UP Board Class 8 Maths 6. वर्ग और वर्गमूल is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 8 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक कया होंगे?
(i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853 (v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880 (ix) 12796 (x) 55555
उत्तर 1:
किसी संख्या के वर्ग का इकाई अंक, उस संख्या के इकाई अंक के वर्ग के इकाई अंक के बराबर होता है।
(i) 81: इकाई अंक 1 है। 1 का वर्ग = 1, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 1 होगा।
(ii) 272: इकाई अंक 2 है। 2 का वर्ग = 4, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 4 होगा।
(iii) 799: इकाई अंक 9 है। 9 का वर्ग = 81, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 1 होगा।
(iv) 3853: इकाई अंक 3 है। 3 का वर्ग = 9, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 9 होगा।
(v) 1234: इकाई अंक 4 है। 4 का वर्ग = 16, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 6 होगा।
(vi) 26387: इकाई अंक 7 है। 7 का वर्ग = 49, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 9 होगा।
(vii) 52698: इकाई अंक 8 है। 8 का वर्ग = 64, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 4 होगा।
(viii) 99880: इकाई अंक 0 है। 0 का वर्ग = 0, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 0 होगा।
(ix) 12796: इकाई अंक 6 है। 6 का वर्ग = 36, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 6 होगा।
(x) 55555: इकाई अंक 5 है। 5 का वर्ग = 25, इसलिए वर्ग का इकाई अंक 5 होगा।
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050
उत्तर 2:
एक पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई का अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है। साथ ही, यदि इकाई का अंक 0 है, तो संख्या के अंत में शून्य (0) की संख्या सम (जैसे 2, 4, 6...) होनी चाहिए।
(i) 1057: इकाई अंक 7 है, जो पूर्ण वर्ग के इकाई अंकों की सूची में नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 23453: इकाई अंक 3 है, जो पूर्ण वर्ग के इकाई अंकों की सूची में नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 7928: इकाई अंक 8 है, जो पूर्ण वर्ग के इकाई अंकों की सूची में नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iv) 222222: इकाई अंक 2 है, जो पूर्ण वर्ग के इकाई अंकों की सूची में नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(v) 64000: इकाई अंक 0 है, लेकिन अंत में शून्य की संख्या 3 (विषम) है। पूर्ण वर्ग में शून्य सम संख्या में होने चाहिए। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(vi) 89722: इकाई अंक 2 है, जो पूर्ण वर्ग के इकाई अंकों की सूची में नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(vii) 222000: इकाई अंक 0 है, लेकिन अंत में शून्य की संख्या 3 (विषम) है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(viii) 505050: इकाई अंक 0 है, लेकिन अंत में शून्य की संख्या 1 (विषम) है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
उत्तर 3:
एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है और एक सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होता है।
(i) 431: यह एक विषम संख्या है। अतः इसका वर्ग विषम होगा।
(ii) 2826: यह एक सम संख्या है। अतः इसका वर्ग सम होगा (विषम नहीं)।
(iii) 7779: यह एक विषम संख्या है। अतः इसका वर्ग विषम होगा।
(iv) 82004: यह एक सम संख्या है। अतः इसका वर्ग सम होगा (विषम नहीं)।
112 = 121
1012 = 10201
10012 = 1002001
1000012 = ?
100000012 = ?
उत्तर 4:
प्रतिरूप: 1 और 0 से बनी संख्या का वर्ग करने पर, उत्तर में 1 से शुरू होकर बीच में शून्य और अंत में 1 आता है, तथा बीच में 2 की संख्या बढ़ती जाती है।
1000012 = 10000200001
100000012 = 100000020000001
12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = 212
52 + 62 + 302 = 312
62 + 72 + 422 = 432
उत्तर 5:
प्रतिरूप: a, b, c और d इस प्रकार हैं कि a, b, c = a × b, और d = c + 1.
पहली संख्या: n
दूसरी संख्या: n+1
तीसरी संख्या: n × (n+1)
योग का वर्गमूल: [n × (n+1)] + 1
इसलिए, रिक्त स्थान भरने पर:
42 + 52 + 202 = 212
52 + 62 + 302 = 312
62 + 72 + 422 = 432
12 = 1
1012 = 10201
101012 = 102030201
10101012 = 1020304030201
1010101012 = ?
उत्तर 6:
प्रतिरूप: 1 और 0 से बनी संख्या का वर्ग एक सममित (सymmetric) संख्या देता है जो 1 से शुरू होकर बीच तक बढ़ती है और फिर घटती है।
1010101012 = 1020304050504030201
(i) 1+3+5+7+9
(ii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
(iii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
उत्तर 7:
पहली 'n' विषम संख्याओं का योग n2 के बराबर होता है।
(i) यहाँ पहली 5 विषम संख्याएँ हैं। n = 5. योग = 52 = 25.
(ii) यहाँ पहली 10 विषम संख्याएँ हैं। n = 10. योग = 102 = 100.
(iii) यहाँ पहली 12 विषम संख्याएँ हैं। n = 12. योग = 122 = 144.
(i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
उत्तर 8:
(i) 49 = 72. इसलिए, यह पहली 7 विषम संख्याओं का योग है: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
(ii) 121 = 112. इसलिए, यह पहली 11 विषम संख्याओं का योग है: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21.
(i) 12 और 13
(ii) 25 और 26
(iii) 99 और 100
उत्तर 9:
दो क्रमागत पूर्ण वर्ग संख्याओं n2 और (n+1)2 के बीच में 2n संख्याएँ होती हैं।
(i) n = 12. बीच की संख्याएँ = 2 × 12 = 24.
(ii) n = 25. बीच की संख्याएँ = 2 × 25 = 50.
(iii) n = 99. बीच की संख्याएँ = 2 × 99 = 198.
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46
उत्तर 1:
हम (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 सूत्र का उपयोग करेंगे।
(i) 322 = (30+2)2 = 302 + 2×30×2 + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024.
(ii) 352 = (30+5)2 = 302 + 2×30×5 + 52 = 900 + 300 + 25 = 1225.
(iii) 862 = (80+6)2 = 802 + 2×80×6 + 62 = 6400 + 960 + 36 = 7396.
(iv) 932 = (90+3)2 = 902 + 2×90×3 + 32 = 8100 + 540 + 9 = 8649.
(v) 712 = (70+1)2 = 702 + 2×70×1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041.
(vi) 462 = (40+6)2 = 402 + 2×40×6 + 62 = 1600 + 480 + 36 = 2116.
i) 6 (ii) 14 (iii) 16 (iv) 18
उत्तर 2:
पाइथागोरस त्रिक जनक सूत्र: 2m, m2–1, m2+1, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
(i) दिया है: 2m = 6, इसलिए m = 3.
त्रिक: 2m=6, m2–1=9–1=8, m2+1=9+1=10.
अतः त्रिक है: (6, 8, 10).
(ii) दिया है: 2m = 14, इसलिए m = 7.
त्रिक: 2m=14, m2–1=49–1=48, m2+1=49+1=50.
अतः त्रिक है: (14, 48, 50).
(iii) दिया है: 2m = 16, इसलिए m = 8.
त्रिक: 2m=16, m2–1=64–1=63, m2+1=64+1=65.
अतः त्रिक है: (16, 63, 65).
(iv) दिया है: 2m = 18, इसलिए m = 9.
त्रिक: 2m=18, m2–1=81–1=80, m2+1=81+1=82.
अतः त्रिक है: (18, 80, 82).
(i) 9801 (ii) 99856 (iii) 998001 (iv) 657666025
उत्तर 1:
किसी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल निकालने पर, उसके इकाई अंक की संभावना उस संख्या के इकाई अंक पर निर्भर करती है।
(i) 9801: इकाई अंक 1 है। 1 से समाप्त होने वाले वर्गों का वर्गमूल 1 या 9 से समाप्त हो सकता है। संभावित इकाई अंक: 1 या 9.
(ii) 99856: इकाई अंक 6 है। 6 से समाप्त होने वाले वर्गों का वर्गमूल 4 या 6 से समाप्त हो सकता है। संभावित इकाई अंक: 4 या 6.
(iii) 998001: इकाई अंक 1 है। संभावित इकाई अंक: 1 या 9.
(iv) 657666025: इकाई अंक 5 है। 5 से समाप्त होने वाले वर्गों का वर्गमूल केवल 5 से समाप्त होता है। संभावित इकाई अंक: 5.
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
उत्तर 2:
पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 होना चाहिए।
(i) 153: इकाई अंक 3 है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 257: इकाई अंक 7 है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 408: इकाई अंक 8 है। अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iv) 441: इकाई अंक 1 है। यह पूर्ण वर्ग हो सकती है (जैसा कि 212=441)।
उत्तर 3:
100 का वर्गमूल:
100 से क्रमागत विषम संख्याओं (1, 3, 5, 7...) को घटाएँ जब तक शून्य न मिल जाए। घटाव की संख्या वर्गमूल होगी।
100 – 1 = 99, 99 – 3 = 96, 96 – 5 = 91, 91 – 7 = 84, 84 – 9 = 75, 75 – 11 = 64, 64 – 13 = 51, 51 – 15 = 36, 36 – 17 = 19, 19 – 19 = 0.
कुल 10 बार घटाया। अतः √100 = 10.
169 का वर्गमूल:
169 – 1 = 168, 168 – 3 = 165, 165 – 5 = 160, 160 – 7 = 153, 153 – 9 = 144, 144 – 11 = 133, 133 – 13 = 120, 120 – 15 = 105, 105 – 17 = 88, 88 – 19 = 69, 69 – 21 = 48, 48 – 23 = 25, 25 – 25 = 0.
कुल 13 बार घटाया। अतः √169 = 13.
(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100
उत्तर 4:
अभाज्य गुणनखंड विधि में, संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़कर, जोड़े (pairs) बनाते हैं। प्रत्येक जोड़े से एक अंक वर्गमूल में आता है।
(i) 729: 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = (3×3)×(3×3)×(3×3). √729 = 3×3×3 = 27.
(ii) 400: 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = (2×2)×(2×2)×(5×5). √400 = 2×2×5 = 20.
(iii) 1764: 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 = (2×2)×(3×3)×(7×7). √1764 = 2×3×7 = 42.
(iv) 4096: 4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = (2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2). √4096 = 2×2×2×2×2×2 = 64.
(v) 7744: 7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 = (2×2)×(2×2)×(2×2)×(11×11). √7744 = 2×2×2×11 = 88.
(vi) 9604: 9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7 = (2×2)×(7×7)×(7×7). √9604 = 2×7×7 = 98.
(vii) 5929: 5929 = 7 × 7 × 11 × 11 = (7×7)×(11×11). √5929 = 7×11 = 77.
(viii) 9216: 9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(3×3). √9216 = 2×2×2×2×2×3 = 96.
(ix) 529: 529 = 23 × 23. √529 = 23.
(x) 8100: 8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = (2×2)×(3×3)×(3×3)×(5×5). √8100 = 2×3×3×5 = 90.
(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768
उत्तर 5:
अभाज्य गुणनखंड विधि से, जो अभाज्य गुणनखंड युग्म (pair) में नहीं हैं, उन्हें युग्म बनाने के लिए उसी संख्या से गुणा करते हैं।
(i) 252: 252 = 2×2 × 3×3 × 7. 7 युग्म में नहीं है। 7 से गुणा करें: 252×7=1764. √1764 = 2×3×7 = 42. गुणन संख्या: 7.
(ii) 180: 180 = 2×2 × 3×3 × 5. 5 युग्म में नहीं है। 5 से गुणा करें: 180×5=900. √900 = 2×3×5 = 30. गुणन संख्या: 5.
(iii) 1008: 1008 = 2×2×2×2 × 3×3 × 7. 7 युग्म में नहीं है। 7 से गुणा करें: 1008×7=7056. √7056 = 2×2×3×7 = 84. गुणन संख्या: 7.
(iv) 2028: 2028 = 2×2 × 3 × 13×13. 3 युग्म में नहीं है। 3 से गुणा करें: 2028×3=6084. √6084 = 2×3×13 = 78. गुणन संख्या: 3.
(v) 1458: 1458 = 2 × 3×3×3×3×3×3. 2 युग्म में नहीं है। 2 से गुणा करें: 1458×2=2916. √2916 = 2×3×3×3 = 54. गुणन संख्या: 2.
(vi) 768: 768 = 2×2×2×2×2×2×2×2 × 3. 3 युग्म में नहीं है। 3 से गुणा करें: 768×3=2304. √2304 = 2×2×2×2×3 = 48. गुणन संख्या: 3.
(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620
उत्तर 6:
अभाज्य गुणनखंड विधि से, जो अभाज्य गुणनखंड युग्म (pair) में नहीं हैं, उन्हें युग्म बनाने के लिए उसी संख्या से भाग देते हैं।
(i) 252: 252 = 2×2 × 3×3 × 7. 7 युग्म में नहीं है। 7 से भाग दें: 252÷7=36. √36 = 6. भाजक संख्या: 7.
(ii) 2925: 2925 =
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