UP Board Class 8 Maths 11. क्षेत्रमिति is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 8 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
जैसा की संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए हैं। यदि इनके परिमाप समान हैं, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?
उत्तर 1:
दिया गया है:
वर्गाकार खेत की भुजा = 60 m
आयताकार खेत की लंबाई = 80 m
मान लीजिए आयताकार खेत की चौड़ाई = b m
प्रश्न के अनुसार दोनों खेतों का परिमाप समान है।
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 60 = 240 m
आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (80 + b)
चूँकि परिमाप समान हैं:
2 × (80 + b) = 240
80 + b = 120
b = 120 - 80 = 40 m
अब क्षेत्रफल की गणना करते हैं:
वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (60)² = 3600 m²
आयताकार खेत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 80 × 40 = 3200 m²
तुलना करने पर, 3600 m² > 3200 m²
अतः, वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा।
श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लाट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती हैं। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। ₹ 55 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर 2:
वर्गाकार प्लाट की भुजा = 25 m
वर्गाकार प्लाट का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (25)² = 625 m²
प्लाट के बीच में बने घर की लंबाई = 20 m और चौड़ाई = 15 m
घर का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 20 × 15 = 300 m²
बगीचे का क्षेत्रफल = प्लाट का क्षेत्रफल - घर का क्षेत्रफल
= 625 m² - 300 m² = 325 m²
बगीचा विकसित करने की दर = ₹ 55 प्रति वर्ग मीटर
बगीचे को विकसित करने का कुल व्यय = 325 × 55 = ₹ 17,875
अतः, बगीचे को विकसित करने का कुल व्यय ₹ 17,875 है।
जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आधार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [आयत की लंबाई 20 - (3.5 + 3.5) मीटर है।]
उत्तर 3:
दिया गया है:
बगीचे की कुल लंबाई = 20 m
अर्धवृत्त का व्यास = 7 m, इसलिए त्रिज्या (r) = 7/2 = 3.5 m
आयताकार भाग की लंबाई = 20 - (3.5 + 3.5) = 20 - 7 = 13 m
आयताकार भाग की चौड़ाई = अर्धवृत्त का व्यास = 7 m
क्षेत्रफल की गणना:
आयताकार भाग का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 13 × 7 = 91 m²
दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं।
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 3.5 × 3.5 = 38.5 m²
बगीचे का कुल क्षेत्रफल = 91 + 38.5 = 129.5 m²
परिमाप की गणना:
दो अर्धवृत्तों की परिधि (एक वृत्त की परिधि) = 2πr = 2 × (22/7) × 3.5 = 22 m
आयताकार भाग की दो लंबाइयाँ (13 m + 13 m) = 26 m
बगीचे का कुल परिमाप = 22 m + 26 m = 48 m
अतः, बगीचे का क्षेत्रफल 129.5 m² और परिमाप 48 m है।
फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समांतर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24 cm और संगत ऊँचाई 10 cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? [फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं।]
उत्तर 4:
टाइल का आधार = 24 cm = 0.24 m
टाइल की संगत ऊँचाई = 10 cm = 0.10 m
एक टाइल का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 0.24 m × 0.10 m = 0.024 m²
फर्श का कुल क्षेत्रफल = 1080 m²
आवश्यक टाइलों की संख्या = फर्श का कुल क्षेत्रफल ÷ एक टाइल का क्षेत्रफल
= 1080 ÷ 0.024 = 45,000
अतः, फर्श को ढकने के लिए 45,000 टाइलों की आवश्यकता है।
एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है। भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि सूत्र c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।
उत्तर 5:
हमें प्रत्येक आकृति का परिमाप (चींटी द्वारा तय की गई कुल दूरी) ज्ञात करना है। (π = 22/7 मानते हुए)
(a) आकृति: यह एक अर्धवृत्त है।
व्यास = 2.8 cm, इसलिए त्रिज्या (r) = 2.8/2 = 1.4 cm
अर्धवृत्त की परिधि = πr = (22/7) × 1.4 = 4.4 cm
चींटी द्वारा चली गई कुल दूरी = अर्धवृत्त की परिधि + व्यास
= 4.4 cm + 2.8 cm = 7.2 cm
(b) आकृति: यह एक अर्धवृत्त दो सीधे भुजाओं के साथ है।
अर्धवृत्त का व्यास = 2.8 cm, त्रिज्या (r) = 1.4 cm
अर्धवृत्त की परिधि = πr = (22/7) × 1.4 = 4.4 cm
चींटी द्वारा चली गई कुल दूरी = 1.5 cm + 2.8 cm + 1.5 cm + 4.4 cm = 10.2 cm
(c) आकृति: यह एक अर्धवृत्त है।
व्यास = 2.8 cm, त्रिज्या (r) = 1.4 cm
अर्धवृत्त की परिधि = πr = (22/7) × 1.4 = 4.4 cm
चींटी द्वारा चली गई कुल दूरी = अर्धवृत्त की परिधि + व्यास
= 4.4 cm + 2.8 cm = 7.2 cm
तीनों दूरियों की तुलना (7.2 cm, 10.2 cm, 7.2 cm) करने पर सबसे लंबी दूरी 10.2 cm है।
अतः, आकृति (b) के भोज्य पदार्थ के टुकड़े के लिए चींटी को सबसे लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा।
एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकर समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर 1:
समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × (उनके बीच की दूरी)
यहाँ, पहली समांतर भुजा (a) = 1 m
दूसरी समांतर भुजा (b) = 1.2 m
ऊँचाई (h) = 0.8 m
मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल = (1/2) × (1 + 1.2) × 0.8
= (1/2) × 2.2 × 0.8
= 1.1 × 0.8 = 0.88 m²
अतः, मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल 0.88 वर्ग मीटर है।
एक समलंब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4 cm है। समांतर भुजाओं में से एक की लंबाई 10 cm है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर 2:
मान लीजिए दूसरी समांतर भुजा की लंबाई = b cm
पहली समांतर भुजा की लंबाई (a) = 10 cm
ऊँचाई (h) = 4 cm
समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (a + b) × h
34 = (1/2) × (10 + b) × 4
34 = 2 × (10 + b)
34 / 2 = 10 + b
17 = 10 + b
b = 17 - 10 = 7 cm
अतः, दूसरी समांतर भुजा की लंबाई 7 cm है।
एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।
उत्तर 3:
दिया है: BC = 48 m, CD = 17 m, AD = 40 m, खेत का परिमाप = 120 m
खेत ABCD का परिमाप = AB + BC + CD + DA
120 = AB + 48 + 17 + 40
120 = AB + 105
AB = 120 - 105 = 15 m
यहाँ AB, समांतर भुजाओं AD और BC पर लंब है, इसलिए AB ऊँचाई (h) का काम करेगा।
समलंज का क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
= (1/2) × (BC + AD) × AB
= (1/2) × (48 + 40) × 15
= (1/2) × 88 × 15
= 44 × 15 = 660 m²
अतः, खेत ABCD का क्षेत्रफल 660 वर्ग मीटर है।
एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 m एवं 13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर 4:
माना चतुर्भुज ABCD है जिसका विकर्ण AC = 24 m है।
शीर्ष B से AC पर लंब BE = 13 m है।
शीर्ष D से AC पर लंब DF = 8 m है।
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
ΔABC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार (AC) × ऊँचाई (BE) = (1/2) × 24 × 13
ΔADC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार (AC) × ऊँचाई (DF) = (1/2) × 24 × 8
चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल = (1/2 × 24 × 13) + (1/2 × 24 × 8)
= (1/2 × 24) × (13 + 8)
= 12 × 21 = 252 m²
अतः, चतुर्भुज आकार के खेत का क्षेत्रफल 252 वर्ग मीटर है।
किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर 5:
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = (1/2) × विकर्णों का गुणनफल
यहाँ, पहला विकर्ण (d₁) = 7.5 cm
दूसरा विकर्ण (d₂) = 12 cm
क्षेत्रफल = (1/2) × 7.5 × 12
= (1/2) × 90 = 45 cm²
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेंटीमीटर है।
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्षलंब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर 6:
भाग 1: क्षेत्रफल ज्ञात करना
समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज भी होता है।
इसका क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब
यहाँ, आधार (भुजा) = 6 cm, शीर्षलंब = 4 cm
क्षेत्रफल = 6 × 4 = 24 cm²
भाग 2: दूसरा विकर्ण ज्ञात करना
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल के आधे के बराबर भी होता है।
क्षेत्रफल = (1/2) × d₁ × d₂
24 = (1/2) × 8 × d₂
24 = 4 × d₂
d₂ = 24 / 4 = 6 cm
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 cm² है और दूसरे विकर्ण की लंबाई 6 cm है।
किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm एवं 30 cm लंबाई के हैं। 4 रूपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर 7:
एक टाइल का क्षेत्रफल = (1/2) × विकर्णों का गुणनफल = (1/2) × 45 cm × 30 cm = 675 cm²
3000 टाइलों का कुल क्षेत्रफल = 675 cm² × 3000 = 20,25,000 cm²
वर्ग सेंटीमीटर को वर्ग मीटर में बदलने पर (1 m² = 10,000 cm²):
फर्श का क्षेत्रफल = 20,25,000 ÷ 10,000 = 202.5 m²
पॉलिश करने की दर = ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर
कुल व्यय = 202.5 × 4 = ₹ 810
अतः, फर्श को पॉलिश करने का कुल व्यय ₹ 810 है।
मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10500 m² है और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी 100 m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर 8:
मान लीजिए सड़क के साथ वाली भुजा (छोटी समांतर भुजा) की लंबाई = x m
तब, नदी के साथ वाली भुजा (बड़ी समांतर भुजा) की लंबाई = 2x m (क्योंकि यह दुगुनी है)
दोनों भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई) = 100 m
समलंज का क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
10500 = (1/2) × (x + 2x) × 100
10500 = (1/2) × (3x) × 100
10500 = 150x
x = 10500 / 150 = 70 m
नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई = 2x = 2 × 70 = 140 m
अतः, नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई 140 मीटर है।
एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर 9:
दी गई आकृति को तीन भागों में बाँटा जा सकता है: दो समलंब और एक आयत।
दो समलंब: प्रत्येक समलंब की समांतर भुजाएँ 11 m और 5 m हैं तथा उनके बीच की दूरी (ऊँचाई) = 4 m है।
एक समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (11 + 5) × 4 = (1/2) × 16 × 4 = 32 m²
दोनों समलंबों का कुल क्षेत्रफल = 2 × 32 = 64 m²
बीच का आयत: लंबाई = 11 m, चौड़ाई = 5 m
आयत का क्षेत्रफल = 11 × 5 = 55 m²
अष्टभुजी पृष्ठ का कुल क्षेत्रफल = 64 m² + 55 m² = 119 m²
अतः, अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल 119 वर्ग मीटर है।
एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?
उत्तर 10:
पहला तरीका (ज्योति के अनुसार): पंचभुज को दो समलंब ABDE और BCDE में बाँटा गया है।
दोनों समलंबों की ऊँचाई (CP और DP) का योग CD = 15 m के बराबर है।
समलंज ABDE का क्षेत्रफल = (1/2) × (AE + BD) × CP
समलंज BCDE का क्षेत्रफल = (1/2) × (BD + CE) × DP
कुल क्षेत्रफल = (1/2) × (AE + BD) × CP + (1/2) × (BD + CE) × DP
चूँकि AE = CE = 30 m और BD = 15 m
= (1/2) × (30 + 15) × CP + (1/2) × (15 + 30) × DP
= (1/2) × 45 × (CP + DP)
= (1/2) × 45 × 15 (क्योंकि CP + DP = CD = 15 m)
= (1/2) × 675 = 337.5 m²
दूसरा तरीका (कविता के अनुसार): पंचभुज को एक त्रिभुज ABE और एक वर्ग BCDE में बाँटा गया है।
वर्ग BCDE की भुजा = 15 m, इसलिए क्षेत्रफल = 15 × 15 = 225 m²
त्रिभुज ABE का आधार BE = 15 m और ऊँचाई AM = 30 - 15 = 15 m
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 15 × 15 = 112.5 m²
पंचभुज का कुल क्षेत्रफल = 225 + 112.5 = 337.5 m²
अतः, दोनों तरीकों से बगीचे का क्षेत्रफल 337.5 m² प्राप्त होता है।
एक अन्य विधि: इसे एक आयत (30 m × 15 m) और एक त्रिभुज के रूप में भी देख सकते हैं। आयत का क्षेत्रफल 450 m² होगा और उसमें से अतिरिक्त त्रिभुज के क्षेत्रफल (112.5 m²) को घटाकर भी 337.5 m² प्राप्त किया जा सकता है।
संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः 24 cm × 28 cm एवं 16 cm × 20 cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर 11:
फ्रेम की चौड़ाई समान है। बाहरी और आंतरिक आयामों का अंतर देखकर पता चलता है कि चौड़ाई 4 cm है (क्योंकि (28-20)/2 = 4 और (24-16)/2 = 4)।
फ्रेम को चार समलंब खंडों में बाँटा गया है। दो खंड लंबवत (आकृति I) और दो खंड क्षैतिज (आकृति II) हैं।
आकृति I (लंबवत खंड) का क्षेत्रफल:
इसकी दो समांतर भुजाएँ बाहरी लंबाई (28 cm) और आंतरिक लंबाई (20 cm) हैं। ऊँचाई फ्रेम की चौड़ाई (4 cm) है।
क्षेत्रफल = (1/2) × (28 + 20) × 4 = (1/2) × 48 × 4 = 96 cm²
आकृति II (क्षैतिज खंड) का क्षेत्रफल:
इसकी दो समांतर भुजाएँ बाहरी चौड़ाई (24 cm) और आंतरिक चौड़ाई (16 cm) हैं। ऊँचाई फ्रेम की चौड़ाई (4 cm) है।
क्षेत्रफल = (1/2) × (24 + 16) × 4 = (1/2) × 40 × 4 = 80 cm²
अतः, लंबवत खंड (आकृति I) का क्षेत्रफल 96 cm² और क्षैतिज खंड (आकृति II) का क्षेत्रफल 80 cm² है।
UP Board Class 8 Maths 11. क्षेत्रमिति Solution is available at our platform https://upboardSolution.com in hindi medium for free of cost. Content provided on our website is free of cost and in PDF format which is easily available for download. Getting the UP Board Solutions for Class 8 will help student to achieve good learning experience so that they can study effectively. UP board holds examination of more than 3 million students every year and majority of the question of exams are from their UP Board Solutions. That’s why it is important to study using the textSolution issued by UP Board.
It is essential to know the importance of UP Board Class 8 Maths 11. क्षेत्रमिति textSolution issued by UP Board because students completely rely on these Solutions for their study and syllabus offered by UP Board is so balanced that each student should be aware about the importance of it. Below is the list of Importance of UP Board Class 8 Maths 11. क्षेत्रमिति :
There are various features of UP Board Class 8 TextSolutions, some of them are mentioned below so that you student can understand the value and usability of the contend and understand why Uttarpradesh board has prescribed these Solutions.
