अंतर d = -2 है, अतः यह A.P. है।
अगले तीन पद: a₅ = -9.2, a₆ = -11.2, a₇ = -13.2
(iv) -10, -6, -2, 2, ...
हल: d₁ = -6 - (-10) = 4, d₂ = -2 - (-6) = 4, d₃ = 2 - (-2) = 4
सार्व अंतर d = 4 है, अतः यह A.P. है।
अगले तीन पद: a₅ = 6, a₆ = 10, a₇ = 14
| a | d | n | aₙ |
|---|---|---|---|
| 7 | 3 | 8 | 28 |
| -18 | 2 | 10 | 0 |
| 46 | -3 | 18 | -5 |
| -18.9 | 2.5 | 10 | 3.6 |
| 3.5 | 0 | 105 | 3.5 |
(i) A.P.: 10, 7, 4, ... का 30 वाँ पद है:
हल: a = 10, d = -3
a₃₀ = a + 29d = 10 + 29 × (-3) = 10 - 87 = -77
सही उत्तर: (C) -77
(ii) A.P.: -3, -½, 2, ... का 11 वाँ पद है:
हल: a = -3, d = 5/2
a₁₁ = a + 10d = -3 + 10 × (5/2) = -3 + 25 = 22
सही उत्तर: (B) 22
(i) 2, ▢, 26
हल: माना रिक्त पद x है।
चूँकि यह A.P. है, इसलिए x - 2 = 26 - x
2x = 28 ⇒ x = 14
अतः A.P.: 2, 14, 26
(ii) ▢, 13, ▢, 3
हल: माना प्रथम पद a और तीसरा पद a₃ है।
a₂ = a + d = 13 ...(1)
a₄ = a + 3d = 3 ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 2d = -10 ⇒ d = -5
d का मान (1) में रखने पर: a - 5 = 13 ⇒ a = 18
a₃ = a + 2d = 18 + 2 × (-5) = 8
अतः A.P.: 18, 13, 8, 3
हल: a = 3, d = 5, aₙ = 78
aₙ = a + (n - 1)d
78 = 3 + (n - 1)5
75 = (n - 1)5 ⇒ n - 1 = 15 ⇒ n = 16
अतः 16 वाँ पद 78 है।
(i) 7, 13, 19, ..., 205
हल: a = 7, d = 6, aₙ = 205
205 = 7 + (n - 1)6
198 = (n - 1)6 ⇒ n - 1 = 33 ⇒ n = 34
इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं।
(ii) 18, 15½, 13, ..., -47
हल: a = 18, d = -⁵⁄₂, aₙ = -47
-47 = 18 + (n - 1)(-⁵⁄₂)
-65 = (n - 1)(-⁵⁄₂) ⇒ n - 1 = 26 ⇒ n = 27
इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं।
हल: a = 11, d = -3, माना aₙ = -150
-150 = 11 + (n - 1)(-3)
-161 = (n - 1)(-3) ⇒ n - 1 = 161/3 ≈ 53.67
n = 54.67, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः -150 दी गई A.P. का पद नहीं है।
हल: a₁₁ = a + 10d = 38 ...(1)
a₁₆ = a + 15d = 73 ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 5d = 35 ⇒ d = 7
d का मान (1) में रखने पर: a + 70 = 38 ⇒ a = -32
a₃₁ = a + 30d = -32 + 30 × 7 = -32 + 210 = 178
अतः 31 वाँ पद 178 है।
हल: a₃ = a + 2d = 12 ...(1)
a₅₀ = a + 49d = 106 ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 47d = 94 ⇒ d = 2
d का मान (1) में रखने पर: a + 4 = 12 ⇒ a = 8
a₂₉ = a + 28d = 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अतः 29 वाँ पद 64 है।
हल: a₃ = a + 2d = 4 ...(1)
a₉ = a + 8d = -8 ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 6d = -12 ⇒ d = -2
d का मान (1) में रखने पर: a - 4 = 4 ⇒ a = 8
माना n वाँ पद शून्य है: aₙ = a + (n - 1)d = 0
8 + (n - 1)(-2) = 0 ⇒ -2(n - 1) = -8 ⇒ n - 1 = 4 ⇒ n = 5
अतः 5 वाँ पद शून्य होगा।
हल: a₁₇ - a₁₀ = 7
[a + 16d] - [a + 9d] = 7
7d = 7 ⇒ d = 1
सार्व अंतर = 1
हल: a = 3, d = 12
a₅₄ = a + 53d = 3 + 53 × 12 = 3 + 636 = 639
वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक है = 639 + 132 = 771
माना वह n वाँ पद है: aₙ = a + (n - 1)d = 771
3 + (n - 1)12 = 771 ⇒ (n - 1)12 = 768 ⇒ n - 1 = 64 ⇒ n = 65
अतः 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक है।
हल: माना पहली A.P. का प्रथम पद = a, दूसरी A.P. का प्रथम पद = a', सार्व अंतर = d
दिया है: (a + 99d) - (a' + 99d) = 100 ⇒ a - a' = 100
अब, 1000 वें पदों का अंतर = (a + 999d) - (a' + 999d) = a - a' = 100
अतः 1000 वें पदों का अंतर भी 100 होगा।
हल: तीन अंकों की 7 से विभाज्य संख्याएँ: 105, 112, 119, ..., 994
यह एक A.P. है जहाँ a = 105, d = 7, aₙ = 994
994 = 105 + (n - 1)7
889 = (n - 1)7 ⇒ n - 1 = 127 ⇒ n = 128
अतः तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य 128 संख्याएँ हैं।
हल: 10 और 250 के बीच 4 के गुणज: 12, 16, 20, ..., 248
यह एक A.P. है जहाँ a = 12, d = 4, aₙ = 248
248 = 12 + (n - 1)4
236 = (n - 1)4 ⇒ n - 1 = 59 ⇒ n = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।
हल: पहली A.P.: a = 63, d = 2 ⇒ aₙ = 63 + (n - 1)2 = 61 + 2n
दूसरी A.P.: a = 3, d = 7 ⇒ aₙ = 3 + (n - 1)7 = 7n - 4
चूँकि n वें पद बराबर हैं: 61 + 2n = 7n - 4
65 = 5n ⇒ n = 13
अतः दोनों A.P. का 13 वाँ पद बराबर होगा।
हल: a₃ = a + 2d = 16 ...(1)
a₇ - a₅ = 12 ⇒ [a + 6d] - [a + 4d] = 12 ⇒ 2d = 12 ⇒ d = 6
d का मान (1) में रखने पर: a + 12 = 16 ⇒ a = 4
अतः A.P.: 4, 10, 16, 22, ...
हल: दी गई A.P. का अंतिम पद = 253, सार्व अंतर d = 5
अंतिम पद से गिनती करने पर, प्रथम पद a = 253 और सार्व अंतर d = -5
a₂₀ = a + 19d = 253 + 19 × (-5) = 253 - 95 = 158
अतः अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है।
हल: a₄ + a₈ = 24 ⇒ (a + 3d) + (a + 7d) = 24 ⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12 ...(1)
a₆ + a₁₀ = 44 ⇒ (a + 5d) + (a + 9d) = 44 ⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22 ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 2d = 10 ⇒ d = 5
d का मान (1) में रखने पर: a + 25 = 12 ⇒ a = -13
अतः A.P. के प्रथम तीन पद: -13, -8, -3
हल: वेतनों की श्रृंखला एक A.P. है: 5000, 5200, 5400, ..., 7000
a = 5000, d = 200, aₙ = 7000
7000 = 5000 + (n - 1)200
2000 = (n - 1)200 ⇒ n - 1 = 10 ⇒ n = 11
11 वर्ष बाद, अर्थात 1995 + 11 = 2006 में उसका वेतन ₹7000 हो जाएगा।
हल: बचतों की श्रृंखला एक A.P. है: 5, 6.75, 8.50, ..., 20.75
a = 5, d = 1.75, aₙ = 20.75
20.75 = 5 + (n - 1)1.75
15.75 = (n - 1)1.75 ⇒ n - 1 = 9 ⇒ n = 10
अतः 10 वें सप्ताह में उसकी बचत ₹20.75 होगी।
(i) 2, 7, 12, ..., 10 पदों तक
हल: a = 2, d = 5, n = 10
S₁₀ = n/2 [2a + (n - 1)d] = 10/2 [4 + 9 × 5] = 5 × 49 = 245
(ii) -37, -33, -29, ..., 12 पदों तक
हल: a = -37, d = 4, n = 12
S₁₂ = 12/2 [-74 + 11 × 4] = 6 × (-30) = -180
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ..., 100 पदों तक
हल: a = 0.6, d = 1.1, n = 100
S₁₀₀ = 100/2 [1.2 + 99 × 1.1] = 50 × 110.1 = 5505
(iv) ¹⁄₁₅, ¹⁄₁₂, ¹⁄₁₀, ..., 11 पदों तक
हल: a = ¹⁄₁₅, d = ¹⁄₁₂ - ¹⁄₁₅ = ¹⁄₆₀, n = 11
S₁₁ = 11/2 [²⁄₁₅ + 10 × ¹⁄₆₀] = 11/2 [²⁄₁₅ + ¹⁄₆] = 11/2 × ³⁄₁₀ = ³³⁄₂₀
(i) 7 + 10½ + 14 + ... + 84
हल: a = 7, d = 3.5, aₙ = 84
84 = 7 + (n - 1)3.5 ⇒ n = 23
S₂₃ = 23/2 [14 + 22 × 3.5] = 23/2 × 91 = 2093/2 = 1046.5
(ii) 34 + 32 + 30 + ... + 10
हल: a = 34, d = -2, aₙ = 10
10 = 34 + (n - 1)(-2) ⇒ n = 13
S₁₃ = 13/2 [68 + 12 × (-2)] = 13/2 × 44 = 286
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ... + (-230)
हल: a = -5, d = -3, aₙ = -230
-230 = -5 + (n - 1)(-3) ⇒ n = 76
S₇₆ = 76/2 [-10 + 75 × (-3)] = 38 × (-235) = -8930
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