UP Board Class 10 Maths 9. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 मीटर लंबी डोरी पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी हुई है। यदि भूमि स्तर के साथ डोरी द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खंभे की ऊँचाई \( h \) मीटर है।
डोरी की लंबाई, \( AC = 20 \) मीटर
कोण, \( \angle ACB = 30^\circ \)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \sin 30^\circ = \frac{AB}{AC} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{h}{20} \)
\( h = \frac{20}{2} = 10 \)
अतः खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है।
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेड़ बिंदु B से टूटा है।
मूल पेड़ की ऊँचाई = \( AB + BC \)
दिया है: \( BC = 8 \) मीटर, \( \angle ACB = 30^\circ \)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \cos 30^\circ = \frac{BC}{AC} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AC} \)
\( AC = \frac{16}{\sqrt{3}} \) मीटर
पुनः, \( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{8} \)
\( AB = \frac{8}{\sqrt{3}} \) मीटर
पेड़ की कुल ऊँचाई = \( AB + AC = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयीकरण करने पर:
\( \frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \) मीटर
अतः पेड़ की ऊँचाई \( 8\sqrt{3} \) मीटर है।
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मीटर की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मीटर की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
हल:
स्थिति I (छोटे बच्चों के लिए):
माना फिसलनपट्टी की लंबाई \( AC \) है।
\( AB = 1.5 \) मीटर, \( \angle ACB = 30^\circ \)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \sin 30^\circ = \frac{AB}{AC} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{1.5}{AC} \)
\( AC = 3 \) मीटर
स्थिति II (बड़े बच्चों के लिए):
माना फिसलनपट्टी की लंबाई \( PR \) है।
\( PQ = 3 \) मीटर, \( \angle PRQ = 60^\circ \)
समकोण \( \triangle PQR \) में:
\( \sin 60^\circ = \frac{PQ}{PR} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{PR} \)
\( PR = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) मीटर
अतः छोटी फिसलनपट्टी की लंबाई 3 मीटर तथा बड़ी फिसलनपट्टी की लंबाई \( 2\sqrt{3} \) मीटर होनी चाहिए।
भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार \( AB \) की ऊँचाई \( h \) मीटर है।
बिंदु C से मीनार के पाद B की दूरी \( BC = 30 \) मीटर
\( \angle ACB = 30^\circ \)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30} \)
\( h = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई \( 10\sqrt{3} \) मीटर है।
भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना डोरी की लंबाई \( AC \) है।
पतंग की ऊँचाई \( AB = 60 \) मीटर
\( \angle ACB = 60^\circ \)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \sin 60^\circ = \frac{AB}{AC} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{AC} \)
\( AC = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3} \) मीटर
अतः डोरी की लंबाई \( 40\sqrt{3} \) मीटर है।
1.5 मीटर लंबा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
हल:
लड़के की ऊँचाई = 1.5 मीटर
लड़के की ऊँचाई को छोड़कर भवन की ऊँचाई \( AB = 30 - 1.5 = 28.5 \) मीटर
माना लड़का \( x \) मीटर चलकर बिंदु D से C पर आता है।
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{28.5}{BC} \)
\( BC = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \) ...(1)
समकोण \( \triangle ABD \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{AB}{BC + CD} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{28.5}{\frac{28.5}{\sqrt{3}} + x} \)
हल करने पर: \( x = 19\sqrt{3} \) मीटर
अतः लड़का भवन की ओर \( 19\sqrt{3} \) मीटर चला।
भूमि के एक बिंदु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संचार मीनार की ऊँचाई \( AD = h \) मीटर।
भवन की ऊँचाई \( DC = 20 \) मीटर
माना भूमि पर बिंदु B है।
समकोण \( \triangle BCD \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{DC}{BC} \)
\( 1 = \frac{20}{BC} \)
\( BC = 20 \) मीटर ...(1)
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AC}{BC} = \frac{20 + h}{20} \)
\( \sqrt{3} = \frac{20 + h}{20} \)
\( 20\sqrt{3} = 20 + h \)
\( h = 20(\sqrt{3} - 1) \) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई \( 20(\sqrt{3} - 1) \) मीटर है।
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेडस्टल की ऊँचाई \( BC = h \) मीटर है।
मूर्ति की ऊँचाई \( CD = 1.6 \) मीटर
माना भूमि पर बिंदु A है।
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{BC}{AB} \)
\( 1 = \frac{h}{AB} \)
\( AB = h \) ...(1)
समकोण \( \triangle ABD \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{h + 1.6}{h} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h + 1.6}{h} \)
\( h\sqrt{3} = h + 1.6 \)
\( h(\sqrt{3} - 1) = 1.6 \)
\( h = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1} \)
हर का परिमेयीकरण करने पर:
\( h = 0.8(\sqrt{3} + 1) \) मीटर
अतः पेडस्टल की ऊँचाई \( 0.8(\sqrt{3} + 1) \) मीटर है।
एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भवन की ऊँचाई \( CD = h \) मीटर है।
मीनार की ऊँचाई \( AB = 50 \) मीटर
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{50}{BC} \)
\( BC = \frac{50}{\sqrt{3}} \) ...(1)
समकोण \( \triangle BCD \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{CD}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{50}{\sqrt{3}}} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{50} \)
\( 3h = 50 \)
\( h = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \) मीटर
अतः भवन की ऊँचाई \( 16\frac{2}{3} \) मीटर है।
एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खंभों की ऊँचाई \( h \) मीटर है।
माना सड़क पर बिंदु C है।
बिंदु C से एक खंभे की दूरी \( BC = x \) मीटर, तो दूसरे खंभे की दूरी \( CD = (80 - x) \) मीटर।
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( h = x\sqrt{3} \) ...(1)
समकोण \( \triangle CDE \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{DE}{CD} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{80 - x} \)
\( 80 - x = h\sqrt{3} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( h \) का मान (2) में रखने पर:
\( 80 - x = (x\sqrt{3})\sqrt{3} = 3x \)
\( 80 = 4x \)
\( x = 20 \) मीटर
\( h = 20\sqrt{3} \) मीटर
अतः खंभों की ऊँचाई \( 20\sqrt{3} \) मीटर है।
बिंदु से एक खंभे की दूरी 20 मीटर तथा दूसरे खंभे की दूरी 60 मीटर है।
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टावर ऊर्ध्वाधर खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 मीटर दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना टावर \( AB \) की ऊँचाई \( h \) मीटर है।
नहर की चौड़ाई \( BC = x \) मीटर
दिया है: \( CD = 20 \) मीटर
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( h = x\sqrt{3} \) ...(1)
समकोण \( \triangle ABD \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{20 + x} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + x} \)
\( 20 + x = h\sqrt{3} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( h \) का मान (2) में रखने पर:
\( 20 + x = (x\sqrt{3})\sqrt{3} = 3x \)
\( 20 = 2x \)
\( x = 10 \) मीटर
\( h = 10\sqrt{3} \) मीटर
अतः टावर की ऊँचाई \( 10\sqrt{3} \) मीटर तथा नहर की चौड़ाई 10 मीटर है।
7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना टावर की ऊँचाई \( AB = h \) मीटर है।
भवन की ऊँचाई \( DE = 7 \) मीटर
\( DE = BC = 7 \) मीटर
\( AB = AE + BE = (h - 7) + 7 = h \)
समकोण \( \triangle EDC \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{ED}{DC} \)
\( 1 = \frac{7}{DC} \)
\( DC = 7 \) मीटर
अतः \( BE = 7 \) मीटर
समकोण \( \triangle ABE \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AE}{BE} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h - 7}{7} \)
\( h - 7 = 7\sqrt{3} \)
\( h = 7(\sqrt{3} + 1) \) मीटर
अतः टावर की ऊँचाई \( 7(\sqrt{3} + 1) \) मीटर है।
समुद्र-तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लाइट हाउस \( CD \) की ऊँचाई 75 मीटर है।
जहाज A और B हैं, जिनके अवनमन कोण क्रमशः 45° और 30° हैं।
चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है:
\( \angle DAC = 45^\circ \), \( \angle DBC = 30^\circ \)
समकोण \( \triangle ADC \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{DC}{AC} \)
\( 1 = \frac{75}{AC} \)
\( AC = 75 \) मीटर
समकोण \( \triangle BDC \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{DC}{BC} = \frac{75}{BA + AC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{75}{BA + 75} \)
\( BA + 75 = 75\sqrt{3} \)
\( BA = 75(\sqrt{3} - 1) \) मीटर
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( 75(\sqrt{3} - 1) \) मीटर है।
1.2 मीटर लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
लड़की की ऊँचाई = 1.2 मीटर
भूमि से गुब्बारे की ऊँचाई = 88.2 मीटर
लड़की की आँख से गुब्बारे की ऊँचाई \( AB = DE = 88.2 - 1.2 = 87 \) मीटर
माना गुब्बारे द्वारा तय दूरी \( BE = d \) मीटर है।
समकोण \( \triangle ABC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{87}{BC} \)
\( BC = \frac{87}{\sqrt{3}} \) ...(1)
समकोण \( \triangle DEC \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{DE}{EC} = \frac{87}{BC + d} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{87}{\frac{87}{\sqrt{3}} + d} \)
हल करने पर: \( d = 58\sqrt{3} \) मीटर
अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय दूरी \( 58\sqrt{3} \) मीटर है।
एक सीधे राजमार्ग पर एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाती है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई \( AB = h \) मीटर है।
माना कार को बिंदु C से मीनार के पाद B तक पहुँचने में \( t \) सेकंड लगते हैं।
कार की चाल समान है। माना प्रथम अवलोकन बिंदु D है।
दिया है: \( CD = 6 \) सेकंड में तय दूरी, \( CB = t \) सेकंड में तय दूरी।
समकोण \( \triangle ABD \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{6 + t} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{6 + t} \)
\( h = \frac{
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