UP Board Class 10 Maths (13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) solution PDF

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UP Board Class 10 Maths 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Hindi Medium Solutions - PDF

UP Board Solutions for Class 10 Maths

13. पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्नावली 13.1 जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए |

01. दो घनों, जिनमे से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के सलंग्र फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है | इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³ है।
घन की भुजा = ∛64 = 4 cm
दो घनों को सटाकर रखने पर बने घनाभ की विमाएँ होंगी:
लंबाई (l) = 4 + 4 = 8 cm
चौड़ाई (b) = 4 cm
ऊँचाई (h) = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(8×4 + 4×4 + 8×4)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2 × 80
= 160 cm²
अतः प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 cm² है।

02. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है | अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है | इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

अर्धगोले का व्यास = 14 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 14/2 = 7 cm
बर्तन की कुल ऊँचाई = 13 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = कुल ऊँचाई – अर्धगोले की त्रिज्या
h = 13 – 7 = 6 cm
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr(h + r)
= 2 × (22/7) × 7 × (6 + 7)
= 44 × 13
= 572 cm²
अतः बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल 572 cm² है।

03. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले पर अध्यारोपित है | इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है | इस खिलोने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = 15.5 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = कुल ऊँचाई – अर्धगोले की त्रिज्या
h = 15.5 – 3.5 = 12 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
l = √((3.5)² + (12)²)
l = √(12.25 + 144)
l = √156.25 = 12.5 cm
खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl + 2πr²
= πr(l + 2r)
= (22/7) × 3.5 × (12.5 + 2×3.5)
= (22/7) × 3.5 × (12.5 + 7)
= (22/7) × 3.5 × 19.5
= 22 × 0.5 × 19.5
= 11 × 19.5
= 214.5 cm²
अतः खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 214.5 cm² है।

04. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लाक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है | अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

घनाकार ब्लॉक की भुजा (a) = 7 cm
अर्धगोले का अधिकतम व्यास, घन की भुजा के बराबर हो सकता है।
अतः अर्धगोले का व्यास = 7 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 7/2 = 3.5 cm
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्धगोले के आधार (वृत्त) का क्षेत्रफल
= 6a² + 2πr² – πr²
= 6a² + πr²
= 6×(7)² + (22/7)×(3.5)²
= 6×49 + (22/7)×12.25
= 294 + (22×1.75)
= 294 + 38.5
= 332.5 cm²
अतः ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 332.5 cm² है।

05. एक घनाकार ब्लाक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ड़ा इस प्रकार बनाया गया है की अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है | शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

माना घन की भुजा = l इकाई
अर्धगोले का व्यास = l इकाई (दिया है)
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = l/2 इकाई
शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्धगोले के आधार (वृत्त) का क्षेत्रफल
= 6l² + 2πr² – πr²
= 6l² + πr²
= 6l² + π(l/2)²
= 6l² + (πl²)/4
= (24l² + πl²)/4
= l²(24 + π)/4 वर्ग इकाई
यही शेष ठोस का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल है।

06. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक - एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति 13.10) | पुरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

कैप्सूल का व्यास = 5 mm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 5/2 = 2.5 mm
बेलन की त्रिज्या (r) = 2.5 mm
कैप्सूल की कुल लंबाई = 14 mm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = कुल लंबाई – दोनों अर्धगोलों की त्रिज्याओं का योग
h = 14 – (2.5 + 2.5) = 14 – 5 = 9 mm
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 2 × (2πr²)
= 2πrh + 4πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 × (22/7) × 2.5 × (9 + 2×2.5)
= (110/7) × (9 + 5)
= (110/7) × 14
= 110 × 2
= 220 mm²
अतः कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल 220 mm² है।

07. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु आध्यारोपित है | यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | साथ ही, 500 रू प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए | (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है |)

हल:

बेलनाकार भाग का व्यास = 4 m
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = 4/2 = 2 m
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 2.1 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m
तंबू में प्रयुक्त कैनवस का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + πrl
= πr(2h + l)
= (22/7) × 2 × (2×2.1 + 2.8)
= (44/7) × (4.2 + 2.8)
= (44/7) × 7
= 44 m²
कैनवस की लागत = 44 × 500 = ₹ 22,000
अतः कैनवस का क्षेत्रफल 44 m² तथा इसकी लागत ₹ 22,000 है।

08. ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है |शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

बेलन की ऊँचाई (H) = 2.4 cm
बेलन का व्यास = 1.4 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = 1.4/2 = 0.7 cm
काटे गए शंकु की ऊँचाई (h) = 2.4 cm
शंकु की त्रिज्या (r) = 0.7 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
l = √((0.7)² + (2.4)²)
l = √(0.49 + 5.76)
l = √6.25 = 2.5 cm
शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के ऊपरी आधार (वृत्त) का क्षेत्रफल
= 2πrH + πrl + πr²
= πr(2H + l + r)
= (22/7) × 0.7 × (2×2.4 + 2.5 + 0.7)
= (22/7) × 0.7 × (4.8 + 2.5 + 0.7)
= (22/7) × 0.7 × 8.0
= 22 × 0.1 × 8.0
= 17.6 cm²
निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 cm²
अतः शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 18 cm² है।

09. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति 13.11 में दर्शाया गया है | यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल:

बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 2 × (2πr²)
= 2πrh + 4πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 × (22/7) × 3.5 × (10 + 2×3.5)
= 2 × (22/7) × 3.5 × (10 + 7)
= 2 × (22/7) × 3.5 × 17
= 2 × 22 × 0.5 × 17
= 2 × 11 × 17
= 374 cm²
अतः वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 cm² है।

प्रश्नावली 13.2 (जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए |)

01. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए |

हल:

शंकु की त्रिज्या (r) = 1 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = त्रिज्या = 1 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 1 cm
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= (1/3)πr²h + (2/3)πr³
= (1/3)πr²(h + 2r)
= (1/3)π × (1)² × (1 + 2×1)
= (1/3)π × 1 × (1 + 2)
= (1/3)π × 3
= π cm³
अतः ठोस का आयतन π cm³ है।

02. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों | इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है | यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए| (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर है |)

हल:

मॉडल का व्यास = 3 cm
त्रिज्या (r) = 3/2 = 1.5 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h₁) = 2 cm
मॉडल की कुल लंबाई = 12 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₂) = कुल लंबाई – दोनों शंकुओं की ऊँचाई
h₂ = 12 – (2 + 2) = 8 cm
मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन = 2 × (शंकु का आयतन) + बेलन का आयतन
= 2 × [(1/3)πr²h₁] + πr²h₂
= πr² [ (2/3)h₁ + h₂ ]
= π × (1.5)² × [ (2/3)×2 + 8 ]
= π × 2.25 × [ (4/3) + 8 ]
= π × 2.25 × [ (4 + 24)/3 ]
= π × 2.25 × (28/3)
= π × 2.25 × (28/3)
= π × 0.75 × 28
= π × 21
= 21π cm³
π = 22/7 रखने पर, आयतन = 21 × (22/7) = 66 cm³
अतः मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन 66 cm³ है।

03. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है | 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है ( देखिए आकृति 13.15) |

हल:

एक गुलाबजामुन का व्यास = 2.8 cm
त्रिज्या (r) = 2.8/2 = 1.4 cm
गुलाबजामुन की कुल लंबाई = 5 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = कुल लंबाई – दोनों अर्धगोलों की त्रिज्याओं का योग
h = 5 – (1.4 + 1.4) = 5 – 2.8 = 2.2 cm
एक गुलाबजामुन का आयतन = बेलन का आयतन + दो अर्धगोलों का आयतन
= πr²h + (4/3)πr³
= πr² [ h + (4/3)r ]
= (22/7) × (1.4)² × [ 2.2 + (4/3)×1.4 ]
= (22/7) × 1.96 × [ 2.2 + (5.6/3) ]
= (22/7) × 1.96 × [ 2.2 + 1.866... ]
= (22/7) × 1.96 × 4.066...
गणना करने पर, एक गुलाबजामुन का आयतन ≈ 25.05 cm³ (लगभग)
45 गुलाबजामुनों का कुल आयतन = 45 × 25.05 ≈ 1127.25 cm³
चाशनी का आयतन = कुल आयतन का 30%
= (30/100) × 1127.25
= 0.3 × 1127.25
= 338.175 cm³ (लगभग)
अतः 45 गुलाबजामुनों में चाशनी की मात्रा लगभग 338 cm³ है।

04. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्डे बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है | पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.16) |

हल:

घनाभ की लंबाई (l) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (b) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (h) = 3.5 cm
घनाभ का आयतन = l × b × h = 15 × 10 × 3.5 = 525 cm³
एक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
गड्ढे की गहराई (ऊँचाई) (h₁) = 1.4 cm
एक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = (1/3)πr²h₁
= (1/3) × (22/7) × (0.5)² × 1.4
= (1/3) × (22/7) × 0.25 × 1.4
= (1/3) × (22/7) × 0.35
= (1/3) × 1.1
= 0.3666... cm³ (लगभग)
चार गड्ढों का कुल आयतन = 4 × 0.3666 ≈ 1.4667 cm³
पूरे कमलदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – चार गड्ढों का आयतन
= 525 – 1.4667
= 523.5333 cm³ (लगभग)
अतः पूरे कमलदान में लकड़ी का आयतन लगभग 523.53 cm³ है।

05. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है | इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है ) की त्रिज्या 5 cm है | यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है | जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल:

शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (H) = 8 cm
बर्तन की त्रिज्या (R) = 5 cm
बर्तन (शंकु) का आयतन = (1/3)πR²H
= (1/3) × π × (5)² × 8
= (1/3) × π × 25 × 8
= (200π/3) cm³
बाहर निकले पानी का आयतन = बर्तन के आयतन का 1/4
= (1/4) × (200π/3)
= (50π/3) cm³
एक गोली (गोला) की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
एक गोली का आयतन = (4/3)πr³
= (4/3) × π × (0.5)³
= (4/3) × π × 0.125
= (0.5π/3) cm³
माना डाली गई गोलियों की संख्या = n
बाहर निकले पानी का आयतन = n गोलियों का आयतन
(50π/3) = n × (0.5π/3)
दोनों ओर π/3 से भाग देने पर:
50 = n × 0.5
n = 50 / 0.5
n = 100
अतः बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या 100 है।

06. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और व्यास 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है| (π = 3.14 लीजिए |)

हल:

बड़े बेलन (नीचे वाले) का व्यास = 24 cm
त्रिज्या (R) = 24/2 = 12 cm
ऊँचाई (H) = 220 cm
बड़े बेलन का आयतन = πR²H = 3.14 × (12)² × 220
= 3.14 × 144 × 220
= 3.14 × 31680
= 99475.2 cm³
छोटे बेलन (ऊपर वाले) का व्यास = 8 cm
त्रिज्या (r) = 8/2 = 4 cm
ऊँचाई (h) = 60 cm
छोटे बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 × (4)² × 60
= 3.14 × 16 × 60
= 3.14 × 960
= 3014.4 cm³
स्तंभ का कुल आयतन = बड़े बेलन का आयतन + छोटे बेलन का आयतन
= 99475.2 + 3014.4
= 102489.6 cm³
1 cm³ लोहे का द्रव्यमान = 8 g
स्तंभ का द्रव्यमान = 102489.6 × 8
= 819916.8 g
= (819916.8 / 1000) kg (चूँकि 1000 g = 1 kg)

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