UP Board Class 10 Maths (15. प्रायिकता) solution PDF

UP Board Class 10 Maths 15. प्रायिकता is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.

UP Board Class 10 Maths 15. प्रायिकता Hindi Medium Solutions - PDF

UP Board Solutions for Class 10 Maths

15. प्रायिकता

प्रायिकता 15.1

1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) किसी घटना की प्रायिकता........से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा.........से छोटी या उसके बराबर होती है |

हल: किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है |

2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन -किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए |

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है | कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है |

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबौल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है | वह बास्केट में बौल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है |

(iii) एक सत्य - असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है | उत्तर सही है या गलत होगा |

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है | वह एक लड़का है या एक लड़की है |

हल:
(i) यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है, क्योंकि कार के चलने या न चलने की संभावना समान नहीं होती। यह कार की तकनीकी स्थिति पर निर्भर करता है।
(ii) यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है, क्योंकि खिलाड़ी के बास्केट में बॉल डालने या न डालने की संभावना उसके कौशल, दूरी आदि पर निर्भर करती है।
(iii) यह प्रयोग समप्रायिक है, क्योंकि सही या गलत उत्तर का अनुमान लगाने के दो ही समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
(iv) यह प्रयोग समप्रायिक माना जाता है, क्योंकि एक बच्चे के लड़का या लड़की होने की संभावना लगभग समान होती है।

3. फुटबौल के खेल को प्रांरभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बौल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है ?

हल: सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए मानी जाती है क्योंकि इसमें केवल दो समप्रायिक परिणाम होते हैं – चित (Head) या पट (Tail)। प्रत्येक टीम के लिए पहले बॉल लेने की प्रायिकता समान, यानी 1/2 होती है। इस प्रकार यह विधि पूरी तरह से यादृच्छिक और निष्पक्ष है।

4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) 2/3 (B) -1.5 (C) 15% (D) 0.7

हल: हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच होता है।
(A) 2/3 ≈ 0.67, यह 0 और 1 के बीच है।
(B) -1.5, यह 0 से कम है। अतः यह प्रायिकता नहीं हो सकती।
(C) 15% = 15/100 = 0.15, यह 0 और 1 के बीच है।
(D) 0.7, यह 0 और 1 के बीच है।
अतः विकल्प (B) -1.5 किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।

5. यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' कि प्रायिकता क्या है ?

हल: दिया है, P(E) = 0.05
हम जानते हैं, P(E) + P(E नहीं) = 1
इसलिए, P(E नहीं) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95

6. एक थैले में केवल नींबू कि महक वाली मीठी गोलियाँ हैं | मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे कि महक वाली है ?
(ii) नींबू कि महक वाली है ?

हल: थैले में केवल नींबू की महक वाली गोलियाँ हैं।
(i) संतरे की महक वाली गोलियों की संख्या = 0
कुल गोलियाँ = मान लीजिए 'n'
प्रायिकता (संतरे की महक) = 0/n = 0
(ii) नींबू की महक वाली गोलियों की संख्या = n
प्रायिकता (नींबू की महक) = n/n = 1

7. यह दिया हुआ है कि 3 विधार्थियों के एक समूह में से 2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने कि प्रायिकता 0.9992 है | इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विधार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?

हल: मान लीजिए घटना E: 'दो विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन न हो'
दिया है: P(E) = 0.9992
हमें घटना 'E नहीं' अर्थात 'दो विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो' की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
P(E नहीं) = 1 – P(E) = 1 – 0.9992 = 0.0008
अतः, दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.0008 है।

8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं | इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है| इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो
(ii) लाल नहीं हो ?

हल: थैले में कुल गेंदें = 3 लाल + 5 काली = 8 गेंदें
(i) लाल गेंद निकलने की प्रायिकता = (लाल गेंदों की संख्या) / (कुल गेंदें) = 3/8
(ii) लाल नहीं होने का अर्थ है काली गेंद।
काली गेंद निकलने की प्रायिकता = (काली गेंदों की संख्या) / (कुल गेंदें) = 5/8
या, P(लाल नहीं) = 1 – P(लाल) = 1 – (3/8) = 5/8

9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं | इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी प्रायिकता क्या है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है ?
(iii) हरा नहीं है ?

हल: डिब्बे में कुल कंचे = 5 लाल + 8 सफेद + 4 हरे = 17 कंचे
(i) P(लाल कंचा) = 5/17
(ii) P(सफेद कंचा) = 8/17
(iii) 'हरा नहीं' का अर्थ है लाल या सफेद कंचा।
लाल या सफेद कंचों की संख्या = 5 + 8 = 13
P(हरा नहीं) = 13/17
या, P(हरा नहीं) = 1 – P(हरा) = 1 – (4/17) = 13/17

10. एक पिग्गी बैंक में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, 1 रू के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के और 5 रू के दस सिक्के हैं | यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा ?
(ii) 5 रू का नहीं होगा ?

हल: पहले कुल सिक्कों की संख्या ज्ञात करते हैं:
50 पैसे के सिक्के = 100
1 रुपये के सिक्के = 50
2 रुपये के सिक्के = 20
5 रुपये के सिक्के = 10
कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
(i) P(50 पैसे का सिक्का) = 100/180 = 5/9
(ii) '5 रुपये का नहीं' का अर्थ है 50 पैसे, 1 रुपये या 2 रुपये का सिक्का।
ऐसे सिक्कों की संख्या = 100 + 50 + 20 = 170
P(5 रुपये का नहीं) = 170/180 = 17/18
या, P(5 रुपये का नहीं) = 1 – P(5 रुपये का) = 1 – (10/180) = 1 – (1/18) = 17/18

11. गोपी अपने जल - जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है | दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है | इसकी प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?

हल: टंकी में कुल मछलियाँ = 5 नर + 8 मादा = 13 मछलियाँ
नर मछली निकलने की प्रायिकता = (नर मछलियों की संख्या) / (कुल मछलियाँ) = 5/13

12. संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7, और 8 को अलग-अलग कार्डों पर लिखकर एक डिब्बे में रख दिया जाता है | एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है | यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए कार्ड पर
(i) 8 अंकित होगा ?
(ii) एक विषम संख्या अंकित होगी ?
(iii) 2 से बड़ी संख्या अंकित होगी ?
(iv) 9 से छोटी संख्या अंकित होगी ?

हल: कुल संभावित परिणाम (कार्ड) = 8 (1 से 8 तक)
(i) केवल एक कार्ड पर 8 है।
P(8 अंकित) = 1/8
(ii) विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, 7 → कुल 4
P(विषम संख्या) = 4/8 = 1/2
(iii) 2 से बड़ी संख्याएँ: 3, 4, 5, 6, 7, 8 → कुल 6
P(2 से बड़ी संख्या) = 6/8 = 3/4
(iv) 9 से छोटी संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 → सभी 8 संख्याएँ
P(9 से छोटी संख्या) = 8/8 = 1

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या

हल: एक पासे पर 1 से 6 तक के अंक होते हैं। कुल संभावित परिणाम = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5 → कुल 3
P(अभाज्य संख्या) = 3/6 = 1/2
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ: 3, 4, 5 → कुल 3
P(2 और 6 के बीच) = 3/6 = 1/2
(iii) विषम संख्याएँ: 1, 3, 5 → कुल 3
P(विषम संख्या) = 3/6 = 1/2

14. 52 पत्तों कि अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकला जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात्‌ तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट कि बेगम

हल: ताश की गड्डी में कुल पत्ते = 52
(i) लाल रंग के बादशाह: हुकुम का बादशाह और पान का बादशाह → कुल 2
P(लाल बादशाह) = 2/52 = 1/26
(ii) फेस कार्ड (तस्वीर वाले पत्ते): गुलाम, बेगम, बादशाह। प्रत्येक रंग के 3 फेस कार्ड होते हैं। चार रंग हैं, अतः कुल फेस कार्ड = 4 × 3 = 12
P(फेस कार्ड) = 12/52 = 3/13
(iii) लाल रंग के तस्वीर वाले पत्ते: लाल रंग हैं हुकुम और पान। प्रत्येक में 3 फेस कार्ड (गुलाम, बेगम, बादशाह) होते हैं।
कुल लाल फेस कार्ड = 3 (हुकुम) + 3 (पान) = 6
P(लाल फेस कार्ड) = 6/52 = 3/26
(iv) पान का गुलाम: केवल 1 ही पत्ता होता है।
P(पान का गुलाम) = 1/52
(v) हुकुम का पत्ता: हुकुम के कुल 13 पत्ते होते हैं।
P(हुकुम का पत्ता) = 13/52 = 1/4
(vi) ईंट की बेगम: केवल 1 ही पत्ता होता है।
P(ईंट की बेगम) = 1/52

15. ताश के पाँच पत्तों - ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का - को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है | फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है |
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता
(a) एक इक्का है?
(b) एक बेगम है ?

हल: कुल पत्ते = 5 (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का)
(i) बेगम केवल 1 पत्ता है।
P(बेगम) = 1/5
(ii) बेगम निकालकर अलग रख दी जाती है। अब शेष पत्ते = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) इक्का केवल 1 पत्ता है।
P(इक्का) = 1/4
(b) अब शेष पत्तों में बेगम नहीं है (0 बेगम)।
P(बेगम) = 0/4 = 0

16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं | केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है | इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है | निकाले गए पेन कि अच्छा होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए |

हल: कुल पेन = अच्छे पेन + खराब पेन = 132 + 12 = 144
अच्छे पेनों की संख्या = 132
P(अच्छा पेन) = 132/144 = 11/12

17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा डाला जाता है | अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं है ?

हल:
(i) कुल बल्ब = 20, खराब बल्ब = 4
P(खराब बल्ब) = 4/20 = 1/5
(ii) पहला निकाला गया बल्ब खराब नहीं है, अर्थात वह अच्छा था। उसे वापस नहीं रखा जाता।
प्रारंभ में अच्छे बल्ब = 20 - 4 = 16
पहला अच्छा बल्ब निकल गया, तो शेष बल्ब = 20 - 1 = 19
शेष अच्छे बल्ब = 16 - 1 = 15
अब, दूसरा बल्ब निकालने पर,
P(बल्ब खराब नहीं है) = P(अच्छा बल्ब) = (शेष अच्छे बल्ब)/(शेष कुल बल्ब) = 15/19

18. एक पेटी में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं | यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों कि एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |

हल: कुल संख्याएँ (परिणाम) = 90 (1 से 90 तक)
(i) दो अंकों की संख्याएँ: 10 से 90 तक → कुल 90 - 9 = 81 संख्याएँ
P(दो अंकों की संख्या) = 81/90 = 9/10
(ii) 1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 → कुल 9 संख्याएँ
P(पूर्ण वर्ग) = 9/90 = 1/10
(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ: 5, 10, 15, ..., 90
यह एक समांतर श्रेणी है: पहला पद a=5, सार्व अंतर d=5, अंतिम पद=90
पदों की संख्या n = (अंतिम पद - प्रथम पद)/d + 1 = (90-5)/5 + 1 = 85/5 + 1 = 17 + 1 = 18
P(5 से विभाज्य) = 18/90 = 1/5

19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है :
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो ?
(ii) D प्राप्त हो ?

हल: पासे के 6 फलक हैं, जिन पर अक्षर इस प्रकार हैं: A, B, C, D, E, A
कुल संभावित परिणाम = 6
(i) अक्षर A दो फलकों पर है।
P(A) = 2/6 = 1/3
(ii) अक्षर D केवल एक फलक पर है।
P(D) = 1/6

20. मान लीजिये आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?

हल: यह एक ज्यामितीय प्रायिकता का प्रश्न है।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 3m × 2m = 6 वर्ग मीटर
वृत्त का व्यास = 1m, त्रिज्या r = 0.5m
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × (0.5)² = π × 0.25 = 0.25π वर्ग मीटर
पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता = (वृत्त का क्षेत्रफल) / (आयत का क्षेत्रफल)
= (0.25π) / 6 = π / 24
अतः अभीष्ट प्रायिकता = π/24

21. 144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं | आप वाही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे | दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?

हल: कुल पेन = 144, खराब पेन = 20
अच्छे पेन = 144 - 20 = 124
(i) आप पेन तभी खरीदेंगे जब वह अच्छा हो।
P(आप खरीदेंगे) = P(अच्छा पेन) = 124/144 = 31/36
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे यदि वह खराब है।
P(आप नहीं खरीदेंगे) = P(खराब पेन) = 20/144 = 5/36
या, P(नहीं खरीदेंगे) = 1 - P(खरीदेंगे) = 1 - (31/36) = 5/36

22. उदाहरण 13 को देखिए | (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

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घटना: दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
प्रायिकता	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

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