UP Board Class 8 Maths 7. घन और घनमूल is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 8 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
UP Board कक्षा 8 के लिए प्रश्नावली 7.1 एवं 7.2 के हल
उत्तर 1:
(i) 216
216 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
यहाँ, अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 दोनों तीन-तीन के जोड़े (2 के तीन समूह और 3 के तीन समूह) बना रहे हैं।
इसलिए, 216 एक पूर्ण घन है।
(ii) 128
128 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
यहाँ, अभाज्य गुणनखंड 2 के सात गुणनखंड हैं। इन्हें तीन-तीन के समूहों में बाँटने पर एक 2 अकेला रह जाता है।
इसलिए, 128 एक पूर्ण घन नहीं है।
(iii) 1000
1000 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
यहाँ, अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 दोनों तीन-तीन के जोड़े बना रहे हैं।
इसलिए, 1000 एक पूर्ण घन है।
(iv) 100
100 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 5 × 5
यहाँ, अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 दोनों के केवल दो-दो गुणनखंड हैं। तीन-तीन के समूह नहीं बन पा रहे हैं।
इसलिए, 100 एक पूर्ण घन नहीं है।
(v) 46656
46656 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
यहाँ, अभाज्य गुणनखंड 2 के छह गुणनखंड (तीन समूह) और 3 के छह गुणनखंड (तीन समूह) हैं।
इसलिए, 46656 एक पूर्ण घन है।
उत्तर 2:
(i) 243
243 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
यहाँ, 3 के पाँच गुणनखंड हैं। पूर्ण घन बनाने के लिए हमें 3 के गुणनखंडों को तीन-तीन के समूहों में बाँटना है। इसमें एक 3 कम है।
अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है। 243 × 3 = 729, जो कि 9³ है।
(ii) 256
256 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
यहाँ, 2 के आठ गुणनखंड हैं। पूर्ण घन बनाने के लिए हमें 2 के गुणनखंडों को तीन-तीन के समूहों में बाँटना है। इसमें एक 2 कम है (क्योंकि 8+1=9, और 9 तीन का गुणज है)।
अतः, सबसे छोटी संख्या 2 है। 256 × 2 = 512, जो कि 8³ है।
(iii) 72
72 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
यहाँ, 2 के तीन गुणनखंड (एक समूह) हैं, लेकिन 3 के केवल दो गुणनखंड हैं। पूर्ण घन बनाने के लिए एक 3 और चाहिए।
अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है। 72 × 3 = 216, जो कि 6³ है।
(iv) 675
675 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 5 × 5
यहाँ, 3 के तीन गुणनखंड (एक समूह) हैं, लेकिन 5 के केवल दो गुणनखंड हैं। पूर्ण घन बनाने के लिए एक 5 और चाहिए।
अतः, सबसे छोटी संख्या 5 है। 675 × 5 = 3375, जो कि 15³ है।
(v) 100
100 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 5 × 5
यहाँ, 2 के दो गुणनखंड और 5 के दो गुणनखंड हैं। पूर्ण घन बनाने के लिए दोनों में से एक-एक गुणनखंड कम है।
अतः, सबसे छोटी संख्या 2 × 5 = 10 है। 100 × 10 = 1000, जो कि 10³ है।
उत्तर 3:
(i) 81
81 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 3
यहाँ, 3 के चार गुणनखंड हैं। पूर्ण घन प्राप्त करने के लिए हमें अतिरिक्त 3 को हटाना होगा।
अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है। 81 ÷ 3 = 27, जो कि 3³ है।
(ii) 128
128 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
यहाँ, 2 के सात गुणनखंड हैं। पूर्ण घन प्राप्त करने के लिए हमें एक अतिरिक्त 2 को हटाना होगा (क्योंकि 7-1=6, और 6 तीन का गुणज है)।
अतः, सबसे छोटी संख्या 2 है। 128 ÷ 2 = 64, जो कि 4³ है।
(iii) 135
135 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 5
यहाँ, 3 के तीन गुणनखंड (एक समूह) हैं, लेकिन 5 का एक अतिरिक्त गुणनखंड है जो समूह नहीं बना पा रहा। इसे हटाना होगा।
अतः, सबसे छोटी संख्या 5 है। 135 ÷ 5 = 27, जो कि 3³ है।
(iv) 192
192 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
यहाँ, 2 के छह गुणनखंड (दो समूह) हैं, लेकिन 3 का एक अतिरिक्त गुणनखंड है। इसे हटाना होगा।
अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है। 192 ÷ 3 = 64, जो कि 4³ है।
(v) 704
704 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11
यहाँ, 2 के छह गुणनखंड (दो समूह) हैं, लेकिन 11 का एक अतिरिक्त गुणनखंड है। इसे हटाना होगा।
अतः, सबसे छोटी संख्या 11 है। 704 ÷ 11 = 64, जो कि 4³ है।
उत्तर 4:
घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 5 सेमी × 2 सेमी × 5 सेमी
आयतन के अभाज्य गुणनखंड = 5 × 2 × 5
पूर्ण घन बनाने के लिए, आयतन के गुणनखंडों को तीन-तीन के समूहों में बाँटना होगा।
वर्तमान गुणनखंड: 5 (एक बार), 2 (एक बार), 5 (एक बार)।
पूर्ण घन बनाने के लिए चाहिए: 5 के तीन गुणनखंड और 2 के तीन गुणनखंड।
इसलिए, हमें 5 के दो और गुणनखंड तथा 2 के दो और गुणनखंड चाहिए। यानी कुल (2×2×5×5) = 100 गुना आयतन बढ़ाना होगा।
चूँकि प्रत्येक घनाभ का आयतन समान है, इसलिए आवश्यक घनाभों की संख्या = 100 / (5×2×5 का आयतन) ? गलती है। सही विधि:
एक घनाभ का आयतन = 5×2×5 = 50 घन सेमी
माना 'n' घनाभों से बने घन का आयतन = n × 50 घन सेमी, जो एक पूर्ण घन होना चाहिए।
n × 50 का अभाज्य गुणनखंड = n × (2 × 5 × 5) पूर्ण घन होगा यदि n = 2 × 2 × 5 = 20
तब कुल आयतन = 20 × 50 = 1000 घन सेमी, जो कि 10³ है।
अतः, परीक्षित को 20 घनाभों की आवश्यकता होगी।
उत्तर 1:
(i) 64
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)
∛64 = 2 × 2 = 4
(ii) 512
512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
∛512 = 2 × 2 × 2 = 8
(iii) 10648
10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 = (2) × (11) × (2) × (11) × (2) × (11)
∛10648 = 2 × 11 = 22
(iv) 27000
27000 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = (2×3×5) × (2×3×5) × (2×3×5)
∛27000 = 2 × 3 × 5 = 30
(v) 15625
15625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = (5 × 5) × (5 × 5) × (5 × 5)
∛15625 = 5 × 5 = 25
(vi) 13824
13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
समूह: (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2×2) × (3×3×3)
∛13824 = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
(vii) 110592
110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
समूह: (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2×2) × (3×3×3)
∛110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
(viii) 46656
46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
समूह: (2×2) × (2×2) × (2×2) × (3×3) × (3×3) × (3×3)
∛46656 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
(ix) 175616
175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7
समूह: (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2×2) × (7×7×7)
∛175616 = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
(x) 91125
91125 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
समूह: (3×3) × (3×3) × (3×3) × (5×5×5)
∛91125 = 3 × 3 × 5 = 45
उत्तर 2:
(i) असत्य
विषम संख्या का घन हमेशा विषम होता है। जैसे: 3³ = 27 (विषम), 5³ = 125 (विषम)।
(ii) सत्य
एक पूर्ण घन या तो पूर्णतः शून्य पर समाप्त नहीं होता, या फिर उसके अंत में शून्यों की संख्या 3 या 3 के गुणज (जैसे 6, 9...) में होती है। जैसे: 10³=1000 (तीन शून्य), 20³=8000 (तीन शून्य)। दो शून्य पर समाप्त होने वाली कोई संख्या पूर्ण घन नहीं हो सकती।
(iii) असत्य
जिस संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, उस संख्या का इकाई अंक भी 5 होता है। ऐसी संख्या के घन का इकाई अंक हमेशा 5 ही होगा, लेकिन अंतिम दो अंक 25 जरूरी नहीं हैं। जैसे: 15³ = 3375, जो 25 पर नहीं बल्कि 75 पर समाप्त होता है।
(iv) असत्य
ऐसे बहुत से पूर्ण घन हैं जो 8 पर समाप्त होते हैं। जैसे: 2³=8, 12³=1728, 22³=10648।
(v) असत्य
सबसे छोटी दो अंकों की संख्या 10 का घन 1000 है, जो चार अंकों की संख्या है। सबसे बड़ी दो अंकों की संख्या 99 का घन 970299 है, जो छह अंकों की संख्या है। इसलिए, दो अंकों की संख्या का घन कम से कम चार अंकों का होगा, तीन अंकों का नहीं।
(vi) असत्य
दो अंकों की संख्या (10 से 99 तक) का घन सबसे ज्यादा 99³ = 970299 होता है, जो एक छह अंकों की संख्या है। इसलिए, दो अंकों की संख्या के घन में अधिकतम छह अंक हो सकते हैं, सात या अधिक नहीं।
(vii) सत्य
एक अंक वाली संख्या (1 से 9 तक) के घन एक अंक के भी हो सकते हैं। जैसे: 1³=1 और 2³=8, ये दोनों एक अंक के घन हैं। हालाँकि, 3³=9 से बड़े घन दो या अधिक अंकों के होंगे।
उत्तर 3:
हाँ, अनुमान लगाया जा सकता है। हम इकाई के अंक और निकटतम पूर्ण घनों की सहायता से अनुमान लगा सकते हैं।
(i) 1331
संख्या 1331, 1000 (10³) और 1728 (12³) के बीच में है।
इसका इकाई अंक 1 है। हम जानते हैं कि केवल वही संख्या जिसका इकाई अंक 1 हो, उसका घन करने पर इकाई अंक 1 आता है (जैसे 1³=1, 11³=1331)।
10³ = 1000 और 12³ = 1728 के बीच की वह संख्या जिसका इकाई अंक 1 है, वह 11 है।
अतः, ∛1331 = 11
(ii) 4913
संख्या 4913, 343 (7³) और 729 (9³) से बहुत बड़ी है। यह 3375 (15³) और 4913 के करीब है।
इसका इकाई अंक 3 है। वह संख्या जिसका इकाई अंक 3 हो, उसका घन करने पर इकाई अंक 7 आता है (3³=27)। लेकिन यहाँ इकाई अंक 3 है। तो हमें उस संख्या को ढूँढना है जिसका इकाई अंक 7 हो, क्योंकि 7³=343 (इकाई अंक 3)।
17³ = 4913 (इकाई अंक 7 वाली संख्या का घन, इकाई अंक 3 दे रहा है)।
अतः, ∛4913 = 17
(iii) 12167
संख्या 12167, 8000 (20³) और 27000 (30³) के बीच में है।
इसका इकाई अंक 7 है। वह संख्या जिसका इकाई अंक 3 हो, उसका घन करने पर इकाई अंक 7 आता है (3³=27, 13³=2197, 23³=12167)।
20³ = 8000 और 30³ = 27000 के बीच इकाई अंक 3 वाली संख्या 23 है।
अतः, ∛12167 = 23
(iv) 32768
संख्या 32768, 27000 (30³) और 64000 (40³) के बीच में है।
इसका इकाई अंक 8 है। वह संख्या जिसका इकाई अंक 2 हो, उसका घन करने पर इकाई अंक 8 आता है (2³=8, 12³=1728, 22³=10648, 32³=32768)।
30³ = 27000 और 40³ = 64000 के बीच इकाई अंक 2 वाली संख्या 32 है।
अतः, ∛32768 = 32
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