UP Board class 7 Maths (7. त्रिभुजों की सर्वांगसमता) solution PDF

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UP Board class 7 Maths 7. त्रिभुजों की सर्वांगसमता Hindi Medium Solutions - PDF

गणित (कक्षा-7)

अध्याय - 7: त्रिभुजों की सर्वांगसमता

प्रश्नावली 7.1
प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए
(a) दो रेखाखंड सर्वागसम होते हैं यदि
(b) दो सर्वागसम कोणों में से एक की माप 70° है, दूसरे कोण की माप है।
(c) जब हम ∠A = ∠B लिखते हैं, हमारा वास्तव में अर्थ होता है |

उत्तर 1:
(a) दो रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी लंबाइयाँ बराबर हों।
(b) दो सर्वांगसम कोणों में से एक की माप 70° है, दूसरे कोण की माप भी 70° है, क्योंकि सर्वांगसम कोणों का माप समान होता है।
(c) जब हम ∠A = ∠B लिखते हैं, हमारा वास्तव में अर्थ होता है कि कोण A का माप, कोण B के माप के बराबर है (m∠A = m∠B)।

प्रश्न 2: वास्तविक जीवन से संबंधित सर्वागसम आकारों के कोई दो उदाहरण दीजिए।

उत्तर 2:
वास्तविक जीवन में सर्वांगसम आकारों के दो उदाहरण हैं:
1. एक ही कंपनी द्वारा बनाए गए दो नए पचास रुपये के नोट।
2. एक ही मोल्ड से ढाले गए दो इंजीनियरिंग ड्राइंग के सेट-स्क्वायर।

प्रश्न 3: यदि सुमेलन ABC ↔ FED के अंतर्गत Δ ABC ≅ Δ FED तो त्रिभुजों के सभी संगत सर्वांगसम भागों को लिखिए।

उत्तर 3:
दिया है: Δ ABC ≅ Δ FED, जहाँ सुमेलन A ↔ F, B ↔ E, और C ↔ D है।
त्रिभुजों के सभी संगत सर्वांगसम भाग निम्नलिखित हैं:
भुजाएँ:
(i) AB ≅ FE
(ii) BC ≅ ED
(iii) AC ≅ FD
कोण:
(iv) ∠A ≅ ∠F
(v) ∠B ≅ ∠E
(vi) ∠C ≅ ∠D

प्रश्न 4: यदि Δ DEF ≅ Δ BCA हो, तो Δ DEF के उन भागों को लिखिए जो निम्न के संगत हो:
(i) ∠E (ii) EF (iii) ∠F (iv) DF

उत्तर 4:
दिया है: Δ DEF ≅ Δ BCA। इसका अर्थ है शीर्ष D ↔ B, E ↔ C, और F ↔ A के संगत हैं।
(i) ∠E का संगत भाग Δ BCA में ∠C है।
(ii) भुजा EF का संगत भाग Δ BCA में भुजा CA है।
(iii) ∠F का संगत भाग Δ BCA में ∠A है।
(iv) भुजा DF का संगत भाग Δ BCA में भुजा BA है।

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प्रश्नावली 7.2
प्रश्न 1: निम्न में आप कौन से सर्वागसम प्रतिबंधों का प्रयोग करेंगे?
(a) दिया है: AC = DF, AB = DE, BC = EF इसलिए, Δ ABC ≅ Δ DEF
(b) दिया है: RP = ZX, RQ=ZY, ∠PRQ= ∠XZY इसलिए, Δ PQR ≅ Δ XYZ
(c) दिया है: ∠MLN = ∠FGH, ∠NML= ∠HFG, ML = FG इसलिए, Δ LMN ≅ Δ GFH
(d) दिया है: EB = BD, AE=CB, ∠A= ∠C= 90° इसलिए, Δ ABE ≅ Δ CDB

उत्तर 1:
(a) SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता प्रतिबंध, क्योंकि ΔABC की तीनों भुजाएँ (AB, BC, AC) ΔDEF की तीनों संगत भुजाओं (DE, EF, DF) के बराबर दी गई हैं।
(b) SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता प्रतिबंध, क्योंकि ΔPQR की दो भुजाएँ (RP, RQ) और उनके बीच का कोण (∠PRQ) ΔXYZ की दो संगत भुजाओं (ZX, ZY) और उनके बीच के कोण (∠XZY) के बराबर दिया गया है।
(c) ASA (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता प्रतिबंध, क्योंकि ΔLMN के दो कोण (∠MLN, ∠NML) और उन दोनों कोणों के बीच की भुजा (ML) ΔGFH के दो संगत कोणों (∠FGH, ∠HFG) और उनके बीच की भुजा (FG) के बराबर दी गई है।
(d) RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता प्रतिबंध, क्योंकि दोनों त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं (∠A = ∠C = 90°), उनके कर्ण (EB और BD) बराबर हैं, और एक-एक भुजा (AE और CB) भी बराबर दी गई है।

प्रश्न 2: आप Δ ART ≅ Δ PEN दर्शाना चाहते हैं;
(a) यदि आप SSS सर्वागसमता प्रतिबंध का प्रयोग करें तो आपको दर्शाने की आवश्यकता है:
(i) AR = (ii) RT = (iii) AT =
(b) यदि यह दिया गया है कि ∠T = ∠N और आपको SAS प्रतिबंध का प्रयोग करना है, तो आपको आवश्यकता होगी:
(i) RT = और (ii) PN =
(c) यदि यह दिया गया है कि AT = PN और आपको ASA प्रतिबंध का प्रयोग करना है, तो आपको आवश्यकता होगी:
(i) ? (ii) ?

उत्तर 2:
(a) SSS प्रतिबंध से Δ ART ≅ Δ PEN दर्शाने के लिए, हमें दिखाना होगा:
(i) AR = PE
(ii) RT = EN
(iii) AT = PN
(b) यदि ∠T = ∠N दिया है और SAS प्रतिबंध लगाना है, तो हमें आवश्यकता होगी:
(i) RT = EN (कोण ∠T की सम्मुख भुजा)
(ii) AT = PN (कोण ∠N की सम्मुख भुजा)
(c) यदि AT = PN दिया है और ASA प्रतिबंध लगाना है, तो हमें आवश्यकता होगी:
(i) ∠RAT = ∠EPN (भुजा AT का एक आसन्न कोण)
(ii) ∠RTA = ∠ENP (भुजा AT का दूसरा आसन्न कोण)

प्रश्न 3: आपको Δ AMP ≅ Δ AMQ दर्शाना है। निम्न चरणों में, रिक्त कारणों को भरिए:
क्र. कथन कारण
(i) PM = QM (i) _______
(ii) ∠PMA = ∠QMA (ii) _______
(iii) AM = AM (iii) _______
(iv) Δ AMP ≅ Δ AMQ (iv) _______

उत्तर 3:
क्र. कथन कारण
(i) PM = QM (i) दिया है
(ii) ∠PMA = ∠QMA (ii) दिया है
(iii) AM = AM (iii) उभयनिष्ठ भुजा
(iv) Δ AMP ≅ Δ AMQ (iv) SAS सर्वांगसमता प्रतिबंध (दो भुजाएँ PM, AM और उनके बीच का कोण ∠PMA, दूसरे त्रिभुज की दो संगत भुजाओं QM, AM और उनके बीच के कोण ∠QMA के बराबर हैं।)

प्रश्न 4: Δ ABC में, ∠A= 30°, ∠B= 40° और ∠C= 110°। Δ PQR में, ∠P= 30°, ∠Q= 40° और ∠R=110°। एक विद्यार्थी कहता है कि AAA सर्वागसम प्रतिबंध से Δ ABC ≅ Δ PQR है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों या क्यों नहीं?

उत्तर 4:
नहीं, यह कथन सत्य नहीं है। AAA (कोण-कोण-कोण) सर्वांगसमता के लिए एक मान्य प्रतिबंध नहीं है। यह केवल त्रिभुजों की समरूपता दर्शाता है, सर्वांगसमता नहीं। दो त्रिभुजों के सभी कोण बराबर होने पर भी उनकी संगत भुजाओं की लंबाई अलग-अलग हो सकती है, जिससे वे आकार में समान (सर्वांगसम) नहीं होंगे, बल्कि केवल आकृति में समान (समरूप) होंगे। इसलिए, केवल कोणों की बराबरी से सर्वांगसमता सिद्ध नहीं होती।

प्रश्न 5: आकृति में दो त्रिभुज ART तथा OWN सर्वांगसम हैं जिनके संगत भागों को अंकित किया गया है। हम लिख सकते हैं Δ RAT ≅ ?

उत्तर 5:
आकृति में दिए गए संगत अंकन के अनुसार:
∠R = ∠W, ∠A = ∠O, और भुजा AR = भुजा OW है।
चूँकि दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हैं, इसलिए हम लिख सकते हैं:
Δ RAT ≅ Δ WON (ASA सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा)।

प्रश्न 6: कथनों को पूरा कीजिए:
(a) Δ BCA ≅ ?
(b) Δ QRS ≅ ?

उत्तर 6:
(a) Δ BCA और Δ BTA में:
BC = BT (दिया है),
∠BCA = ∠BTA (दिया है),
भुजा CA = भुजा TA (दिया है)।
इसलिए, Δ BCA ≅ Δ BTA (SAS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा)।

(b) Δ QRS और Δ TPQ में:
QR = TP (दिया है),
RS = PQ (दिया है),
QS = TQ (दिया है)।
इसलिए, Δ QRS ≅ Δ TPQ (SSS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा)।

प्रश्न 7: एक वर्गांकित शीट पर, बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों को इस प्रकार बनाइए कि:
(i) त्रिभुज सर्वांगसम हो।
(ii) त्रिभुज सर्वागसम न हो।
आप उनके परिमाप के बारे में क्या कह सकते हैं?

उत्तर 7:
(i) सर्वांगसम त्रिभुज: यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो न केवल उनका क्षेत्रफल बराबर होगा बल्कि उनकी सभी संगत भुजाओं की लंबाई और सभी संगत कोण भी बराबर होंगे। इस स्थिति में उनके परिमाप भी बराबर होंगे।
(ii) सर्वांगसम न होने वाले त्रिभुज: बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज सर्वांगसम नहीं भी हो सकते। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज का आधार 6 इकाई और ऊँचाई 4 इकाई है (क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई)। दूसरे त्रिभुज का आधार 8 इकाई और ऊँचाई 3 इकाई है (क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई)। यहाँ क्षेत्रफल बराबर है, लेकिन भुजाएँ अलग-अलग हैं। इस स्थिति में उनके परिमाप बराबर नहीं होंगे।

प्रश्न 8: आकृति में एक सर्वांगसम भागों का एक अतिरिक्त युग्म बताइए जिससे Δ ABC और Δ PQR सर्वांगसम हो जाएँ। आपने किस प्रतिबंध का प्रयोग किया?

उत्तर 8:
दी गई आकृति में, Δ ABC और Δ PQR सर्वांगसम होने के लिए एक अतिरिक्त युग्म हो सकता है: AC = PR (भुजाएँ)।
प्रयुक्त प्रतिबंध: RHS (समकोण-कर्ण-भुजा)।
कारण: दोनों त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं (∠B = ∠Q = 90°), उनके कर्ण AC और PR बराबर होंगे (अतिरिक्त शर्त), और एक भुजा BC = QR पहले से दी गई है।

प्रश्न 9: किस अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, ताकि Δ ABC ≅ Δ FED?

उत्तर 9:
दी गई आकृति और जानकारी के अनुसार, Δ ABC और Δ FED सर्वांगसम (RHS प्रतिबंध द्वारा) होने के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है:
भुजा AB = भुजा FE
कारण: दोनों त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं (∠B = ∠E = 90°), उनके कर्ण AC और FD बराबर दिए गए हैं। RHS प्रतिबंध लागू करने के लिए हमें एक और समकोण की सम्मुख भुजा (यानी AB और FE) की बराबरी की आवश्यकता है।

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Other Chapters of class 7 Maths
1. पूर्णांक
2. भिन्न एवं दशमलव
3. आंकड़ों का प्रबंधन
4. सरल समीकरण
5. रेखा एवं कोण
6. त्रिभुज और उसके गुण
7. त्रिभुजों की सर्वांगसमता
8. राशियों की तुलना
9. परिमेय संख्याएँ
10. प्रायोगिक ज्यामिती
11. परिमाप और क्षेत्रफल
12. बीजीय व्यंजक
13. घातांक और घात
14. सममिति
15. ठोस आकारों का चित्रण