UP Board Class 8 Maths 14. गुणनखंडन is a Hindi Medium Solution which is prescribed by Uttar Pradesh Board for their students. These Solutions is completely prepared considering the latest syllabus and it covers every single topis, so that every student get organised and conceptual learning of the concepts. Class 8 Students of UP Board who have selected hindi medium as their study medium they can use these Hindi medium textSolutions to prepare themselves for exam and learn the concept with ease.
(i) 12x, 36 (ii) 2y,22xy
(iii) 14pq,28p'q° (iv) 2x,3x7,4
(v) 6abc,24ab* ,12a°b (vi) 16x°,—4x’,32x
(vii) 10 pq, 20gr,30rp (viii) 3३७४ ,10४ ४, 6. ४2
उत्तर 1:
(i) 12x और 36 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
12x = 2 × 2 × 3 × x
36 = 2 × 2 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × 3 = 12
(ii) 2y और 22xy के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
2y = 2 × y
22xy = 2 × 11 × x × y
सार्व गुणनखंड = 2 × y = 2y
(iii) 14pq और 28p'q° के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
14pq = 2 × 7 × p × q
28p'q° = 2 × 2 × 7 × p × q
सार्व गुणनखंड = 2 × 7 × p × q = 14pq
(iv) 2x, 3x7, और 4 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
2x = 2 × x
3x7 = 3 × x × 7
4 = 2 × 2
इन तीनों पदों में कोई संख्या या चर सार्व नहीं है, इसलिए सार्व गुणनखंड 1 है।
(v) 6abc, 24ab*, और 12a°b के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
6abc = 2 × 3 × a × b × c
24ab* = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b
12a°b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
सार्व गुणनखंड = 2 × 3 × a × b = 6ab
(vi) 16x°, –4x’, और 32x के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
16x° = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x
–4x’ = (–1) × 2 × 2 × x × x
32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × x = 4x
(vii) 10pq, 20qr, और 30rp के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
10pq = 2 × 5 × p × q
20qr = 2 × 2 × 5 × q × r
30rp = 2 × 3 × 5 × r × p
सार्व गुणनखंड = 2 × 5 = 10
(viii) 3x²y², 10x³y², और 6x²y²z के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
3x²y² = 3 × x × x × y × y
10x³y² = 2 × 5 × x × x × x × y × y
6x²y²z = 2 × 3 × x × x × y × y × z
सार्व गुणनखंड = x × x × y × y = x²y²
(i) 7x–42 (ii) 6p–12q (iii) Ta +14a (iv) -16z+20z° (v) 20/°m+30alm (vi) 5x’ y–15xy” (vii) 10a” –15b? + 20c* (viii) –4a*+4ab–4ca (ix) x yz+xy?z4+ xyz" (x) ax’ y +bxy? + cxyz
उत्तर 2:
(i) 7x – 42
दोनों पदों में 7 सार्व है।
= 7(x – 6)
(ii) 6p – 12q
दोनों पदों में 6 सार्व है।
= 6(p – 2q)
(iii) 7a² + 14a
दोनों पदों में 7a सार्व है।
= 7a(a + 2)
(iv) –16z + 20z³
दोनों पदों में 4z सार्व है।
= 4z(–4 + 5z²)
(v) 20l²m + 30alm
दोनों पदों में 10lm सार्व है।
= 10lm(2l + 3a)
(vi) 5x²y – 15xy²
दोनों पदों में 5xy सार्व है।
= 5xy(x – 3y)
(vii) 10a² – 15b² + 20c²
तीनों पदों में 5 सार्व है।
= 5(2a² – 3b² + 4c²)
(viii) –4a² + 4ab – 4ca
तीनों पदों में 4a सार्व है।
= 4a(–a + b – c)
(ix) x²yz + xy²z + xyz²
तीनों पदों में xyz सार्व है।
= xyz(x + y + z)
(x) ax²y + bxy² + cxyz
तीनों पदों में xy सार्व है।
= xy(ax + by + cz)
(i) x +xy+8x+8y (ii) 15xy–6x+S5y-2 (iii) ax + bx –ay –by (iv) 15pq+15+9q+25p (v) Z–7+7xy– xyz
उत्तर 3:
(i) x² + xy + 8x + 8y
पहले दो पदों में x और अंतिम दो पदों में 8 सार्व निकालते हैं।
= x(x + y) + 8(x + y)
= (x + y)(x + 8)
(ii) 15xy – 6x + 5y – 2
पहले दो पदों में 3x और अंतिम दो पदों में 1 सार्व निकालते हैं।
= 3x(5y – 2) + 1(5y – 2)
= (5y – 2)(3x + 1)
(iii) ax + bx – ay – by
पहले दो पदों में x और अंतिम दो पदों में –y सार्व निकालते हैं।
= x(a + b) – y(a + b)
= (a + b)(x – y)
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 15pq + 25p + 9q + 15
पहले दो पदों में 5p और अंतिम दो पदों में 3 सार्व निकालते हैं।
= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)
= (3q + 5)(5p + 3)
(v) 7 – 7 + 7xy – xyz
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 7xy – 7 – xyz + z
पहले दो पदों में 7 और अंतिम दो पदों में –z सार्व निकालते हैं।
= 7(xy – 1) – z(xy – 1)
= (xy – 1)(7 – z)
(i) a’ +8a+16 (ii) p -10p+25 (iii) 25m? +30m+9 (iv) 49y?+84yz+36z° (v) 4x° -8x+4 (vi) 121b° -88bce+16c°
(vit) (J+m) –4lm [संकेत: पहले (/+##) को प्रसारित कीजिए।] (viii) a*+2a°b’+b*
उत्तर 1:
(i) a² + 8a + 16
यह a² + 2×a×4 + 4² के रूप में है, जो (a + b)² = a² + 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (a + 4)²
(ii) p² – 10p + 25
यह p² – 2×p×5 + 5² के रूप में है, जो (a – b)² = a² – 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (p – 5)²
(iii) 25m² + 30m + 9
यह (5m)² + 2×5m×3 + 3² के रूप में है।
= (5m + 3)²
(iv) 49y² + 84yz + 36z²
यह (7y)² + 2×7y×6z + (6z)² के रूप में है।
= (7y + 6z)²
(v) 4x² – 8x + 4
यह (2x)² – 2×2x×2 + 2² के रूप में है।
= (2x – 2)² = 4(x – 1)²
(vi) 121b² – 88bc + 16c²
यह (11b)² – 2×11b×4c + (4c)² के रूप में है।
= (11b – 4c)²
(vii) (l + m)² – 4lm
पहले (l + m)² को प्रसारित करते हैं: l² + 2lm + m²
अब व्यंजक बनता है: l² + 2lm + m² – 4lm = l² – 2lm + m²
यह (l – m)² के रूप में है।
= (l – m)²
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
यह (a²)² + 2×a²×b² + (b²)² के रूप में है।
= (a² + b²)²
(i) 4p? -9q¢° (ii) 63a?-112b° 49.0 -36 (iv) 16.6 -1447+0 (1+m) –(I-m) (vi) 9४४ -16 (x? -2xy+ y?)-2° (viii) 25a? –4b? +28bc–49c?
उत्तर 2:
(i) 4p² – 9q²
यह (2p)² – (3q)² के रूप में है, a² – b² = (a – b)(a + b) सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं।
= (2p – 3q)(2p + 3q)
(ii) 63a² – 112b²
पहले 7 सार्व निकालते हैं: = 7(9a² – 16b²)
अब 9a² – 16b² = (3a)² – (4b)²
= 7(3a – 4b)(3a + 4b)
(iii) 49x² – 36
यह (7x)² – (6)² के रूप में है।
= (7x – 6)(7x + 6)
(iv) 16x⁵ – 144x³
पहले 16x³ सार्व निकालते हैं: = 16x³(x² – 9)
अब x² – 9 = (x)² – (3)²
= 16x³(x – 3)(x + 3)
(v) (l + m)² – (l – m)²
a² – b² = (a – b)(a + b) सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं, जहाँ a = (l + m) और b = (l – m)
= [(l + m) – (l – m)] × [(l + m) + (l – m)]
= [l + m – l + m] × [l + m + l – m]
= [2m] × [2l] = 4lm
(vi) 9x²y² – 16
यह (3xy)² – (4)² के रूप में है।
= (3xy – 4)(3xy + 4)
(vii) (x² – 2xy + y²) – z²
कोष्ठक के भीतर x² – 2xy + y² = (x – y)² है।
अतः व्यंजक (x – y)² – z² बन जाता है, जो फिर a² – b² के रूप में है।
= [(x – y) – z] × [(x – y) + z]
= (x – y – z)(x – y + z)
(viii) 25a² – 4b² + 28bc – 49c²
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 25a² – (4b² – 28bc + 49c²)
कोष्ठक के भीतर 4b² – 28bc + 49c² = (2b)² – 2×2b×7c + (7c)² = (2b – 7c)²
अतः व्यंजक बनता है: 25a² – (2b – 7c)²
यह फिर a² – b² के रूप में है।
= [5a – (2b – 7c)] × [5a + (2b – 7c)]
= (5a – 2b + 7c)(5a + 2b – 7c)
(i) ax’ +bx (1). 77+214* (iii) 2x? + 2xy? +2xz” (iv) 9 am? + bm? +. bn? + an? (v) (im+1)+m+1 (vi) y(y+z)+9(y+z) (vii) Sy’ –20y–8z+2yz (viii) 10ab+4a+5b+2 (ix) 6xy–4y+6-9x
उत्तर 3:
(i) ax² + bx
दोनों पदों में x सार्व है।
= x(ax + b)
(ii) 7p² + 21q²
दोनों पदों में 7 सार्व है।
= 7(p² + 3q²)
(iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
तीनों पदों में 2x सार्व है।
= 2x(x² + y² + z²)
(iv) am² + bm² + bn² + an²
पहले दो पदों में m² और अंतिम दो पदों में n² सार्व निकालते हैं।
= m²(a + b) + n²(a + b)
= (a + b)(m² + n²)
(v) (lm + 1) + m + 1
पहले पद को (lm + 1) और बाकी को (m + 1) लिख सकते हैं। ध्यान दें कि 1 को (1×m + 1×1) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
= 1(lm + 1) + 1(m + 1) या समूहीकरण द्वारा:
= lm + m + 1 + 1 = m(l + 1) + 2
परंतु सीधे समूहीकरण: (lm + m) + (1 + 1) = m(l + 1) + 2
यह और सरल गुणनखंड में नहीं आता। प्रश्न के अनुसार, यदि हम (lm+1) को एक पद मानें, तो उत्तर (lm+1)(1) + 1(m+1) होगा, जो स्पष्ट गुणनखंड नहीं देता। संभवतः प्रश्न में कुछ त्रुटि है।
(vi) y(y + z) + 9(y + z)
दोनों पदों में (y + z) सार्व है।
= (y + z)(y + 9)
(vii) 5y² – 20y – 8z + 2yz
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 5y² – 20y + 2yz – 8z
पहले दो पदों में 5y और अंतिम दो पदों में 2z सार्व निकालते हैं।
= 5y(y – 4) + 2z(y – 4)
= (y – 4)(5y + 2z)
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
पहले दो पदों में 2a और अंतिम दो पदों में 1 सार्व निकालते हैं।
= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)
= (5b + 2)(2a + 1)
(ix) 6xy – 4y + 6 – 9x
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 6xy – 9x – 4y + 6
पहले दो पदों में 3x और अंतिम दो पदों में –2 सार्व निकालते हैं।
= 3x(2y – 3) – 2(2y – 3)
= (2y – 3)(3x – 2)
(i) a*–p* (iii) = x*-(y+z)' (v) a’ –2a°b’ +b"
(1). 72-81
(iv) x*-(x- 2
उत्तर 4:
(i) a⁴ – b⁴
इसे (a²)² – (b²)² के रूप में लिख सकते हैं, a² – b² सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं।
= (a² – b²)(a² + b²)
फिर से पहले गुणनखंड में a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं।
= (a – b)(a + b)(a² + b²)
(ii) p⁴ – 81
इसे (p²)² – (9)² के रूप में लिख सकते हैं।
= (p² – 9)(p² + 9)
फिर से पहले गुणनखंड में p² – 9 = (p)² – (3)²
= (p – 3)(p + 3)(p² + 9)
(iii) x⁴ – (y + z)⁴
इसे (x²)² – [(y + z)²]² के रूप में लिख सकते हैं।
= [x² – (y + z)²] [x² + (y + z)²]
पहले गुणनखंड में फिर a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं, जहाँ a = x और b = (y+z)
= [x – (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]
= (x – y – z)(x + y + z)[x² + (y + z)²]
(iv) x⁴ – (x – z)⁴
इसे (x²)² – [(x – z)²]² के रूप में लिख सकते हैं।
= [x² – (x – z)²] [x² + (x – z)²]
पहले गुणनखंड में फिर a² – b² सर्वसमिका लगाते हैं, जहाँ a = x और b = (x-z)
= [x – (x – z)] [x + (x – z)] [x² + (x – z)²]
= [z] [2x – z] [x² + x² – 2xz + z²] (क्योंकि (x-z)² = x² -2xz + z²)
= z(2x – z)(2x² – 2xz + z²)
(v) a⁴ – 2a²b² + b⁴
यह (a²)² – 2×a²×b² + (b²)² के रूप में है, जो (a – b)² = a² – 2ab + b² सर्वसमिका है।
= (a² – b²)²
फिर a² – b² = (a – b)(a + b)
= [(a – b)(a + b)]² = (a – b)²(a + b)²
(i) p +6p+8 (ii) gq -10q+21
(iii) p'+6p—16
उत्तर 5:
(i) p² + 6p + 8
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 और गुणनफल 8 हो। वे संख्याएँ 4 और 2 हैं।
= p² + 4p + 2p + 8
= p(p + 4) + 2(p + 4)
= (p + 4)(p + 2)
(ii) q² – 10q + 21
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग –10 और गुणनफल 21 हो। वे संख्याएँ –7 और –3 हैं।
= q² – 7q – 3q + 21
= q(q – 7) – 3(q – 7)
= (q – 7)(q – 3)
(iii) p² + 6p – 16
हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 और गुणनफल –16 हो। वे संख्याएँ 8 और –2 हैं।
= p² + 8p – 2p – 16
= p(p + 8) – 2(p + 8)
= (p + 8)(p – 2)
(i) 28x* +56x (ii) —36y>+9y° (iii) 66 pg?r’ +1 1gr? (iv) 34x° y°z° +Slxy?z" (v) 12a‘b* +(–6a°b*)
उत्तर 1:
(i) 28x⁴ ÷ 56x
= (28/56) × (x⁴/x) = (1/2) × x³ = x³/2
(ii) –36y³ ÷ 9y²
= (–36/9) × (y³/y²) = –4 × y = –4y
(iii) 66pq²r³ ÷ 11qr²
= (66/11) × (p) × (q²/q) × (r³/r²) = 6 × p × q × r = 6pqr
(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³
= (34/51) × (x³/x) × (y³/y²) × (z³/z³) = (2/3) × x² × y × 1 = (2x²y)/3
(v) 12a⁸b⁸ ÷ (–6a⁶b⁶)
= [12/(–6)] × (a⁸/a⁶) × (b⁸/b⁶) = –2 × a² × b² = –2a²b²
(i) (5x* -6x) +3x (ii) = (3y*-4y° +5y")+y" (iii) 8(x°y*2? +x’ yz? +< 97४ )+4> 327 (५) (कं +2+ +3x)+2x (v) ( pg - p°q')+ Pg
उत्तर 2:
(i) (5x² – 6x) ÷ 3x
= (5x²/3x) – (6x/3x) = (5x/3) – 2 = (5x/3) – 2
(ii) (3y⁸ – 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
= (3y⁸/y⁴) – (4y⁶/y⁴) + (5y⁴/y⁴) = 3y⁴ – 4y² + 5
(iii) 8(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
प्रत्येक पद को 4x²y²z² से भाग देते हैं:
= [8x³y²z²/4x²y²z²] + [8x²y³z²/4x²y²z²] + [8x²y²z³/4x²y²z²]
= 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)
(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x
= (x³/2x) + (2x²/2x) + (3x/2x) = (x²/2) + x + (3/2)
(v) (p⁴q⁵ – p⁵q⁴) ÷ p⁴q⁴
= (p⁴q⁵/p⁴q⁴) – (p⁵q⁴/p⁴q⁴) = q – p
(i) (10x-25)+5 (ii) (10x-25)+(2x-5) (iii) 10y(6y+21)+5(2y+7) (iv) 9x y* (3z—24)+27xy(z-8) (v) 96abc(3a—12)(5b-30)+144(a—4)(b-6)
उत्तर 3:
(i) (10x – 25) ÷ 5
= (10x/5) – (25/5) = 2x – 5
(ii) (10x – 25) ÷ (2x – 5)
अंश में से 5 सार्व निकालते हैं: 5(2x – 5)
= [5(2x – 5)] / (2x – 5) = 5
(iii) 10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7)
अंश में: 10y × 3(2y + 7) = 30y(2y + 7) (क्योंकि 6y+21 = 3(2y+7))
= [30y(2y + 7)] / [5(2y + 7)] = 6y
(iv) 9x³y³(3z – 24) ÷ 27xy(z – 8)
अंश में: 9x³y³ × 3(z – 8) = 27x³y³(z – 8) (क्योंकि 3z–24 = 3(z–8))
= [27x³y³(z – 8)] / [27xy(z – 8)] = x²y²
(v) 96abc(3a – 12)(5b – 30) ÷ 144(a – 4)(b – 6)
अंश में: 96abc × 3(a – 4) × 5(b – 6) = 1440 abc (a – 4)(b – 6)
= [1440 abc (a – 4)(b – 6)] / [144 (a – 4)(b – 6)] = 10abc
UP Board Class 8 Maths 14. गुणनखंडन Solution is available at our platform https://upboardSolution.com in hindi medium for free of cost. Content provided on our website is free of cost and in PDF format which is easily available for download. Getting the UP Board Solutions for Class 8 will help student to achieve good learning experience so that they can study effectively. UP board holds examination of more than 3 million students every year and majority of the question of exams are from their UP Board Solutions. That’s why it is important to study using the textSolution issued by UP Board.
It is essential to know the importance of UP Board Class 8 Maths 14. गुणनखंडन textSolution issued by UP Board because students completely rely on these Solutions for their study and syllabus offered by UP Board is so balanced that each student should be aware about the importance of it. Below is the list of Importance of UP Board Class 8 Maths 14. गुणनखंडन :
There are various features of UP Board Class 8 TextSolutions, some of them are mentioned below so that you student can understand the value and usability of the contend and understand why Uttarpradesh board has prescribed these Solutions.
