UP Board Class 10 Maths 6. त्रिभुज is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 10 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
प्रश्न 1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं | (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं | (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं | (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत समानुपाती भुजाएँ हों | (बराबर, समानुपाती)
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ: सभी वृत्त, सभी वर्ग
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं: एक वृत्त और एक त्रिभुज, एक वर्ग और एक आयत
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :
आकृति में दो चतुर्भुज हैं। पहले चतुर्भुज की भुजाएँ 3 cm, 3 cm, 1.5 cm, 1.5 cm हैं। दूसरे चतुर्भुज की भुजाएँ 3 cm, 3 cm, 1.5 cm, 1.5 cm हैं। चूँकि संगत भुजाएँ समानुपाती (अनुपात 1:1) हैं और संगत कोण बराबर (प्रत्येक 90°) हैं, अतः दोनों चतुर्भुज समरूप हैं।
आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC है। EC ज्ञात कीजिए :
हल: (i) ∆ABC में, DE || BC दिया है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
AD/DB = AE/EC
1.5/3 = 1/EC
EC = (3 × 1) / 1.5 = 2 cm
उत्तर: EC = 2 cm
(ii) ∆ABC में, DE || BC दिया है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
AD/DB = AE/EC
2/4 = 1.5/EC
EC = (4 × 1.5) / 2 = 3 cm
उत्तर: EC = 3 cm
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है?
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm, FR = 2.4 cm
हल: PE/EQ = 3.9/3 = 1.3 और PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5
चूँकि PE/EQ ≠ PF/FR, अतः EF, QR के समांतर नहीं है।
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm, RF = 9 cm
हल: PE/EQ = 4/4.5 = 8/9 और PF/FR = 8/9
चूँकि PE/EQ = PF/FR, अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR है।
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, PF = 0.36 cm
हल: PE/PQ = 0.18/1.28 = 9/64 और PF/PR = 0.36/2.56 = 9/64
चूँकि PE/PQ = PF/PR, अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR है।
आकृति 6.18 में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD है।
हल: ∆ABC में, LM || CB (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
AM/AB = AL/AC ...(1)
∆ACD में, LN || CD (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
AN/AD = AL/AC ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
AM/AB = AN/AD (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.19 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC है।
हल: ∆ABC में, DE || AC (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
BD/DA = BE/EC ...(1)
∆ABE में, DF || AE (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
BD/DA = BF/FE ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
BF/FE = BE/EC (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.20 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
हल: ∆POQ में, DE || OQ (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
PE/EQ = PD/DO ...(1)
∆POR में, DF || OR (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
PF/FR = PD/DO ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
PE/EQ = PF/FR
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, ∆PQR में EF || QR है। (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.21 में OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।
हल: ∆OPQ में, AB || PQ (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
OA/AP = OB/BQ ...(1)
∆OPR में, AC || PR (दिया है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
OA/AP = OC/CR ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
OB/BQ = OC/CR
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, ∆OQR में BC || QR है। (सिद्ध हुआ)
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
हल: माना ∆ABC में, भुजा AB का मध्य-बिन्दु D है और DE || BC खींची गई है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) से,
AD/DB = AE/EC
चूँकि AD = DB (D मध्य-बिन्दु है),
1 = AE/EC
⇒ AE = EC
अतः E, भुजा AC का मध्य-बिन्दु है। (सिद्ध हुआ)
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
हल: माना ∆ABC में, D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करने पर,
AD/DB = AE/EC (क्योंकि AD=DB और AE=EC)
⇒ AD/DB = AE/EC = 1
अतः DE || BC है। (सिद्ध हुआ)
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।
हल: ∆ABD और ∆COD में,
∠ABO = ∠CDO (एकांतर कोण, क्योंकि AB || DC)
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से, ∆AOB ~ ∆COD
इसलिए, AO/CO = BO/DO
⇒ AO/BO = CO/DO (सिद्ध हुआ)
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
हल: दिया है: AO/BO = CO/DO
⇒ AO/CO = BO/DO ...(1)
∆AOB और ∆COD में,
AO/CO = BO/DO [(1) से]
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः SAS समरूपता कसौटी से, ∆AOB ~ ∆COD
इसलिए, ∠OAB = ∠OCD (संगत कोण)
परन्तु ये एकांतर कोण हैं। अतः AB || DC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD में AB || DC, अतः यह एक समलंब है। (सिद्ध हुआ)
बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
(i) ∆ABC और ∆PQR में,
∠A = ∠P = 60°, ∠B = ∠Q = 80°, ∠C = ∠R = 40°
AAA समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆PQR
(ii) ∆ABC और ∆QRP में,
AB/QR = BC/RP = CA/PQ = 1/2
SSS समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆QRP
(iii) दिए गए त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है।
(iv) दिए गए त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है।
(v) दिए गए त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है।
(vi) ∆ABC और ∆QRP में,
AB/QR = BC/RP = CA/PQ
SSS समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆QRP
आकृति 6.35 में, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल: ∠DOC + ∠BOC = 180° (रैखिक युग्म)
∠DOC + 125° = 180°
∠DOC = 55°
∆DOC में,
∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°
55° + 70° + ∠DCO = 180°
∠DCO = 55°
चूँकि ∆ODC ~ ∆OBA,
∠OAB = ∠DCO = 55° (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
उत्तर: ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°
समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि OA/OC = OB/OD है।
हल: ∆AOB और ∆COD में,
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण, AB || DC)
∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण, AB || DC)
AA समरूपता कसौटी से, ∆AOB ~ ∆COD
इसलिए, OA/OC = OB/OD (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ) (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.36 में, QR/QS = QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR है।
हल: ∆PQR में, ∠1 = ∠2 (दिया है)
⇒ PQ = PR ...(1) (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
दिया है: QR/QS = QT/PR
(1) से PR = PQ रखने पर,
QR/QS = QT/PQ ...(2)
∆PQS और ∆TQR में,
QR/QS = QT/PQ [(2) से]
∠PQS = ∠TQR (उभयनिष्ठ कोण)
SAS समरूपता कसौटी से, ∆PQS ~ ∆TQR (सिद्ध हुआ)
∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।
हल: ∆RPQ और ∆RTS में,
∠P = ∠RTS (दिया है)
∠PRQ = ∠TRS (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆RPQ ~ ∆RTS (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.37 में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।
हल: ∆ABE ≅ ∆ACD (दिया है)
⇒ AB = AC और AE = AD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
⇒ AB/AC = 1 और AE/AD = 1
⇒ AB/AC = AE/AD ...(1)
∆ADE और ∆ABC में,
AB/AC = AE/AD [(1) से]
∠DAE = ∠BAC (उभयनिष्ठ कोण)
SAS समरूपता कसौटी से, ∆ADE ~ ∆ABC (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.38 में, ∆ABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि:
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
हल:
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠ABD = ∠CBE (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠EAP = ∠DAB (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90°)
∠PCD = ∠BCE (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆PDC ~ ∆BEC
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB है।
हल: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠A = ∠C (सम्मुख कोण) ...(1)
AD || BC ⇒ ∠AEB = ∠CBF (एकांतर कोण) ...(2)
∆ABE और ∆CFB में,
∠A = ∠C [(1) से]
∠AEB = ∠CBF [(2) से]
AA समरूपता कसौटी से, ∆ABE ~ ∆CFB (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिसके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) CA/PA = BC/MP
हल:
(i) ∆ABC और ∆AMP में,
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠BAC = ∠MAP (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) चूँकि ∆ABC ~ ∆AMP,
∴ CA/PA = BC/MP (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ) (सिद्ध हुआ)
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ~ ∆FEG है, तो दर्शाइए कि:
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल: ∆ABC ~ ∆FEG (दिया है)
⇒ ∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠G ...(1)
(i) ∆ADC और ∆FHG में,
∠A = ∠F [(1) से]
∠ACD = ∠FGH [∵ CD और GH कोण समद्विभाजक हैं और ∠C = ∠G]
AA समरूपता कसौटी से, ∆ADC ~ ∆FHG
∴ CD/GH = AC/FG (संगत भुजाएँ)
(ii) ∆DCB और ∆HGE में,
∠B = ∠E [(1) से]
∠BCD = ∠EGH [∵ CD और GH कोण समद्विभाजक हैं और ∠C = ∠G]
AA समरूपता कसौटी से, ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA और ∆HGF में,
∠A = ∠F [(1) से]
∠ACD = ∠FGH [∵ CD और GH कोण समद्विभाजक हैं और ∠C = ∠G]
AA समरूपता कसौटी से, ∆DCA ~ ∆HGF (सिद्ध हुआ)
आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल: ∆ABC में, AB = AC (दिया है)
⇒ ∠B = ∠C ...(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
∆ABD और ∆ECF में,
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠C [(1) से]
AA समरूपता कसौटी से, ∆ABD ~ ∆ECF (सिद्ध हुआ)
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल: दिया है: AB/PQ = BC/QR = AD/PM ...(1)
चूँकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं,
BD = BC/2 और QM = QR/2
(1) से, AB/PQ = BD/QM = AD/PM ...(2)
∆ABD और ∆PQM में,
AB/PQ = BD/QM = AD/PM [(2) से]
SSS समरूपता कसौटी से, ∆ABD ~ ∆PQM
⇒ ∠B = ∠Q ...(3) (संगत कोण)
अब, ∆ABC और ∆PQR में,
AB/PQ = BC/QR (दिया है)
∠B = ∠Q [(3) से]
SAS समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆PQR (सिद्ध हुआ)
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल: ∆ADC और ∆BAC में,
∠ADC = ∠BAC (दिया है)
∠ACD = ∠BCA (उभयनिष्ठ कोण)
AA समरूपता कसौटी से, ∆ADC ~ ∆BAC
∴ CA/CB = CD/CA (संगत भुजाएँ)
⇒ CA² = CB.CD (सिद्ध हुआ)
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल: दिया है: AB/PQ = AC/PR = AD/PM ...(1)
बढ़ाई गई AD और PM पर क्रमशः बिन्दु E और N इस प्रकार लें कि AD = DE और PM = MN।
चतुर्भुज ABEC और PQNR समांतर चतुर्भुज होंगे।
∆ABE और ∆PQN में,
AB/PQ = AE/PN = (2AD)/(2PM) = AD/PM [(1) से]
SSS समरूपता से, ∆ABE ~ ∆PQN
⇒ ∠BAE = ∠QPN ⇒ ∠BAC = ∠QPR ...(2)
अब, ∆ABC और ∆PQR में,
AB/PQ = AC/PR [(1) से]
∠BAC = ∠QPR [(2) से]
SAS समरूपता कसौटी से, ∆ABC ~ ∆PQR (सिद्ध हुआ)
लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: माना मीनार की ऊँचाई = h m
चूँकि स्तम्भ और मीनार एक ही समय पर हैं, उनके द्वारा बनने वाले छाया के कोण समान होंगे।
अतः समरूप त्रिभुजों के गुण से,
स्तम्भ की ऊँचाई / स्तम्भ की छाया = मीनार की ऊँचाई / मीनार की छाया
6/4 = h/28
h = (6 × 28)/4 = 42 m
उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 42 m
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएं हैं, जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि AB/PQ = AD/PM है।
हल: ∆ABC ~ ∆PQR (दिया है)
⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR ...(1)
⇒ ∠B = ∠Q ...(2) (संगत कोण)
चूँकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं,
BD = BC/2 और QM = QR/2
(1) से, AB/PQ = (2BD)/(2QM) =
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