UP Board Class 11 Physics (7. कणों के नियम तथा घूर्णी गति) solution PDF

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UP Board Class 11 Physics 7. कणों के नियम तथा घूर्णी गति Hindi Medium Solutions - PDF

UP Board Solutions for Class 11 Physics

Chapter 7: System of Particles and Rotational Motion
(कणों के निकाय तथा घूर्णी गति)

प्रश्न 1. एकसमान द्रव्यमान घनत्व के निम्नलिखित पिण्डों में प्रत्येक के द्रव्यमान केन्द्र की अवस्थिति लिखिए: (क) गोला, (ख) सिलेण्डर, (ग) छल्ला तथा (घ) घन। क्या किसी पिण्ड का द्रव्यमान केन्द्र आवश्यक रूप से उस पिण्ड के भीतर स्थित होता है?

हल:
(क) गोले का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केन्द्र पर होता है।
(ख) बेलन का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केन्द्र पर, अर्थात् सममित अक्ष के मध्य बिन्दु पर होता है।
(ग) छल्ले का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केन्द्र पर होता है।
(घ) घन का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केन्द्र पर होता है, जहाँ इसके विकर्ण एक-दूसरे को काटते हैं।
(ङ) नहीं, द्रव्यमान केन्द्र का पिण्ड के भीतर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, छल्ले, खोखले बेलन तथा खोखले घन का द्रव्यमान केन्द्र पिण्ड के बाहर स्थित होता है।

प्रश्न 2. HCl अणु में दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच पृथकन लगभग 1.27 Å (1 Å = 10^-10 m) है। इस अणु के द्रव्यमान केन्द्र की लगभग अवस्थिति ज्ञात कीजिए। यह ज्ञात है कि क्लोरीन का परमाणु हाइड्रोजन के परमाणु की तुलना में 35.5 गुना भारी होता है तथा किसी परमाणु का समस्त द्रव्यमान उसके नाभिक पर केन्द्रित होता है।

हल:
दिया है: H और Cl के नाभिकों के बीच दूरी = 1.27 Å = 1.27 × 10^-10 m
माना हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान = m
तब क्लोरीन परमाणु का द्रव्यमान = 35.5 m
हाइड्रोजन नाभिक को मूल बिन्दु (r₁ = 0) मानते हुए, क्लोरीन नाभिक का स्थिति सदिश r₂ = 1.27 × 10^-10 m
द्रव्यमान केन्द्र का स्थिति सदिश:
r_cm = (m₁r₁ + m₂r₂) / (m₁ + m₂)
= (m × 0 + 35.5m × 1.27 × 10^-10) / (m + 35.5m)
= (35.5 × 1.27 × 10^-10) / 36.5
≈ 1.235 × 10^-10 m ≈ 1.24 Å
अतः द्रव्यमान केन्द्र हाइड्रोजन नाभिक से लगभग 1.24 Å की दूरी पर है।

प्रश्न 3. कोई बच्चा किसी चिकने क्षैतिज फर्श पर एकसमान चाल v से गतिमान किसी लम्बी ट्रॉली के एक सिरे पर बैठा है। यदि बच्चा खड़ा होकर ट्रॉली पर किसी भी प्रकार से दौड़ने लगता है, तब निकाय (ट्रॉली + बच्चा) के द्रव्यमान केन्द्र की चाल क्या है?

हल:
निकाय (ट्रॉली + बच्चा) के द्रव्यमान केन्द्र की चाल नियत रहेगी, अर्थात् v ही रहेगी। कारण: दौड़ने में ट्रॉली पर आरोपित बल आन्तरिक बल है, और किसी निकाय के द्रव्यमान केन्द्र का वेग केवल बाह्य बल द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रश्न 4. दर्शाइये कि a एवं b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल |a × b| के परिमाण का आधा है।

हल:
माना सदिश a तथा b त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं OA तथा OB को निरूपित करते हैं तथा इनके बीच का कोण θ है।
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
= (1/2) × |b| × (|a| sinθ) = (1/2) |a| |b| sinθ
सदिश गुणन के अनुसार: |a × b| = |a| |b| sinθ
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) |a × b|

प्रश्न 5. दर्शाइये कि a · (b × c) का परिमाण तीन सदिशों a, b एवं c से बने समान्तर षट्फलक के आयतन के बराबर है।

हल:
माना तीन सदिश a, b, c से बना समान्तर षट्फलक है।
b × c का परिमाण = |b| |c| sin90° = bc (यदि b व c परस्पर लम्ब हैं)
तथा इसकी दिशा b व c के तल के लम्बवत् है।
अब a · (b × c) = |a| |b × c| cos0° = a · (bc) = abc
जो कि समान्तर षट्फलक के आयतन के बराबर है।

प्रश्न 6. एक कण, जिसके स्थिति सदिश r के x, y, z अक्षों के अनुदिश अवयव क्रमशः x, y, z हैं, और रेखीय संवेग सदिश p के अवयव p_x, p_y, p_z हैं, कोणीय संवेग L के अक्षों के अनुदिश अवयव ज्ञात कीजिए। दर्शाइये, कि यदि कण केवल x-y तल में ही गतिमान हो तो कोणीय संवेग का केवल z-अवयव ही होता है।

हल:
कोणीय संवेग L = r × p
r = x i + y j + z k
p = p_x i + p_y j + p_z k
L = (y p_z – z p_y) i + (z p_x – x p_z) j + (x p_y – y p_x) k
अतः L के अवयव:
L_x = y p_z – z p_y
L_y = z p_x – x p_z
L_z = x p_y – y p_x
यदि कण x-y तल में गतिमान है, तो z = 0 तथा p_z = 0
तब L_x = 0, L_y = 0, केवल L_z = x p_y – y p_x शून्येतर रहता है।
अतः कोणीय संवेग का केवल z-अवयव ही होता है।

प्रश्न 7. दो कण जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान m एवं चाल v है, d दूरी पर, समान्तर रेखाओं के अनुदिश, विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं। दर्शाइये कि इस द्विकण निकाय का सदिश कोणीय संवेग समान रहता है, चाहे हम जिस बिन्दु के परितः कोणीय संवेग लें।

हल:
प्रत्येक कण का रेखीय संवेग p = m v
माना किसी क्षण दोनों कणों की स्थिति सदिश किसी बिन्दु O के सापेक्ष r₁ व r₂ हैं।
निकाय का कुल कोणीय संवेग L = r₁ × m v + r₂ × (-m v) = (r₁ – r₂) × m v
चूँकि |r₁ – r₂| = d (नियत), तथा v की दिशा नियत है, अतः L का परिमाण m v d नियत रहता है तथा दिशा भी नियत रहती है।
इस प्रकार निकाय का सदिश कोणीय संवेग समय के साथ नियत रहता है।

प्रश्न 8. M भार की एक असमान छड़ को, उपेक्षणीय भार वाली दो डोरियों से चित्र में दर्शाये अनुसार लटका कर विरामावस्था में रखा गया है। डोरियों द्वारा ऊर्ध्वाधर से बने कोण क्रमशः 36.9° एवं 53.1° हैं। छड़ 2 m लम्बाई की है। छड़ के बाएँ सिरे से इसके गुरुत्व केन्द्र की दूरी d ज्ञात कीजिए।

हल:
माना डोरियों में तनाव T₁ व T₂ हैं तथा छड़ का भार W = Mg है।
क्षैतिज दिशा में सन्तुलन: T₁ cos 53.1° = T₂ cos 36.9° …(1)
ऊर्ध्वाधर दिशा में सन्तुलन: T₁ sin 53.1° + T₂ sin 36.9° = W …(2)
बाएँ सिरे के परितः आघूर्ण लेने पर: T₂ sin 36.9° × 2 = W × d …(3)
समीकरणों को हल करने पर: d ≈ 0.721 m = 72.1 cm

प्रश्न 9. एक कार का भार 1800 kg है। इसकी अगली और पिछली धुरियों के बीच की दूरी 1.8 m है। इसका गुरुत्व केन्द्र अगली धुरी से 1.05 m पीछे है। समतल धरती द्वारा इसके प्रत्येक अगले और पिछले पहियों पर लगने वाले बल की गणना कीजिए।

हल:
कार का कुल भार W = 1800 × 9.8 = 17640 N
माना अगली धुरी पर प्रत्येक पहिये पर अभिलम्ब प्रतिक्रिया R_f तथा पिछली धुरी पर R_r है।
ऊर्ध्वाधर सन्तुलन: 2R_f + 2R_r = W …(1)
गुरुत्व केन्द्र के परितः आघूर्ण लेने पर:
R_f × 1.05 = R_r × (1.8 – 1.05) = R_r × 0.75 …(2)
हल करने पर: R_f ≈ 3675 N, R_r ≈ 5145 N
अतः प्रत्येक अगले पहिये पर बल ≈ 3675 N, प्रत्येक पिछले पहिये पर बल ≈ 5145 N

प्रश्न 10. (क) किसी गोले का, इसके किसी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण 2MR²/5 है, जहाँ M गोले का द्रव्यमान एवं R इसकी त्रिज्या है। गोले पर खींची गई स्पर्श रेखा के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
(ख) M द्रव्यमान एवं R त्रिज्या वाली किसी डिस्क का इसके किसी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण MR²/4 है। डिस्क के लम्बवत् इसकी कोर से गुजरने वाली अक्ष के परितः इस चकती का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:
(क) समान्तर अक्ष प्रमेय से: I = I_cm + M d²
यहाँ I_cm = (2/5) M R², d = R
∴ I = (2/5) M R² + M R² = (7/5) M R²
(ख) लम्बवत् अक्ष प्रमेय से: I_z = I_x + I_y
दिया है: व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x = I_y = (1/4) M R²
∴ केन्द्र से गुजरने वाली तथा तल के लम्बवत् अक्ष के परितः I_z = (1/4) M R² + (1/4) M R² = (1/2) M R²
अब कोर से गुजरने वाली समान्तर अक्ष के लिए समान्तर अक्ष प्रमेय से:
I = I_z + M R² = (1/2) M R² + M R² = (3/2) M R²

प्रश्न 11. समान द्रव्यमान और त्रिज्या के एक खोखले बेलन और एक ठोस गोले पर समान परिमाण के बल आघूर्ण लगाये गये हैं। बेलन अपनी सामान्य सममित अक्ष के परितः घूम सकता है और गोला अपने केन्द्र से गुजरने वाली किसी अक्ष के परितः। एक दिये गये समय के बाद दोनों में कौन अधिक कोणीय चाल प्राप्त कर लेगा?

हल:
खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण I_c = M R²
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण I_s = (2/5) M R²
बल आघूर्ण τ समान है। कोणीय त्वरण α = τ / I
चूँकि I_s < I_c, अतः α_s > α_c
समान समय के बाद कोणीय चाल ω = ω₀ + α t
अतः ठोस गोला अधिक कोणीय चाल प्राप्त करेगा।

प्रश्न 12. 20 kg द्रव्यमान का कोई ठोस सिलिंडर अपने अक्ष के परितः 100 rad s^-1 की कोणीय चाल से घूर्णन कर रहा है। सिलिंडर की त्रिज्या 0.25 m है। सिलिंडर के घूर्णन से संबद्ध गतिज ऊर्जा क्या है? सिलिंडर का अपने अक्ष के परितः कोणीय संवेग का परिमाण क्या है?

हल:
दिया है: M = 20 kg, ω = 100 rad/s, R = 0.25 m
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण I = (1/2) M R² = (1/2) × 20 × (0.25)² = 0.625 kg m²
घूर्णन गतिज ऊर्जा K = (1/2) I ω² = (1/2) × 0.625 × (100)² = 3125 J
कोणीय संवेग L = I ω = 0.625 × 100 = 62.5 J s

प्रश्न 13. (क) कोई बच्चा किसी घूर्णिका (घूर्णीमंच) पर अपनी दोनों भुजाओं को बाहर की ओर फैलाकर खड़ा है। घूर्णिका को 40 rev/min की कोणीय चाल से घूर्णन कराया जाता है। यदि बच्चा अपने हाथों को वापस सिकोड़ कर अपना जड़त्व आघूर्ण अपने आरम्भिक जड़त्व आघूर्ण का 2/5 गुना कर लेता है, तो इस स्थिति में उसकी कोणीय चाल क्या होगी? यह मानिए कि घूर्णिका की घूर्णन गति घर्षणरहित है।
(ख) यह दर्शाइए कि बच्चे की घूर्णन की नयी गतिज ऊर्जा उसकी आरंभिक घूर्णन की गतिज ऊर्जा से अधिक है। आप गतिज ऊर्जा में हुई इस वृद्धि की व्याख्या किस प्रकार करेंगे?

हल:
(क) कोणीय संवेग संरक्षण से: I₁ ω₁ = I₂ ω₂
दिया है: ω₁ = 40 rev/min, I₂ = (2/5) I₁
∴ ω₂ = (I₁ / I₂) ω₁ = (5/2) × 40 = 100 rev/min
(ख) गतिज ऊर्जा K = (1/2) I ω²
K₁ = (1/2) I₁ ω₁², K₂ = (1/2) I₂ ω₂² = (1/2) × (2/5 I₁) × (5/2 ω₁)² = (5/2) × (1/2 I₁ ω₁²) = (5/2) K₁
अतः K₂ > K₁
गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि बच्चे द्वारा हाथ सिकोड़ने में किए गए कार्य (पेशीय ऊर्जा) के कारण होती है।

प्रश्न 14. 3 kg द्रव्यमान तथा 40 cm त्रिज्या के किसी खोखले सिलिंडर पर कोई नगण्य द्रव्यमान की रस्सी लपेटी गई है। यदि रस्सी को 30 N बल से खींचा जाए तो सिलिंडर का कोणीय त्वरण क्या होगा? रस्सी का रैखिक त्वरण क्या है? यह मानिए कि इस प्रकरण में कोई फिसलन नहीं है।

हल:
दिया है: M = 3 kg, R = 0.4 m, F = 30 N
खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण I = M R² = 3 × (0.4)² = 0.48 kg m²
बल आघूर्ण τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 N m
कोणीय त्वरण α = τ / I = 12 / 0.48 = 25 rad/s²
रैखिक त्वरण a = α R = 25 × 0.4 = 10 m/s²

प्रश्न 15. किसी घूर्णक (रोटर) की 200 rad s^-1 की एकसमान कोणीय चाल बनाए रखने के लिए एक इंजन द्वारा 180 N m का बल आघूर्ण प्रेषित करना आवश्यक होता है। इंजन के लिए आवश्यक शक्ति ज्ञात कीजिए।

हल:
शक्ति P = τ ω = 180 × 200 = 36000 W = 36 kW

प्रश्न 16. R त्रिज्या वाली समान डिस्क से R/2 त्रिज्या का एक वृत्ताकार भाग काट कर निकाल दिया गया है। इस प्रकार बने वृत्ताकार सुराख का केन्द्र मूल डिस्क के केन्द्र से R/2 दूरी पर है। अवशिष्ट डिस्क के गुरुत्व केन्द्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल:
माना डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान σ है।
पूरी डिस्क का द्रव्यमान M = σ π R²
काटे गए भाग का द्रव्यमान m = σ π (R/2)² = M/4
माना अवशिष्ट भाग का द्रव्यमान केन्द्र, मूल केन्द्र O से x दूरी पर है।
द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा से: M × 0 = (M – m) × x + m × (R/2)
0 = (3M/4) x + (M/4) × (R/2)
⇒ (3M/4) x = – M R / 8
⇒ x = – R / 6
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि गुरुत्व केन्द्र, काटे गए भाग के विपरीत दिशा में है।
अतः अवशिष्ट डिस्क का गुरुत्व केन्द्र मूल केन्द्र से R/6 दूरी पर काटे गए भाग के विपरीत दिशा में है।

प्रश्न 17. एक मीटर छड़ के केन्द्र के नीचे क्षुर-धार रखने पर वह इस पर संतुलित हो जाती है जब दो सिक्के, जिनमें प्रत्येक का द्रव्यमान 5 g है, 12.0 cm के चिह्न पर एक के ऊपर एक रखे जाते हैं तो छड़ 45.0 cm चिह्न पर संतुलित हो जाती है। मीटर छड़ का द्रव्यमान क्या है?

हल:
माना छड़ का द्रव्यमान M ग्राम है।
छड़ का गुरुत्व केन्द्र 50 cm पर है।
सिक्कों का कुल द्रव्यमान = 10 g, स्थिति = 12 cm
नया संतुलन बिन्दु = 45 cm
आघूर्ण सिद्धान्त लगाने पर:
M × (50 – 45) = 10 × (45 – 12)
M × 5 = 10 × 33
M = 66 g
अतः मीटर छड़ का द्रव्यमान 66 ग्राम है।

प्रश्न 18. एक ठोस गोला, भिन्न नति के दो आनत तलों पर एक ही ऊँचाई से लुढ़कने दिया जाता है। (क) क्या वह दोनों बार समान चाल से तली में पहुँचेगा? (ख) क्या उसको एक तल पर लुढ़कने में दूसरे से अधिक समय लगेगा? (ग) यदि हाँ, तो किस पर और क्यों?

हल:
(क) हाँ, दोनों स्थितियों में गोला तली पर समान चाल से पहुँचेगा क्योंकि ऊर्जा संरक्षण के अनुसार mgh = (1/2)mv² + (1/2)Iω², और चूँकि h समान है, v भी समान होगा।
(ख) हाँ, कम ढाल वाले आनत तल पर लुढ़कने में अधिक समय लगेगा।
(ग) कम कोण वाले आनत तल पर त्वरण कम होता है (a = g sinθ / (1 + k²/R²)), अतः नियत दूरी तय करने में अधिक समय लगता है।

प्रश्न 19. 2 m त्रिज्या के एक वलय (छल्ले) का भार 100 kg है। यह एक क्षैतिज फर्श पर इस प्रकार लोटनिक गति करता है कि इसके द्रव्यमान केन्द्र की चाल 20 cm/s हो। इसको रोकने के लिए कितना कार्य करना होगा?

हल:
दिया है: R = 2 m, M = 100 kg, v = 0.2 m/s
वलय का जड़त्व आघूर्ण I = M R²
कुल गतिज ऊर्जा K = स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा
= (1/2) M v² + (1/2) I ω²
चूँकि ω = v/R, तथा I = M R²
∴ K = (1/2) M v² + (1/2) M R² × (v²/R²) = (1/2) M v² + (1/2) M v² = M v²
= 100 × (0.2)² = 4 J
अतः वलय को रोकने के लिए 4 J कार्य करना होगा।

प्रश्न 20. ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान 5.30 × 10^-26 kg है तथा इसके केन्द्र से होकर गुजरने वाली और इसके दोनों परमाणुओं को मिलाने वाली रेखा के लम्बवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 1.94 × 10^-46 kg m² है। मान लीजिए कि गैस के ऐसे अणु की औसत चाल 500 m/s है और इसके घूर्णन की गतिज ऊर्जा स्थानान्तरण की गतिज ऊर्जा की दो-तिहाई है। अणु का औसत कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है: m = 5.30 × 10^-26 kg, I = 1.94 × 10^-46 kg m², v = 500 m/s
स्थानान्तरण गतिज ऊर्जा K_trans = (1/2) m v²
घूर्णन गतिज ऊर्जा K_rot = (1/2)

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Other Chapters of Class 11 Physics
1. भौतिक जगत
2. मात्रक तथा मापन
3. सरल रेखा में गति
4. समतल में गति
5. गति के नियम
6. कार्य ऊर्जा तथा शक्ति
7. कणों के नियम तथा घूर्णी गति
8. गुरुत्वाकर्षण
9. ठोसों के यांत्रिक गुण
10. तरलों के यांत्रिक गुण
11. द्रव्य के तापीय गुण
12. ऊष्मागतिकी
13. अणुगति सिद्धांत
14. दोलन
15. तरंगें