UP Board Class 11 Physics (13. अणुगति सिद्धांत) solution PDF

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UP Board Class 11 Physics 13. अणुगति सिद्धांत Hindi Medium Solutions - PDF

UP Board Solutions for Class 11 Physics

Chapter 13: अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory)

प्रश्न 1. ऑक्सीजन के अणुओं के आयतन और STP पर इनके द्वारा घेरे गए कुल आयतन का अनुपात ज्ञात कीजिए। ऑक्सीजन के एक अणु का व्यास 3 Å लीजिए।

हल:
ऑक्सीजन अणु का व्यास, d = 3 Å = 3 × 10^-10 m
त्रिज्या, r = d/2 = 1.5 × 10^-10 m
एक अणु का आयतन, V₁ = (4/3)πr³
V₁ = (4/3) × 3.14 × (1.5 × 10^-10)³
V₁ ≈ 1.413 × 10^-29 m³
1 मोल में अणुओं की संख्या, N_A = 6.023 × 10²³
1 मोल ऑक्सीजन के सभी अणुओं का कुल आयतन:
V_अणु = V₁ × N_A = (1.413 × 10^-29) × (6.023 × 10²³)
V_अणु ≈ 8.51 × 10^-6 m³ = 8.51 cm³
STP पर 1 मोल गैस द्वारा घेरा गया आयतन (मोलर आयतन), V_STP = 22.4 L = 22400 cm³
अनुपात: V_अणु / V_STP = 8.51 / 22400 ≈ 3.8 × 10^-4
इससे स्पष्ट है कि गैस का अधिकांश भाग रिक्त स्थान है।

प्रश्न 2. मोलर आयतन, STP पर किसी आदर्श गैस के 1 मोल द्वारा घेरा गया आयतन है। दर्शाइये कि यह 22.4 लीटर है।

हल:
आदर्श गैस समीकरण: PV = nRT
यहाँ, P = 1 atm = 1.013 × 10⁵ N/m²
n = 1 मोल
R = 8.314 J mol^-1 K^-1
T = 273.15 K (0°C)
V = nRT / P
V = (1 × 8.314 × 273.15) / (1.013 × 10⁵)
V ≈ 0.0224 m³
चूँकि 1 m³ = 1000 L
अतः V = 0.0224 × 1000 L = 22.4 L
इस प्रकार, STP पर किसी भी आदर्श गैस का मोलर आयतन 22.4 लीटर होता है।

प्रश्न 3. चित्र में ऑक्सीजन के 1.00 × 10^-3 kg द्रव्यमान के लिए PV/T एवं P में, दो अलग-अलग तापों पर ग्राफ दर्शाये गए हैं।

(a) बिन्दुकित रेखा क्या दर्शाती है?
(b) क्या सत्य है: T₁ > T₂ अथवा T₁ < T₂?
(c) Y-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं वहाँ PV/T का मान क्या है?
(d) यदि हम ऐसे ही ग्राफ 1.00 × 10^-3 kg हाइड्रोजन के लिए बनाएँ, तो क्या उस बिन्दु पर जहाँ वक्र Y-अक्ष से मिलते हैं, PV/T का मान यही होगा? यदि नहीं, तो हाइड्रोजन के कितने द्रव्यमान के लिए PV/T का मान (कम दाब और उच्च ताप के क्षेत्र के लिए) वही होगा? (H₂ का अणु द्रव्यमान = 2.02 u, O₂ का अणु द्रव्यमान = 32.0 u, R = 8.31 J mol^-1K^-1)

हल:
(a) बिन्दुकित रेखा आदर्श गैस के व्यवहार को दर्शाती है, जहाँ PV/T नियत रहता है और P पर निर्भर नहीं करता।
(b) T₁ > T₂ सत्य है। उच्च ताप (T₁) पर गैस का व्यवहार आदर्श गैस के निकट होता है।
(c) Y-अक्ष पर (P→0), गैस आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
PV/T = nR
O₂ का दिया गया द्रव्यमान, m = 1.00 × 10^-3 kg = 1 g
O₂ का मोलर द्रव्यमान, M = 32 g/mol
मोलों की संख्या, n = m/M = 1/32 mol
अतः PV/T = nR = (1/32) × 8.31 ≈ 0.26 J K^-1
(d) नहीं, PV/T का मान समान नहीं होगा क्योंकि मोलों की संख्या अलग होगी।
PV/T का मान समान रखने के लिए, H₂ के मोलों की संख्या O₂ के मोलों (1/32) के बराबर होनी चाहिए।
H₂ का आवश्यक द्रव्यमान = मोलों की संख्या × मोलर द्रव्यमान
= (1/32) × 2.02 g ≈ 0.0631 g = 6.31 × 10^-5 kg

प्रश्न 4. एक ऑक्सीजन सिलिंडर जिसका आयतन 30 लीटर है, में ऑक्सीजन का आरम्भिक दाब 15 atm एवं ताप 27°C है। इसमें से कुछ गैस निकाल लेने के बाद गेज दाब गिर कर 11 atm एवं ताप गिर कर 17°C हो जाता है। ज्ञात कीजिए कि सिलिंडर से ऑक्सीजन की कितनी मात्रा निकाली गई है? (R = 8.31 J mol^-1 K^-1, ऑक्सीजन का अणु द्रव्यमान O₂ = 32 u)

हल:
प्रारम्भिक अवस्था:
परम दाब, P₁ = गेज दाब + 1 atm = 15 + 1 = 16 atm = 16 × 1.013 × 10⁵ Pa
आयतन, V = 30 L = 30 × 10^-3 m³
ताप, T₁ = 27 + 273 = 300 K
मोलों की संख्या, n₁ = P₁V / RT₁
n₁ = (16 × 1.013 × 10⁵ × 30 × 10^-3) / (8.31 × 300) ≈ 19.5 मोल
अंतिम अवस्था:
परम दाब, P₂ = 11 + 1 = 12 atm = 12 × 1.013 × 10⁵ Pa
ताप, T₂ = 17 + 273 = 290 K
मोलों की संख्या, n₂ = P₂V / RT₂
n₂ = (12 × 1.013 × 10⁵ × 30 × 10^-3) / (8.31 × 290) ≈ 15.1 मोल
निकाले गए ऑक्सीजन के मोल: Δn = n₁ - n₂ = 19.5 - 15.1 = 4.4 मोल
निकाले गए ऑक्सीजन का द्रव्यमान = Δn × मोलर द्रव्यमान = 4.4 × 32 g = 140.8 g ≈ 0.141 kg

प्रश्न 5. वायु का एक बुलबुला जिसका आयतन 1.0 cm³ है, 40 m गहरी झील की तली से जहाँ ताप 12°C है, उठकर ऊपर पृष्ठ पर आता है जहाँ ताप 35°C है। अब इसका आयतन क्या होगा?

हल:
तली पर: V₁ = 1.0 cm³, T₁ = 12°C = 285 K
पृष्ठ पर: T₂ = 35°C = 308 K, P₂ = 1 atm
तली पर दाब, P₁ = वायुमंडलीय दाब + जल स्तंभ का दाब
P₁ = 1 atm + hρg
P₁ = (1.013 × 10⁵ Pa) + (40 m × 1000 kg/m³ × 9.8 m/s²)
P₁ ≈ 1.013 × 10⁵ + 3.92 × 10⁵ = 4.933 × 10⁵ Pa
P₂ = 1.013 × 10⁵ Pa
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार: (P₁V₁)/T₁ = (P₂V₂)/T₂
V₂ = (P₁V₁T₂) / (P₂T₁)
V₂ = (4.933 × 10⁵ × 1.0 × 10^-6 × 308) / (1.013 × 10⁵ × 285)
V₂ ≈ 5.26 × 10^-6 m³ = 5.26 cm³
पृष्ठ पर बुलबुले का आयतन लगभग 5.26 cm³ हो जाएगा।

प्रश्न 6. एक कमरे में, जिसकी धारिता 25.0 m³ है, 27°C ताप और 1 atm दाब पर, वायु के कुल अणुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:
आयतन, V = 25.0 m³
ताप, T = 27°C = 300 K
दाब, P = 1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa
बोल्ट्जमान नियतांक, k = 1.38 × 10^-23 J K^-1
आदर्श गैस समीकरण से: PV = NkT (जहाँ N अणुओं की कुल संख्या है)
N = PV / (kT)
N = (1.013 × 10⁵ × 25.0) / (1.38 × 10^-23 × 300)
N ≈ 6.11 × 10²⁶
कमरे में वायु के अणुओं की कुल संख्या लगभग 6.11 × 10²⁶ है।

प्रश्न 7. हीलियम परमाणु की औसत तापीय ऊर्जा का आकलन कीजिए (a) कमरे के ताप (27°C) पर (b) सूर्य के पृष्ठीय ताप (6000 K) पर (c) 10⁷ K ताप (तारे के क्रोड का प्रारूपिक ताप) पर।

हल:
एकपरमाणुक गैस (जैसे हीलियम) के लिए औसत तापीय ऊर्जा = (3/2)kT
k = 1.38 × 10^-23 J K^-1
(a) T = 27°C = 300 K
ऊर्जा, E = (3/2) × 1.38 × 10^-23 × 300 = 6.21 × 10^-21 J
(b) T = 6000 K
E = (3/2) × 1.38 × 10^-23 × 6000 = 1.24 × 10^-19 J
(c) T = 10⁷ K
E = (3/2) × 1.38 × 10^-23 × 10⁷ = 2.07 × 10^-16 J

प्रश्न 8. समान धारिता के तीन बर्तनों में एक ही ताप और दाब पर गैसें भरी हैं। पहले बर्तन में नियॉन (एकपरमाणुक) गैस है, दूसरे में क्लोरीन (द्विपरमाणुक) गैस है और तीसरे में यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड (बहुपरमाणुक) गैस है। क्या तीनों बर्तनों में गैसों के संगत अणुओं की संख्या समान है? क्या तीनों प्रकरणों में अणुओं की v_rms (वर्ग माध्य मूल चाल) समान है?

हल:
अणुओं की संख्या: हाँ, समान है। आवोगाद्रो के नियम के अनुसार, समान ताप, दाब और आयतन पर सभी गैसों में अणुओं की संख्या समान होती है।
v_rms (वर्ग माध्य मूल चाल): नहीं, समान नहीं है।
v_rms = √(3RT/M)
चूँकि तीनों गैसों के मोलर द्रव्यमान (M) भिन्न-भिन्न हैं, इसलिए उनकी v_rms भी भिन्न होगी। सबसे कम मोलर द्रव्यमान वाली गैस (नियॉन) की v_rms सबसे अधिक होगी।

प्रश्न 9. किस ताप पर आर्गन गैस सिलिंडर में अणुओं की v_rms 27°C पर हीलियम गैस के अणुओं की v_rms के बराबर होगी? (Ar का परमाणु द्रव्यमान = 39.9 u, He का परमाणु द्रव्यमान = 4.0 u)

हल:
v_rms = √(3RT/M)
माना आर्गन का ताप T_Ar है और हीलियम का ताप T_He = 27°C = 300 K है।
प्रश्नानुसार, (v_rms)_Ar = (v_rms)_He
√(3RT_Ar/M_Ar) = √(3RT_He/M_He)
दोनों ओर वर्ग करने पर: T_Ar/M_Ar = T_He/M_He
T_Ar = T_He × (M_Ar/M_He)
T_Ar = 300 × (39.9 / 4.0)
T_Ar ≈ 2992.5 K या लगभग 2.99 × 10³ K

प्रश्न 10. नाइट्रोजन गैस के एक सिलिंडर में 2.0 atm दाब एवं 17°C ताप पर, नाइट्रोजन अणुओं के माध्य मुक्त पथ एवं संघट्ट आवृत्ति का आकलन कीजिए। नाइट्रोजन अणु की त्रिज्या लगभग 1.0 Å लीजिए। (नाइट्रोजन का आणविक द्रव्यमान = 28.0 u)

हल:
दाब, P = 2 atm = 2 × 1.013 × 10⁵ Pa
ताप, T = 17°C = 290 K
अणु की त्रिज्या, r = 1.0 Å = 1.0 × 10^-10 m
व्यास, d = 2r = 2.0 × 10^-10 m
बोल्ट्जमान नियतांक, k = 1.38 × 10^-23 J/K
माध्य मुक्त पथ (λ):
λ = kT / (√2 π d² P)
λ = (1.38 × 10^-23 × 290) / (1.414 × 3.14 × (2.0 × 10^-10)² × 2.026 × 10⁵)
λ ≈ 1.1 × 10^-7 m
वर्ग माध्य मूल चाल (v_rms):
v_rms = √(3RT/M); M = 28 g/mol = 0.028 kg/mol
v_rms = √(3 × 8.31 × 290 / 0.028) ≈ 508 m/s
संघट्ट आवृत्ति (f):
f = v_rms / λ = 508 / (1.1 × 10^-7) ≈ 4.6 × 10⁹ s^-1
प्रति सेकंड लगभग 4.6 अरब संघट्ट होते हैं।

प्रश्न 11. 1 m लम्बी संकरी (और एक सिरे पर बन्द) नली क्षैतिज रखी गई है। इसमें 76 cm लम्बाई भरा पारद सूत्र, वायु के 15 cm स्तम्भ को नली में रोककर रखता है। क्या होगा यदि खुला सिरा नीचे की ओर रखते हुए नली को ऊर्ध्वाधर कर दिया जाए?

हल:
क्षैतिज अवस्था में: बंद सिरे से वायु स्तंभ की लंबाई = 15 cm। पारद सूत्र की लंबाई = 76 cm।
नली की कुल लंबाई = 100 cm। शेष लंबाई = 100 - (76+15) = 9 cm जो खुले सिरे पर है।
अतः क्षैतिज अवस्था में कुल वायु स्तंभ की लंबाई = 15 + 9 = 24 cm।
ऊर्ध्वाधर अवस्था (खुला सिरा नीचे): कुछ पारद बाहर गिर जाएगा। माना h cm पारद बाहर निकल जाता है।
तब, नली में शेष पारद स्तंभ = (76 - h) cm
बंद सिरे पर वायु स्तंभ की नई लंबाई = (24 + h) cm (क्योंकि पारद नीचे गिरेगा और वायु फैलेगी)।
बॉयल के नियम से (ताप नियत): P₁V₁ = P₂V₂
क्षैतिज अवस्था में दाब, P₁ = 76 cm Hg (वायुमंडलीय दाब, क्योंकि पारद सूत्र संतुलन में है)।
आयतन, V₁ = 15 cm (वायु स्तंभ की लंबाई)।
ऊर्ध्वाधर अवस्था में, बंद सिरे पर वायु का दाब, P₂ = वायुमंडलीय दाब - पारद स्तंभ का दाब = 76 - (76 - h) = h cm Hg
आयतन, V₂ = (24 + h) cm
अतः, 76 × 15 = h × (24 + h)
h² + 24h - 1140 = 0
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर h ≈ 23.8 cm (धनात्मक मान)
अतः लगभग 23.8 cm पारद बाहर निकल जाएगा।
नली में शेष पारद = 76 - 23.8 = 52.2 cm
वायु स्तंभ की लंबाई = 24 + 23.8 = 47.8 cm

प्रश्न 12. किसी उपकरण से हाइड्रोजन गैस 28.7 cm³ s^-1 की दर से विसरित हो रही है। उन्हीं स्थितियों में कोई दूसरी गैस 7.2 cm³ s^-1 की दर से विसरित होती है। इस दूसरी गैस को पहचानिए।

हल:
ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार: R ∝ 1/√M
R₁/R₂ = √(M₂/M₁)
यहाँ, R₁ = H₂ की विसरण दर = 28.7 cm³/s
R₂ = अज्ञात गैस की विसरण दर = 7.2 cm³/s
M₁ = H₂ का आणविक द्रव्यमान = 2 u
M₂ = अज्ञात गैस का आणविक द्रव्यमान
28.7 / 7.2 = √(M₂ / 2)
3.986 ≈ √(M₂/2)
दोनों ओर वर्ग करने पर: 15.89 ≈ M₂/2
M₂ ≈ 31.78 u ≈ 32 u
32 u आणविक द्रव्यमान वाली गैस ऑक्सीजन (O₂) है। अतः अज्ञात गैस ऑक्सीजन है।

प्रश्न 13. साम्यावस्था में किसी गैस का घनत्व और दाब अपने सम्पूर्ण आयतन में एक समान हैं। यह पूर्णतया सत्य केवल तभी है जब कोई भी बाह्य प्रभाव न हो। उदाहरण के लिए, गुरुत्व से प्रभावित किसी गैस स्तम्भ का घनत्व (और दाब) एकसमान नहीं होता है। जैसा कि आप आशा करेंगे इसका घनत्व ऊँचाई के साथ घटता है। परिशुद्ध निर्भरता 'वातावरण के नियम' n₂ = n₁ exp [ -mg (h₂ – h₁)/ k_BT ] से दी जाती है, यहाँ n₂, n₁ क्रमशः h₂ व h₁ ऊँचाइयों पर संख्यात्मक घनत्व को प्रदर्शित करते हैं। इस सम्बन्ध का उपयोग द्रव स्तम्भ में निलम्बित किसी कण के अवसादन साम्य के लिए समीकरण n₂ = n₁ exp [ -mg N_A (ρ - ρ') (h₂ – h₁)/(ρRT) ] को व्युत्पन्न करने के लिए कीजिए, यहाँ ρ निलम्बित कण का घनत्व तथा ρ' चारों तरफ के माध्यम का घनत्व है। N_A आवोगाद्रो संख्या तथा R सार्वत्रिक गैस नियतांक है।

हल:
वातावरण के नियम से: n₂ = n₁ exp [ -mg (h₂ – h₁) / (k_BT) ] ...(i)
यहाँ m गैस के एक अणु का द्रव्यमान है।
निलम्बित कण

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1. भौतिक जगत
2. मात्रक तथा मापन
3. सरल रेखा में गति
4. समतल में गति
5. गति के नियम
6. कार्य ऊर्जा तथा शक्ति
7. कणों के नियम तथा घूर्णी गति
8. गुरुत्वाकर्षण
9. ठोसों के यांत्रिक गुण
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12. ऊष्मागतिकी
13. अणुगति सिद्धांत
14. दोलन
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