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UP Board Class 6 Maths (14. प्रायोगिक ज्यामिति) solution PDF

UP Board Class 6 Maths 14. प्रायोगिक ज्यामिति is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 6 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.

UP Board Class 6 Maths (14. प्रायोगिक ज्यामिति) solution

UP Board Class 6 Maths 14. प्रायोगिक ज्यामिति Hindi Medium Solutions - PDF

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UP Board Solutions for Class 6 Maths

14. प्रायोगिक ज्यामिति

Exercise 14.1

01. 3.2 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए |

हल : 3.2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचने के चरण निम्नलिखित हैं:

  1. सर्वप्रथम, अपने पैमाने (रूलर) की सहायता से परकार (कम्पास) की नोंक के बीच की दूरी 3.2 सेमी कर लीजिए।
  2. कागज पर एक बिंदु O अंकित कीजिए, जो वृत्त का केंद्र होगा।
  3. परकार की नोंक (सुई वाला भाग) बिंदु O पर रखिए।
  4. परकार के पेंसिल वाले भाग को धीरे-धीरे पूरा घुमाकर एक वृत्त बनाइए।

इस प्रकार, 3.2 सेमी त्रिज्या वाला अभीष्ट वृत्त बन जाएगा।

02. एक ही केंद्र O लेकर त्रिज्या 4 सेमी और 2.5 सेमी वाले दो वृत्त खींचिए |

हल : एक ही केंद्र पर दो वृत्त खींचने की रचना के पद:

  1. कागज पर एक बिंदु O अंकित कीजिए, जो दोनों वृत्तों का सामान्य केंद्र होगा।
  2. परकार को 4 सेमी त्रिज्या के लिए खोलिए। परकार की नोंक O पर रखकर एक वृत्त खींचिए। यह बड़ा वृत्त है।
  3. अब परकार को 2.5 सेमी त्रिज्या के लिए खोलिए। पुनः परकार की नोंक उसी केंद्र O पर रखिए।
  4. परकार को घुमाकर दूसरा, छोटा वृत्त खींचिए।

इस प्रकार, एक ही केंद्र O वाले 4 सेमी और 2.5 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त प्राप्त हो जाएँगे।

03. एक वृत्त और उसके कोई दो व्यास खींचिए | यदि व्यास परस्पर लंब हों, तो कौन सी आकृति प्राप्त होगी ? आप कौन सी आकृति प्राप्त होती है ? यदि व्यास परस्पर लंब हों, तो कौन सी आकृति प्राप्त होगी ? आप अपने उत्तर की जाँच किस प्रकार करेंगे ?

हल :

  1. सर्वप्रथम एक वृत्त खींचिए।
  2. इस वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली कोई दो रेखाएँ (व्यास) खींचिए। मान लीजिए ये AB और CD हैं।
  3. यदि ये दोनों व्यास परस्पर लंब हैं (अर्थात् ∠AOC = 90°), तो वे वृत्त को चार बिंदुओं पर काटेंगे। इन चारों बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त आकृति एक वर्ग होगी।
  4. जाँच का तरीका: हम सेट स्क्वेयर या चाँदे का उपयोग करके जाँच सकते हैं कि केंद्र पर बने चारों कोण 90° के हैं या नहीं। साथ ही, परकार की सहायता से यह जाँच सकते हैं कि केंद्र से वृत्त की परिधि तक की सभी चार दूरियाँ (त्रिज्याएँ) बराबर हैं, जो वर्ग के शीर्षों की स्थिति को निर्धारित करती हैं।

04. एक वृत्त खींचिए और बिंदु A, B और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि (a) A वृत्त पर स्थित हो | (b) B वृत्त के अभ्यंतर में स्थित हो | (c) C वृत्त के बहिभार्ग में स्थित हो |

हल :

  1. एक वृत्त खींचिए।
  2. बिंदु A: वृत्त की रेखा (परिधि) पर ही कोई बिंदु अंकित कीजिए। यह बिंदु A है।
  3. बिंदु B: वृत्त के अंदर के क्षेत्र (अभ्यंतर) में कोई बिंदु अंकित कीजिए। यह बिंदु B है।
  4. बिंदु C: वृत्त के बाहर के क्षेत्र (बहिभाग) में कोई बिंदु अंकित कीजिए। यह बिंदु C है।

इस प्रकार, तीनों बिंदु वृत्त के सापेक्ष अलग-अलग स्थितियों में होंगे।

05. मान लीजिए A और B समान त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के केंद्र हैं | इन्हें इस प्रकार खींचिए ताकि एक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर जाए | इन्हें C और D पर प्रतिच्छेद करने दीजिए | जाँच कीजिए कि क्या AB और CD परस्पर समकोण पर हैं |

हल :

  1. एक रेखाखंड AB खींचिए।
  2. बिंदु A को केंद्र मानकर और AB को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए।
  3. बिंदु B को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या (AB) से दूसरा वृत्त खींचिए। चूँकि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हैं, इसलिए प्रत्येक वृत्त दूसरे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरेगा।
  4. दोनों वृत्त एक-दूसरे को दो बिंदुओं C और D पर काटेंगे। बिंदु C और D को अंकित कीजिए।
  5. बिंदु C और D को मिलाकर रेखाखंड CD खींचिए।
  6. जाँच: रेखाखंड AB और CD एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। यदि हम सेट स्क्वेयर या चाँदे से कोण मापें, तो हम पाएँगे कि AB और CD परस्पर समकोण (90°) पर हैं। यह इसलिए होता है क्योंकि दोनों वृत्त समान त्रिज्या के हैं और CD उभयनिष्ठ जीवा है, जबकि AB केंद्रों को मिलाने वाली रेखा है। समान त्रिज्या वाले प्रतिच्छेदी वृत्तों में, केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है।

Exercise 14.2

01. रूलर का प्रयोग करके 7.3 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड खींचिए |

हल : रूलर (पैमाने) का प्रयोग करके रेखाखंड खींचने की विधि:

  1. सर्वप्रथम, कागज पर एक बिंदु P अंकित कीजिए।
  2. रूलर को इस प्रकार रखिए कि उसका शून्य (0) अंक बिंदु P के ठीक ऊपर आए।
  3. रूलर पर 7.3 सेमी का चिह्न देखिए और उसके सामने कागज पर एक बिंदु Q अंकित कीजिए।
  4. अब रूलर की सहायता से बिंदु P और Q को सीधी रेखा से मिला दीजिए।

इस प्रकार, 7.3 सेमी लंबा रेखाखंड PQ प्राप्त हो जाता है।

02. रूलर और परकार का प्रयोग करते हुए 5.6 सेमी लंबाई का रेखाखंड का एक रेखाखंड खींचिए |

हल : रूलर और परकार द्वारा रेखाखंड की रचना:

  1. सबसे पहले, रूलर की सहायता से 5.6 सेमी से अधिक लंबी एक आधार रेखा खींच लीजिए।
  2. इस रेखा पर एक बिंदु M अंकित कीजिए।
  3. अब परकार को रूलर पर शून्य (0) और 5.6 सेमी के बीच खोलकर 5.6 सेमी का चाप लगा लीजिए।
  4. परकार की नोंक बिंदु M पर रखिए और रेखा पर एक चाप लगाइए, जो रेखा को दूसरे बिंदु N पर काटे।
  5. बिंदु M और N को मिलाने पर प्राप्त रेखाखंड MN ही 5.6 सेमी लंबा अभीष्ट रेखाखंड है। रूलर से मापकर इसकी लंबाई जाँच सकते हैं।

03. 7.8 सेमी लंबाई का रेखाखंड AB खींचिए | इसमें से AC काटिए जिसकी लंबाई 4.7 सेमी हो | BC को मापिए |

हल :

  1. सर्वप्रथम रूलर की सहायता से 7.8 सेमी लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
  2. बिंदु A से शुरू करते हुए, परकार की सहायता से या रूलर से ही, रेखाखंड AB पर 4.7 सेमी की दूरी पर एक बिंदु C अंकित कीजिए। इस प्रकार रेखाखंड AC = 4.7 सेमी काट लिया गया।
  3. शेष बचा हुआ भाग रेखाखंड CB है।
  4. अब रूलर से रेखाखंड CB की लंबाई मापिए।
    माप: CB = AB - AC = 7.8 सेमी - 4.7 सेमी = 3.1 सेमी

04. 3.9 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB दिया है | एक रेखाखंड PQ खींचिए जो रेखाखंड AB का दोगुना हो | मापन से अपनी रचना की जाँच कीजिए |

हल :

  1. सबसे पहले दिए गए रेखाखंड AB (3.9 सेमी) की लंबाई परकार में नोट कर लीजिए।
  2. कागज पर एक बिंदु P अंकित कीजिए।
  3. परकार की सहायता से AB की लंबाई के बराबर चाप लगाकर, बिंदु P से एक बिंदु X अंकित कीजिए, ताकि PX = AB हो।
  4. अब बिंदु X को नया केंद्र मानते हुए, पुनः परकार से AB की लंबाई के बराबर चाप लगाइए और बिंदु Q अंकित कीजिए, ताकि XQ = AB हो।
  5. बिंदु P, X और Q को मिलाकर देखिए। रेखाखंड PQ प्राप्त होगा, जहाँ PX और XQ दोनों AB के बराबर हैं।
  6. अतः PQ = PX + XQ = AB + AB = 2 × AB
  7. जाँच: रूलर से PQ की लंबाई मापिए। यह 2 × 3.9 = 7.8 सेमी होनी चाहिए।

05. 7.3 सेमी लंबाई का रेखाखंड AB और 3.4 सेमी लंबाई का रेखाखंड CD दिया है | एक रेखाखंड XY खींचिए ताकि XY की लंबाई AB और CD की लंबाइयों के अंतर के बराबर हो |

हल :

  1. सबसे पहले रूलर की सहायता से 7.3 सेमी लंबा रेखाखंड AB खींचिए (या उसकी लंबाई परकार में नोट कर लें)।
  2. अब हमें एक ऐसा रेखाखंड XY खींचना है जिसकी लंबाई = AB - CD = 7.3 सेमी - 3.4 सेमी = 3.9 सेमी हो।
  3. कागज पर एक बिंदु X अंकित कीजिए।
  4. परकार को पहले AB की लंबाई (7.3 सेमी) के बराबर खोलिए। बिंदु X से एक लंबी चाप लगा दीजिए (पूरी रेखा नहीं खींचनी)।
  5. अब परकार को CD की लंबाई (3.4 सेमी) के बराबर खोलिए। परकार की नोंक पहले लगाए गए चाप पर रखिए और एक चिह्न लगाइए, जो चाप को दो बिंदुओं पर काटेगा।
  6. इनमें से वह बिंदु Y चुनिए जो X के करीब है। रेखाखंड XY की लंबाई AB - CD के बराबर, यानी 3.9 सेमी होगी।
  7. रूलर से मापकर जाँच कीजिए कि XY = 3.9 सेमी है।

Exercise 14.4

01. एक रेखाखंड AB खींचिए | इस पर कोई बिंदु M अंकित कीजिए | M से होकर AB पर एक लंब, रूलर और परकार द्वारा खींचिए |

हल : रूलर और परकार द्वारा किसी बिंदु से रेखाखंड पर लंब खींचना:

  1. सर्वप्रथम एक रेखाखंड AB खींचिए और उस पर एक बिंदु M अंकित कीजिए।
  2. बिंदु M को केंद्र मानकर और परकार को किसी सुविधाजनक त्रिज्या पर खोलकर, रेखाखंड AB को दो बिंदुओं P और Q पर काटते हुए चाप लगाइए। (यहाँ PM = MQ होगा)।
  3. अब P को केंद्र मानकर और परकार को PM से अधिक त्रिज्या पर खोलकर, रेखाखंड AB के एक ओर (ऊपर या नीचे) एक चाप लगाइए।
  4. बिना परकार की त्रिज्या बदले, Q को केंद्र मानकर एक और चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को बिंदु N पर काटे।
  5. बिंदु M और N को मिलाकर रेखा MN खींचिए।

रेखा MN ही बिंदु M से होकर जाने वाली AB पर लंब रेखा है।

02. एक रेखाखंड PQ खींचिए | कोई बिंदु R लीजिए PQ के बाहर | R से PQ पर एक लंब खींचिए | (रूलर और सेट स्क्वेयर द्वारा)

हल : रूलर और सेट स्क्वेयर (समकोणक) द्वारा लंब खींचना:

  1. एक रेखाखंड PQ खींचिए। रेखाखंड PQ के बाहर कोई बिंदु R अंकित कीजिए।
  2. रूलर को रेखाखंड PQ के साथ इस प्रकार रखिए कि वह उसके समांतर हो जाए और स्थिर रहे।
  3. अब सेट स्क्वेयर के समकोण वाले शीर्ष को बिंदु R पर रखिए और उसकी एक भुजा रूलर के किनारे के सटाकर रखिए।
  4. सेट स्क्वेयर को रूलर के सहारे तब तक सरकाइए जब तक कि उसकी दूसरी भुजा बिंदु R से होकर न जाने लगे।
  5. इस स्थिति में, सेट स्क्वेयर की बिंदु R से होकर जाने वाली भुजा के सहारे एक रेखा खींचिए, जो PQ को बिंदु S पर काटे।

रेखा RS ही बिंदु R से रेखाखंड PQ पर डाला गया लंब है।

03. एक रेखा l खींचिए और उस पर एक बिंदु X लीजिए, रेखा l पर X से एक लंब रेखाखंड XY खींचिए | अब Y से XY पर एक लंब रूलर और परकार द्वारा खींचिए |

हल :

  1. सबसे पहरे एक रेखा 'l' खींचिए और उस पर एक बिंदु X अंकित कीजिए।
  2. पहला लंब: प्रश्न 01 में बताई गई रूलर-परकार विधि से, बिंदु X से रेखा 'l' पर लंब रेखाखंड XY खींचिए।
  3. दूसरा लंब: अब हमें बिंदु Y से, रेखाखंड XY पर ही लंब खींचना है। इसके लिए Y को केंद्र मानकर एक चाप लगाइए जो XY को दो बिंदुओं A और B पर काटे (YA = YB हो)।
  4. अब A और B को केंद्र मानकर, YA से अधिक त्रिज्या लेकर, XY के एक ओर दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को बिंदु Z पर काटें।
  5. Y और Z को मिलाकर रेखा YZ खींचिए।

रेखा YZ, रेखाखंड XY पर बिंदु Y से खींचा गया लंब है। दिलचस्प बात यह है कि रेखा YZ, मूल रेखा 'l' के समांतर होगी।

Exercise 14.5

01. 7.3 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए और उसकी सममिति अक्ष ज्ञात कीजिए |

हल : किसी रेखाखंड की सममिति अक्ष उसका लंब समद्विभाजक होती है। रचना के चरण:

  1. सर्वप्रथम 7.3 सेमी लंबा रेखाखंड AB खींचिए।
  2. परकार को AB की लंबाई के आधे (लगभग 3.65 सेमी) से अधिक खोलकर, A को केंद्र मानकर रेखाखंड AB के दोनों ओर चाप लगाइए।
  3. बिना परकार की त्रिज्या बदले, B को केंद्र मानकर पुनः चाप लगाइए, जो पहले वाले चापों को क्रमशः P और Q पर काटें।
  4. बिंदु P और Q को मिलाकर रेखा PQ खींचिए।

रेखा PQ ही रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है और यही AB की सममिति अक्ष है। यह AB को समद्विभाजित करती है और उस पर लंब होती है।

02. 9.5 सेमी लंब एक रेखाखंड खींचिए और उसका लंब समद्विभाजक खींचिए |

हल :

  1. रूलर की सहायता से 9.5 सेमी लंबा एक रेखाखंड MN खींचिए।
  2. परकार को लगभग 5 सेमी (MN के आधे से थोड़ा अधिक) त्रिज्या पर खोलिए।
  3. बिंदु M को केंद्र मानकर, रेखाखंड MN के दोनों ओर (ऊपर और नीचे) चाप लगाइए।
  4. बिना त्रिज्या बदले, बिंदु N को केंद्र मानकर पुनः चाप लगाइए, जो पहले वाले चापों को बिंदु X और Y पर काटें।
  5. बिंदु X और Y को मिलाकर रेखा XY खींचिए।

रेखा XY रेखाखंड MN का लंब समद्विभाजक है। यह MN को उसके मध्य बिंदु O पर समकोण पर काटती है। रूलर से जाँच करने पर MO = ON = 4.75 सेमी होगा।

03. एक रेखाखंड XY का लंब समद्विभाजक खींचिए जिसकी लंबाई 10.3 सेमी है | (a) इस लंब समद्विभाजक पर कोई बिंदु P लीजिए | जाँच कीजिए कि PX = PY है | (b) यदि M रेखाखंड XY का मध्य बिंदु है, तो MX और XY के विषय में आप क्या कह सकते हैं ?

हल :

रचना: पहले 10.3 सेमी लंबा रेखाखंड XY खींचिए। फिर ऊपर बताई विधि से इसका लंब समद्विभाजक, मान लीजिए रेखा l, खींचिए।

(a) लंब समद्विभाजक रेखा l पर कोई भी बिंदु P लीजिए। अब परकार की सहायता से PX और PY की लंबाई मापिए या रूलर से मापकर देखिए।
जाँच का परिणाम: हम पाएँगे कि PX = PY है। ऐसा इसलिए क्योंकि लंब समद्विभाजक पर स्थित प्रत्येक बिंदु रेखाखंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

(b) यदि M रेखाखंड XY का मध्य बिंदु है, तो:

  1. MX = MY (क्योंकि M, XY को समद्विभाजित करता है)।
  2. MX (या MY) की लंबाई, XY की लंबाई की आधी होगी। अर्थात, MX = XY/2 = 10.3/2 = 5.15 सेमी।

04. लंबाई 12.8 सेमी वाला एक रेखाखंड खींचिए | रूलर और परकार की सहायता से इसके चार बराबर भाग कीजिए | मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए |

हल :

  1. सबसे पहले 12.8 सेमी लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
  2. पहला चरण: रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक खींचकर इसे दो बराबर भागों AC और CB में बाँटिए। प्रत्येक भाग 6.4 सेमी का होगा। मध्य बिंदु को M₁ कह सकते हैं।
  3. दूसरा चरण: अब रेखाखंड AC (6.4 सेमी) का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह AC को दो बराबर भागों AD और DC में बाँट देगा, प्रत्येक 3.2 सेमी का। इसका मध्य बिंदु M₂ होगा।
  4. तीसरा चरण: इसी प्रकार, रेखाखंड CB (6.4 सेमी) का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह CB को दो बराबर भागों CE और EB में बाँट देगा, प्रत्येक 3.2 सेमी का। इसका मध्य बिंदु M₃ होगा।

इस प्रकार, रेखाखंड AB बिंदु M₂, M₁ और M₃ पर विभाजित होकर चार बराबर भागों AD, DC, CE और EB में बँट जाता है।
जाँच: रूलर से मापने पर प्रत्येक भाग की लंबाई = 12.8 ÷ 4 = 3.2 सेमी होनी चाहिए।

05. 6.1 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड PQ खींचिएऔर फिर PQ को व्यास मानकर एक वृत्त खींचिए |

हल :

  1. सर्वप्रथम 6.1 सेमी लंबा रेखाखंड PQ खींचिए।
  2. रेखाखंड PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्य बिंदु O ज्ञात कीजिए। चूँकि PQ = 6.1 सेमी, इसलिए OP = OQ = 3.05 सेमी। यह बिंदु O वृत्त का केंद्र होगा।
  3. अब परकार की नोंक केंद्र O पर रखिए और पेंसिल वाला भाग बिंदु P या Q तक खोलिए (त्रिज्या = OP = 3.05 सेमी)।
  4. परकार को पूरा घुमाकर एक वृत्त खींच दीजिए।

इस प्रकार खींच

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