UP Board Solutions for Class 6 Maths
अध्याय 11: बीजगणित
Exercise 11.1
Q1. तीलियों से प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए | नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए :
हल: प्रत्येक अक्षर के प्रतिरूप के लिए तीलियों की संख्या का नियम निम्नलिखित है:
- अक्षर A का प्रतिरूप बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर Z का प्रतिरूप बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर E का प्रतिरूप बनाने के लिए 4 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर H का प्रतिरूप बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर U का प्रतिरूप बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर S का प्रतिरूप बनाने के लिए 5 तीलियों की आवश्यकता होती है।
- अक्षर M का प्रतिरूप बनाने के लिए 4 तीलियों की आवश्यकता होती है।
इन नियमों को एक चर 'n' (अक्षरों की संख्या) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक अक्षर के लिए तीलियों की एक निश्चित संख्या होती है।
02. हम अक्षर 1, ० और # के प्रतिरूपों के लिए नियमों को पहले से जानते हैं | ऊपर प्रश्न 4 में दिए कुछ अक्षरों से वही नियम प्राप्त होता है जो ॥ द्वारा प्राप्त हुआ था | ए अक्षर कौन - कौन से हैं ? ऐसा क्यों होता है |
हल: प्रश्न 1 में, अक्षर A, Z, H, और U के प्रतिरूप बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है। यह वही नियम है जो अक्षर V के लिए है (जिसके लिए भी 3 तीलियाँ चाहिए)। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इन अक्षरों की आकृति में दो तिरछी या ऊर्ध्वाधर रेखाएँ और एक क्षैतिज रेखा होती है, जिसके लिए कुल तीन रेखाखंड या तीलियों की आवश्यकता पड़ती है।
03. किसी परेड में कैडट (2961७) मार्च (431८1) कर रहे है | एक पंक्ति में 5 कैडेट हैं | यदि पंक्तियों की संख्या ज्ञात हो, तो कैडटो की संख्या प्राप्त करने के लिए क्या नियम है ? (पंक्तियों की संख्या के लिए ॥ का प्रयोग कीजिए ) |
हल: माना पंक्तियों की कुल संख्या = n
प्रत्येक पंक्ति में कैडेटों की संख्या = 5
अतः, कैडेटों की कुल संख्या ज्ञात करने का नियम है:
कुल कैडेट = 5 × n = 5n
04. एक पेटी में 50 आम हैं | आप पेटियों की संख्या के पदों में आमों की कुल संख्या को किस प्रकार लिखेंगे ? (पेटियों की संख्या के लिए 9 का प्रयोग कीजिए ) |
हल: माना पेटियों की कुल संख्या = b
प्रत्येक पेटी में आमों की संख्या = 50
अतः, आमों की कुल संख्या ज्ञात करने का नियम है:
कुल आम = 50 × b = 50b
05. शिक्षक प्रत्येक विधार्थी को 5 पेंसिल देता है | विधार्थियों की संख्या ज्ञात होने पर, क्या आप कुल वांछित पेंसिलों की संखया बता सकते हैं ? (विधार्थियों की संख्या के लिए ७ का प्रयोग कीजिए ) |
हल: माना विद्यार्थियों की कुल संख्या = s
प्रत्येक विद्यार्थी को मिलने वाली पेंसिलों की संख्या = 5
अतः, आवश्यक पेंसिलों की कुल संख्या ज्ञात करने का नियम है:
कुल पेंसिल = 5 × s = 5s
Q6. एक चिड़ियाँ 1 मिनट में 1 किलोमीटर उडती है | क्या आप चिड़िया द्वारा तय की गई दूरी को (मिनटों में) उसके उड़ने के समय के पदों में व्यक्त कर सकते हैं ? (मिनटों में उड़ने के समय के लिए ६ का प्रयोग कीजिए ) |
हल: माना चिड़िया के उड़ने का समय = t मिनट
चिड़िया की चाल = 1 किलोमीटर प्रति मिनट
तय की गई दूरी ज्ञात करने का सूत्र है: दूरी = चाल × समय
अतः, चिड़िया द्वारा तय की गई दूरी है:
दूरी = 1 × t = t किलोमीटर
(07. राधा बिन्दुओं (00४5) से एक रंगोली बना रही है ( -खड़िया के पाउडर की सहायता से बिन्दुओं को जोड़कर रेखाओं का एक सुंदर प्रतिरुप बनाना, जैसे आकृति 11.5 में है) | उसके पास एक पंक्ति में 8 बिंदु है | । पंक्तियों की रंगोली में कितने बिंदु होंगे ? यदि 8 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे ? यदि 10 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे ?
हल: प्रत्येक पंक्ति में बिंदुओं की संख्या = 8
माना पंक्तियों की संख्या = r
अतः, बिंदुओं की कुल संख्या का नियम है: कुल बिंदु = 8 × r = 8r
- जब पंक्तियों की संख्या r = 8 हो:
कुल बिंदु = 8 × 8 = 64
- जब पंक्तियों की संख्या r = 10 हो:
कुल बिंदु = 8 × 10 = 80
(08. लीला राधा की छोटी बहन है | लीला राधा से 4 वर्ष छोटी है | क्या आप लीला की आयु राधा की आयु के पदों में लिख सकते है ? राधा की आयु £ वर्ष है |
हल: माना राधा की आयु = y वर्ष
लीला, राधा से 4 वर्ष छोटी है।
अतः, लीला की आयु राधा की आयु के पदों में इस प्रकार लिखी जा सकती है:
लीला की आयु = (y - 4) वर्ष
09. माँ ने लड्डू बनाए हैं | उन्होंने कुछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को दिए | फिर भी 5 लड्डू शेष रह गये हैं | यदि माँ ने / लड्डू दे दिए हों, तो उसने कुल कितने लड्डू बनाए थे ?
हल: माना माँ ने दिए गए लड्डुओं की संख्या = l
शेष बचे लड्डुओं की संख्या = 5
अतः, माँ द्वारा बनाए गए कुल लड्डुओं की संख्या है:
कुल लड्डू = दिए गए लड्डू + शेष लड्डू = l + 5
010. संतरों को बड़ी पेटियों में से छोटी पेटियों में रखा जाना है | जब एक बड़ी पेटी को खाली किया जाता है, तो उसके संतरों से दो छोटी पेटियाँ भर जाती है और फिर भी 40 संतरे शेष रह जाते हैं | यदि एक छोटी पेटी में संतरों की संखया को » लिया जाए, तो बड़ी पेटी में संतरों की संख्या क्या है ?
हल: माना एक छोटी पेटी में संतरों की संख्या = x
एक बड़ी पेटी के संतरों से 2 छोटी पेटियाँ भरती हैं।
इसलिए, 2 छोटी पेटियों में कुल संतरे = 2 × x = 2x
इसके अलावा, 10 संतरे शेष रह जाते हैं।
अतः, बड़ी पेटी में संतरों की कुल संख्या है:
बड़ी पेटी में संतरे = 2x + 10
(0१1१. (3) तीलियों से बने हुए वर्गों के नीचे दिए प्रतिरूपों को देखिए (आकृति 11.6) | ये वर्ग अलग - अलग नहीं हैं | दो संलग्न वर्गों में एक तीली उभयनिष्ठ है | इस प्रतिरूप को देखिए और वह नियम ज्ञात कीजिए जो वर्गों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है| (संकेत : यदि आप अंतिम उर्ध्वाधर तीली को हटा दें, तो आपको ८ का प्रतिरूप प्राप्त हो जाएगा) |
हल (a): वर्गों की श्रृंखला बनाने के लिए आवश्यक तीलियों का नियम:
पहला वर्ग बनाने के लिए 4 तीलियों की आवश्यकता होती है।
पहले वर्ग के बाद, प्रत्येक नया वर्ग जोड़ने के लिए केवल 3 अतिरिक्त तीलियों की आवश्यकता होती है, क्योंकि एक तीली पहले से मौजूद वर्ग के साथ साझा हो जाती है।
माना वर्गों की कुल संख्या = n
अतः, आवश्यक तीलियों की कुल संख्या का नियम है:
तीलियों की संख्या = 4 + 3 × (n - 1) = 3n + 1
उदाहरण के लिए: 1 वर्ग के लिए: 3(1)+1=4, 2 वर्गों के लिए: 3(2)+1=7, 3 वर्गों के लिए: 3(3)+1=10.
(0) आकृति 11.7 तीलियों से बना त्रिभुजों का एक प्रतिरूप दर्शा रही है | उपरोक्त प्रश्न 11 (3) की तरह, वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है |
हल (b): त्रिभुजों की श्रृंखला बनाने के लिए आवश्यक तीलियों का नियम:
पहला त्रिभुज बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता होती है।
पहले त्रिभुज के बाद, प्रत्येक नया त्रिभुज जोड़ने के लिए केवल 2 अतिरिक्त तीलियों की आवश्यकता होती है, क्योंकि एक तीली (आधार) पहले से मौजूद त्रिभुज के साथ साझा हो जाती है।
माना त्रिभुजों की कुल संख्या = n
अतः, आवश्यक तीलियों की कुल संख्या का नियम है:
तीलियों की संख्या = 3 + 2 × (n - 1) = 2n + 1
उदाहरण के लिए: 1 त्रिभुज के लिए: 2(1)+1=3, 2 त्रिभुजों के लिए: 2(2)+1=5, 3 त्रिभुजों के लिए: 2(3)+1=7.
Exercise 11.2
(९1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा को | से दर्शाया जाता है | इस समबाह त्रिभुज के परिमाप को | का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए |
हल: समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई = l
समबाहु त्रिभुज में सभी तीन भुजाएँ बराबर होती हैं।
परिमाप सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है।
अतः, समबाहु त्रिभुज का परिमाप है:
परिमाप = l + l + l = 3l
Q2. us aH TEYH (Regular hexagon) 4 ws qa को | से व्यक्त किया गया है (आकृति 11.10) | | का प्रयोग करते हुए, इस षड़्भुज के परिमाप को व्यक्त कीजिए | (संकेत : एक सम षड़्भुज की सभी 6 भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं ) |
हल: सम षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई = l
एक सम षट्भुज में बराबर लंबाई की छह भुजाएँ होती हैं।
परिमाप सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है।
अतः, सम षट्भुज का परिमाप है:
परिमाप = l + l + l + l + l + l = 6l
03. घन (८प7४७८) एक त्रिविमीय (६176९ ०171271%<101131) आकृति होती है, जैसा कि आकृति 11.11 में दिखाया गया है | इसके 6 फलक होते है और 3 ae adaa (identical) Tf Aa z| A के एक किनारे की लंबाई | से दी जाती है घन के किनारों की कुल लंबाई के लिए एक सूत्र ज्ञात कीजिए |
हल: घन के एक किनारे (edge) की लंबाई = l
एक घन में कुल 12 किनारे होते हैं।
सभी किनारों की लंबाई बराबर होती है।
अतः, घन के सभी किनारों की कुल लंबाई है:
किनारों की कुल लंबाई = 12 × l = 12l
(04. वृत्त का एक व्यास वह रेखाखण्ड है जो वृत्त पर स्थित दो बिन्दुओं को जोड़ता है और उसके केन्द्र से होकर जाता है | संलग्न आकृति 11.12 में, AB qa H व्यास है और ८ उसका केन्द्र है | वृत्त के व्यास (4) को उसकी त्रिज्या (1) के पदों में व्यक्त कीजिए |
हल: माना वृत्त की त्रिज्या = r
वृत्त का व्यास, वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली और वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा है।
व्यास की लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी होती है।
अतः, व्यास (d) को त्रिज्या (r) के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
व्यास (d) = 2 × त्रिज्या (r) = 2r
05. तीन संख्याओं 14, 27 और 13 के योग पर विचार कीजिए | हम यह योग दो प्रकार से ज्ञात कर सकते है : (a) GA पहले 14 और 27 को जोड़कर ४१ प्राप्त कर सकते हैं और फिर 41 में 13 जोड़कर कुल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं | या (0) हम पहले 27 और 13 को जोड़कर 40 प्राप्त कर सकते हैं और फिर इसे 14 में जोड़कर कुल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं | इस प्रकार, (14 + 27) + 13 5८ 14 + (27 + 13 ) हुआ | ऐसा किन्हीं भी तीन संख्याओं के लिए किया जा सकता है | यह गुण संख्याओं F AMT BH Areas (associative) गुण कहलाता है | इस गुण को जिसे हमें पूर्ण संड्याओं के अध्याय में पद चुके है, चर 3,0 और ८ का प्रयोग करते हुए, एक व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए |
हल: योग के साहचर्य (Associative) गुण को व्यापक रूप में व्यक्त करने के लिए हम तीन चर a, b और c का प्रयोग करते हैं।
इस गुण के अनुसार, तीन संख्याओं को जोड़ते समय, पहले किन्हीं दो संख्याओं का योग करके फिर तीसरी संख्या को जोड़ने पर प्राप्त परिणाम वही होता है, चाहे हम दूसरे जोड़े से शुरू करें।
इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
(a + b) + c = a + (b + c)
यहाँ a, b और c कोई भी तीन संख्याएँ हैं।
Exercise 11.4
01. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए : (9) सरिता की वर्तमान आयु ४ वर्ष लीजिए |
हल: माना सरिता की वर्तमान आयु = y वर्ष
- अब से 5 वर्ष बाद उसकी आयु क्या होगी ?
5 वर्ष बाद आयु = वर्तमान आयु + 5
आयु = (y + 5) वर्ष
- 3 वर्ष पहले उसकी आयु क्या थी ?
3 वर्ष पहले आयु = वर्तमान आयु - 3
आयु = (y - 3) वर्ष
- सरिता के दादाजी की आयु उसकी आयु की 6 गुनी है | उसके दादाजी की क्या आयु है ?
दादाजी की आयु = 6 × सरिता की आयु
आयु = 6 × y = 6y वर्ष
- उसकी दादीजी दादाजी से 2 वर्ष छोटी हैं | दादीजी की आयु क्या है ?
दादीजी की आयु = दादाजी की आयु - 2
आयु = (6y - 2) वर्ष
- सरिता के पिता की आयु सरिता की आयु के तीन गुने से 5 वर्ष अधिक है | उसके पिता की आयु क्या है |
पिता की आयु = (3 × सरिता की आयु) + 5
आयु = (3y + 5) वर्ष
(0) एक आयताकार हॉल की लंबाई उसकी चौड़ाई के तिगुने से 4 मीटर कम है | यदि चौड़ाई ७9 मीटर है, तो लंबाई क्या है ?
हल: माना हॉल की चौड़ाई = b मीटर
प्रश्नानुसार, लंबाई चौड़ाई के तीन गुने से 4 मीटर कम है।
चौड़ाई का तीन गुना = 3b
अतः, लंबाई = 3b - 4
लंबाई = (3b - 4) मीटर
(०) एक आयताकार बक्स की ऊँचाई ॥ सेमी है | इसकी लंबाई, ऊँचाई की 5 गुनी है और चौड़ाई, लंबाई से 10 सेमी कम है | बक्स की लंबाई और चौड़ाई को ऊँचाई के पदों में व्यक्त कीजिए |
हल: माना बक्स (बॉक्स) की ऊँचाई = h सेमी
लंबाई, ऊँचाई की 5 गुनी है।
लंबाई = 5 × h = 5h सेमी
चौड़ाई, लंबाई से 10 सेमी कम है।
चौड़ाई = लंबाई - 10 = (5h - 10) सेमी
(4) मीना, बीना और लीना पहाड़ी चोटी पर पहुँचने के लिए सीढीयाँ चढ़ रही हैं | मीना सीढ़ी ७ पर है | बीना, मीना से 8 सीढियाँ आगे है और लीना मीना से 7 सीढियाँ पीछे है | बीना और लीना कहाँ पर हैं ? चोटी पर पहुँचने के लिए कुल सीढियाँ मीना द्वारा चढ़ी गयी सीढ़ियों की संख्या के चार गुने से 10 कम है | सीढ़ियों की कुल संख्या को ७ पदों में व्यक्त कीजिए |
हल: माना मीना द्वारा चढ़ी गई सीढ़ियों की संख्या = s
- बीना की स्थिति: मीना से 8 सीढ़ियाँ आगे।
बीना की स्थिति = s + 8
- लीना की स्थिति: मीना से 7 सीढ़ियाँ पीछे।
लीना की स्थिति = s - 7
- कुल सीढ़ियों की संख्या: मीना द्वारा चढ़ी सीढ़ियों के चार गुने से 10 कम।
मीना की सीढ़ियों का चार गुना = 4s
इससे 10 कम = 4s - 10
कुल सीढ़ियाँ = (4s - 10)
(८) एक बस ४ किमी प्रति घंटा की चाल से चल रही है | यह दासपुर से बीसपुर जा रही है | बस के 5 घंटे चलने के बाद भी बीसपुर 20 किमी दूर रह जाता है | दासपुर से बीसपुर की दूरी क्या है? इसे ४ का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए |
हल: माना बस की चाल = v किमी/घंटा
बस द्वारा 5 घंटे में तय की गई दूरी = चाल × समय
तय दूरी = v × 5 = 5v किमी
इस दूरी के बाद भी बीसपुर
20 किमी दूर है।
अतः, दासपुर से बीसपुर की कुल दूरी = तय दूरी + शेष दूरी
कुल दूरी = 5v + 20 किमी
02. व्यंजकों के प्रयोग से बने निम्न कथनों को साधारण भाषा के कथनों में बदलिए : (उदाहरणार्थ, एक क्रिकेट मैच में सलीम ने ॥ रन बनाए और नलिन ने (/ + 15) रन बनाए | साधारण भाषा में, नलिन ने सलीम से 15 रन अधिक बनाए हैं )|
हल:
- एक अभ्यास - पुस्तिका का मूल्य |? रु, है |
