UP Board class 7 Maths 6. त्रिभुज और उसके गुण is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. class 7 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
उत्तर 1:
त्रिभुज PQR में, भुजा QR का मध्य बिंदु D है।
PM एक शीर्षलंब है क्योंकि ∠PMD = 90° है।
चूँकि QD = DR, इसलिए PD एक माध्यिका है।
नहीं, QM ≠ MR क्योंकि D, QR का मध्य बिंदु है, M नहीं। शीर्षलंब का आधार पर पड़ने वाला बिंदु (M) और मध्य बिंदु (D) अलग-अलग हो सकते हैं।
उत्तर 2:
(क) त्रिभुज ABC में, AD एक माध्यिका है, जिसका अर्थ है BD = DC।
उत्तर 3:
मान लीजिए एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है, जिसमें AB = AC है।
शीर्ष A से आधार BC पर लंब AD खींचते हैं। चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, यह लंब आधार BC को समद्विभाजित करता है, अर्थात BD = DC हो जाता है।
जब BD = DC होता है, तो AD माध्यिका भी हो जाती है।
उत्तर 1:
त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दोनों अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
(i) x = 50° + 70° = 120°
(ii) x = 65° + 45° = 110°
(iii) x = 30° + 40° = 70°
(iv) x = 60° + 60° = 120°
(v) x = 50° + 50° = 100°
(vi) x = 60° + 30° = 90°
उत्तर 2:
बाह्य कोण = दो अंतः सम्मुख कोणों का योग। इस गुण का उपयोग करके अज्ञात कोण ज्ञात करते हैं।
(i) 115° = x + 50° ⇒ x = 115° - 50° = 65°
(ii) 100° = 70° + x ⇒ x = 100° - 70° = 30°
(iii) 125° = x + 90° ⇒ x = 125° - 90° = 35°
(iv) 120° = 60° + x ⇒ x = 120° - 60° = 60°
(v) 80° = 30° + x ⇒ x = 80° - 30° = 50°
(vi) 75° = x + 35° ⇒ x = 75° - 35° = 40°
उत्तर 1:
त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° (कोण योग गुण) होता है।
(i) ΔABC में,
x + 50° + 60° = 180°
x + 110° = 180°
x = 180° - 110° = 70°
(ii) ΔPQR में, (ध्यान दें: दिए गए कोण ∠PQR=30° और ∠QRP=90° हैं)
x + 30° + 90° = 180°
x + 120° = 180°
x = 180° - 120° = 60°
(iii) ΔXYZ में,
x + 30° + 110° = 180°
x + 140° = 180°
x = 180° - 140° = 40°
(iv) समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर कोण x हैं।
x + x + 50° = 180°
2x + 50° = 180°
2x = 180° - 50° = 130°
x = 130° / 2 = 65°
(v) समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर (x) होते हैं।
x + x + x = 180°
3x = 180°
x = 180° / 3 = 60°
(vi) समकोण त्रिभुज में, एक कोण 90° है।
x + 2x + 90° = 180°
3x + 90° = 180°
3x = 180° - 90° = 90°
x = 90° / 3 = 30°
उत्तर 2:
(i) बाह्य कोण गुण से: 50° + x = 120° ⇒ x = 120° - 50° = 70°
त्रिभुज के कोण योग गुण से: 50° + 70° + y = 180° ⇒ 120° + y = 180° ⇒ y = 180° - 120° = 60°
(ii) कोण योग गुण से: 50° + 80° + y = 180° ⇒ 130° + y = 180° ⇒ y = 180° - 130° = 50°
बाह्य कोण गुण से: x = 50° + 60° = 110°
(iii) बाह्य कोण गुण से: x = 50° + 60° = 110°
कोण योग गुण से: 50° + 60° + y = 180° ⇒ 110° + y = 180° ⇒ y = 180° - 110° = 70°
(iv) उर्ध्वाधर सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए x = 60°
कोण योग गुण से: 30° + 60° + y = 180° ⇒ 90° + y = 180° ⇒ y = 180° - 90° = 90°
(v) कोण योग गुण से (समकोण त्रिभुज): 90° + x + x = 180° ⇒ 90° + 2x = 180° ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°
उर्ध्वाधर सम्मुख कोण के कारण y = 90° (त्रिभुज का समकोण) = 90°
(vi) उर्ध्वाधर सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए त्रिभुज के दो कोण x हैं।
कोण योग गुण से: x + x + x = 180° ⇒ 3x = 180° ⇒ x = 60°
उर्ध्वाधर सम्मुख कोण के कारण y = x = 60°
उत्तर 1:
त्रिभुज असमिका के अनुसार, किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
(i) 2 cm, 3 cm, 5 cm
2 + 3 = 5 (योग, तीसरी भुजा के बराबर है, अधिक नहीं)
2 + 5 > 3 (सत्य)
3 + 5 > 2 (सत्य)
चूँकि पहली शर्त पूरी नहीं होती, इसलिए त्रिभुज संभव नहीं है।
(ii) 3 cm, 6 cm, 7 cm
3 + 6 = 9 > 7 (सत्य)
6 + 7 = 13 > 3 (सत्य)
3 + 7 = 10 > 6 (सत्य)
सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए त्रिभुज संभव है।
(iii) 6 cm, 3 cm, 2 cm
6 + 3 = 9 > 2 (सत्य)
6 + 2 = 8 > 3 (सत्य)
3 + 2 = 5 > 6 (असत्य, 5, 6 से छोटा है)
चूँकि एक शर्त पूरी नहीं होती, इसलिए त्रिभुज संभव नहीं है।
उत्तर 2:
त्रिभुज PQR के अंदर एक बिंदु O लिया गया है। O को शीर्षों से मिलाने पर तीन छोटे त्रिभुज बनते हैं। प्रत्येक में त्रिभुज असमिका लागू होती है।
(i) ΔOPQ में: OP + OQ > PQ (सही)
(ii) ΔOQR में: OQ + OR > QR (सही)
(iii) ΔORP में: OR + OP > RP (सही)
अतः, सभी कथन सही हैं।
उत्तर 3:
त्रिभुज ABC में, AM माध्यिका है, इसलिए BM = MC.
त्रिभुज असमिका को दो त्रिभुजों पर लगाते हैं:
1. ΔABM में: AB + BM > AM ... (1)
2. ΔACM में: AC + MC > AM ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
(AB + BM) + (AC + MC) > AM + AM
AB + AC + (BM + MC) > 2AM
चूँकि BM + MC = BC,
इसलिए, AB + AC + BC > 2AM
अतः, दिया गया कथन सत्य है।
उत्तर 4:
हाँ, यह सही है। किसी चतुर्भुज की चारों भुजाओं का योग उसके विकर्णों के योग से अधिक होता है।
माना चतुर्भुज ABCD है और उसके विकर्ण AC और BD हैं।
त्रिभुज असमिका को चार त्रिभुजों ΔABC, ΔADC, ΔDCB, और ΔADB पर लगाने पर हमें मिलता है:
AB + BC > AC
AD + DC > AC
DC + CB > DB
AD + AB > DB
इन सभी असमिकाओं को जोड़ने और पदों को व्यवस्थित करने पर सिद्ध होता है कि:
AB + BC + CD + DA > AC + BD
उत्तर 5:
हाँ, यह सही है। किसी चतुर्भुज की चारों भुजाओं का योग उसके विकर्णों के योग के दोगुने से कम होता है।
माना चतुर्भुज ABCD है और विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
त्रिभुज असमिका को ΔOAB, ΔOBC, ΔOCD और ΔODA पर लगाने पर:
AB < OA + OB
BC < OB + OC
CD < OC + OD
DA < OD + OA
इन सभी असमिकाओं को जोड़ने और पदों को व्यवस्थित करने पर सिद्ध होता है कि:
AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)
उत्तर 6:
माना त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई 'x' cm है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार:
1. 12 + 15 > x ⇒ 27 > x या x < 27 cm
2. 12 + x > 15 ⇒ x > 3 cm
3. 15 + x > 12 ⇒ x > -3 cm (यह शर्त हमेशा सत्य रहेगी क्योंकि लंबाई धनात्मक होती है)
पहली दो शर्तों से, हमें मिलता है: 3 cm < x < 27 cm
अतः, तीसरी भुजा की लंबाई 3 cm से अधिक और 27 cm से कम होनी चाहिए।
उत्तर 1:
ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠P = 90° है।
दिया है: PQ = 10 cm (एक भुजा), PR = 24 cm (दूसरी भुजा)
QR (कर्ण) ज्ञात करना है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
यहाँ, कर्ण = QR, आधार और लंब PQ व PR हैं।
(QR)² = (PQ)² + (PR)²
(QR)² = (10)² + (24)² = 100 + 576 = 676
QR = √676 = 26 cm
अतः, भुजा QR की लंबाई 26 cm है।
उत्तर 2:
ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है।
दिया है: AB = 25 cm (कर्ण), AC = 7 cm (एक भुजा)
BC (दूसरी भुजा) ज्ञात करना है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
(AB)² = (AC)² + (BC)²
(25)² = (7)² + (BC)²
625 = 49 + (BC)²
(BC)² = 625 - 49 = 576
BC = √576 = 24 cm
अतः, भुजा BC की लंबाई 24 cm है।
उत्तर 3:
माना दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी 'a' m है।
सीढ़ी, दीवार और भूमि एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ:
कर्ण (सीढ़ी की लंबाई) = 15 m
लंब (खिड़की की ऊँचाई) = 12 m
आधार (दीवार से दूरी) = a m
पाइथागोरस प्रमेय से: (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
(15)² = (a)² + (12)²
225 = a² + 144
a² = 225 - 144 = 81
a = √81 = 9 m
अतः, दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी 9 m है।
उत्तर 4:
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जाँच करते हैं: (सबसे लंबी भुजा)² = (पहली भुजा)² + (दूसरी भुजा)²
(i) भुजाएँ: 2.5 cm, 6 cm, 6.5 cm (सबसे लंबी = 6.5 cm)
(6.5)² = 42.25
(6)² + (2.5)² = 36 + 6.25 = 42.25
चूँकि दोनों बराबर हैं, अतः यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
समकोण, सबसे लंबी भुजा (6.5 cm) के सामने होगा, अर्थात 6 cm और 2.5 cm भुजाओं के बीच का कोण समकोण (90°) होगा।
(ii) भुजाएँ: 2 cm, 2 cm, 5 cm (सबसे लंबी = 5 cm)
(5)² = 25
(2)² + (2)² = 4 + 4 = 8
25 ≠ 8, अतः यह एक समकोण त्रिभुज नहीं बनाता।
(iii) भुजाएँ: 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm (सबसे लंबी = 2.5 cm)
(2.5)² = 6.25
(1.5)² + (2)² = 2.25 + 4 = 6.25
चूँकि दोनों बराबर हैं, अतः यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
समकोण, सबसे लंबी भुजा (2.5 cm) के सामने होगा, अर्थात 1.5 cm और 2 cm भुजाओं के बीच का कोण समकोण (90°) होगा।
उत्तर 5:
माना पेड़ का टूटा हुआ भाग AC है और खड़ा हुआ भाग CB है।
दिया है: खड़े हुए भाग की ऊँचाई, BC = 5 m
पेड़ के आधार से टूटे हुए सिरे की दूरी, AB = 12 m
टूटे हुए भाग AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय ΔABC में लगाते हैं:
(AC)² = (AB)² + (BC)²
(AC)² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169
AC = √169 = 13 m
पेड़ की कुल ऊँचाई = खड़ा भाग + टूटा भाग = BC + AC = 5 m + 13 m = 18 m
अतः, पेड़ की पूरी ऊँचाई 18 m थी।
उत्तर 6:
ΔPQR में, ∠Q = 25° और ∠R = 65° दिया है।
कोण योग गुण से: ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
∠P + 25° + 65° = 180°
∠P + 90° = 180°
∠P = 180° - 90° = 90°
अतः, ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠P समकोण है।
समकोण के सामने की भुजा कर्ण होती है, जो कि QR है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: (QR)² = (PQ)² + (PR)²
दिए गए विकल्पों में से यह विकल्प (i) PQ² + PR² = QR² के अनुरूप है।
अतः, सही कथन विकल्प (i) है।
उत्तर 7:
माना आयत PQRS है, जहाँ लंबाई PQ = 40 cm और विकर्ण PR = 41 cm है।
चौड़ाई QR ज्ञात करने के लिए समकोण ΔPQR में पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं:
(PR)² = (PQ)² + (QR)²
(41)² = (40)² + (QR)²
1681 = 1600 + (QR)²
(QR)² = 1681 - 1600 = 81
QR = √81 = 9 cm
आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (40 cm + 9 cm) = 2 × 49 cm = 98 cm
अतः,
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